Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Biểu thức đối xứng của nghiệm và cách lập phương trình mới
Em sẽ làm được gì?
Sau bài này, em biết biểu diễn **mọi** biểu thức đối xứng của hai nghiệm $x_1, x_2$ (bậc hai, bậc ba, nghịch đảo, hiệu bình phương…) chỉ qua $S = x_1+x_2$ và $P = x_1x_2$ — rồi dùng chính $S, P$ đó để **lập một phương trình bậc hai hoàn toàn mới** có nghiệm là hai biểu thức biến đổi từ $x_1, x_2$, kể cả khi không thể tính $x_1, x_2$ tường minh.
Cần nhớ trước
Ở mức Chuẩn Lớp 9 (đề tuyển sinh, SGK), em đã biết định lí Viète $S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$, $P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}$, và cách tính $x_1^2+x_2^2$, $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$ khi biết $m$. Bài này đi **xa hơn** mức đó: không dừng ở việc thay số, mà dùng $S, P$ như hai biến trung gian để **dựng một phương trình bậc hai khác** — kỹ thuật xuất hiện dày đặc trong đề học sinh giỏi (HSG) và đề chuyên.
Một bài Chuẩn thường hỏi: "Cho phương trình có nghiệm $x_1, x_2$, tính $x_1^2+x_2^2$" — chỉ cần thay $S, P$ vào một hằng đẳng thức có sẵn. Một bài HSG hỏi ngược và xa hơn nhiều: "Lập một phương trình bậc hai **mới**, biết nghiệm của nó là $y_1 = x_1 + \dfrac{1}{x_2}$ và $y_2 = x_2 + \dfrac{1}{x_1}$" — trong khi $x_1, x_2$ của phương trình gốc thậm chí là số vô tỉ, không tính ra được từng nghiệm riêng lẻ. Nếu chỉ biết mỗi công thức $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$, em sẽ bế tắc ngay ở bước tính $y_1, y_2$ vì chưa có công thức dựng sẵn cho tổng và tích của **hai biểu thức mới** này.
Ý tưởng cốt lõi: mọi thứ đều quy về S và P
**Ý tưởng cốt lõi:** để lập một phương trình bậc hai có nghiệm $y_1, y_2$, ta chỉ cần biết đúng hai con số — tổng $S'=y_1+y_2$ và tích $P'=y_1y_2$ — rồi viết ngay $$y^2 - S'y + P' = 0.$$ Vấn đề còn lại chỉ là: tính $S'$ và $P'$ như thế nào nếu $y_1, y_2$ lại được tạo ra từ $x_1, x_2$ của một phương trình khác? Câu trả lời: khai triển $S'$ và $P'$ theo $x_1, x_2$ rồi thay **mọi** tổng và tích con bằng $S, P$ đã biết — không bao giờ cần giá trị số cụ thể của $x_1$ hay $x_2$. Đây chính là lí do phương pháp này mạnh: nó hoạt động ngay cả khi phương trình gốc có nghiệm vô tỉ hoặc không tường minh, miễn $\Delta \ge 0$ để $x_1, x_2$ tồn tại thực.
Quy trình lập phương trình mới từ biểu thức nghiệm.
Ba công thức đối xứng nền tảng
Trước khi mở rộng, hãy nhớ lại ba hằng đẳng thức nền — mọi biểu thức đối xứng bậc thấp đều quy về đây: $$x_1^2+x_2^2 = S^2-2P,\qquad x_1^3+x_2^3 = S^3-3PS,\qquad (x_1-x_2)^2 = S^2-4P.$$ Chú ý $(x_1-x_2)^2 = S^2-4P$ thực chất bằng $\dfrac{\Delta}{a^2}$ — đây là một cách kiểm tra chéo nhanh: nếu tính $S^2-4P$ mà không khớp với $\Delta$ (khi $a=1$), chắc chắn em đã tính sai $S$ hoặc $P$ ở đâu đó.
Ba công thức trên chỉ là lớp biểu thức đơn giản nhất. Trong đề thi HSG, biểu thức đối xứng có thể phức tạp hơn nhiều — ví dụ $x_1^4+x_2^4$, hay $\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}$ — nhưng nguyên tắc xử lý không đổi: luôn tìm cách biểu diễn qua $S$ và $P$ bằng cách khai triển dần từng bậc (chẳng hạn $x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2(x_1x_2)^2=(S^2-2P)^2-2P^2$), hoặc dùng công thức truy hồi $s_n=Ss_{n-1}-Ps_{n-2}$ với $s_n=x_1^n+x_2^n$ (công thức Newton). Không cần học thuộc công thức truy hồi này ở Lớp 9 — chỉ cần hiểu rằng **mọi** biểu thức đối xứng, dù bậc cao đến đâu, đều rút gọn được về $S, P$ theo cùng một logic khai triển dần từng bước.
Ví dụ
Ví dụ 1 — Ba công thức nền, làm chủ trước khi mở rộng
1
Cho phương trình $x^2-5x+3=0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính $x_1^2+x_2^2$, $x_1^3+x_2^3$, $(x_1-x_2)^2$ mà **không giải** phương trình.
2
Theo Viète: $S=5$, $P=3$. Vì $\Delta=25-12=13>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, các biểu thức dưới đây đều có nghĩa.
$(x_1-x_2)^2 = S^2-4P = 25-12=13$, đúng bằng $\Delta$ vì $a=1$ — khớp với cách kiểm tra chéo vừa nêu.
6
Vậy với $S=5,\ P=3$ (đã kiểm tra $\Delta=13>0$ ở bước xác định $S,P$ nên cả ba biểu thức trên đều có nghĩa): $$x_1^2+x_2^2=19,\qquad x_1^3+x_2^3=80,\qquad (x_1-x_2)^2=13.$$
7
Cả ba kết quả trên đều ra từ đúng một cặp số $S=5, P=3$ — em không cần biết $x_1, x_2$ là số vô tỉ cụ thể nào. Đây chính là điểm mạnh của cách làm việc với $S, P$ thay vì với từng nghiệm riêng lẻ.
Ví dụ
Ví dụ 2 — Lập phương trình mới từ nghiệm nghịch đảo cộng chéo (kỹ thuật cốt lõi)
1
Cho $x^2-2x-5=0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ (chú ý $x_1,x_2\ne 0$ vì $P=-5\ne 0$). Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm $y_1=x_1+\dfrac{1}{x_2}$, $y_2=x_2+\dfrac{1}{x_1}$.
2
$S=2$, $P=-5$.
3
$S' = x_1+x_2+\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2} = S + \dfrac{S}{P} = 2 + \dfrac{2}{-5} = \dfrac{8}{5}.$ Ở đây ta dùng $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{S}{P}$ — một biểu thức đối xứng quen thuộc.
$y^2-S'y+P'=0 \iff y^2-\dfrac{8}{5}y-\dfrac{16}{5}=0.$ Nhân hai vế với $5$ để có hệ số nguyên: $$5y^2-8y-16=0.$$ Vậy phương trình bậc hai cần lập là $5y^2-8y-16=0$.
6
Phương trình $5y^2-8y-16=0$ hoàn toàn xác định được mà **không cần biết** $x_1, x_2$ là bao nhiêu. Thử hình dung nếu phải giải $x^2-2x-5=0$ ra căn thức rồi thay trực tiếp vào $y_1, y_2$ — phép tính sẽ rối hơn nhiều so với đi qua $S, P$ như trên.
Ví dụ
Ví dụ 3 — Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số (Mở rộng dành cho HSG)
1
Cho phương trình $x^2-(m+1)x+m-2=0$. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm $x_1,x_2$ với mọi $m$, sau đó tìm một hệ thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ **không phụ thuộc** vào $m$.
2
Dạng "hệ thức độc lập với tham số" không nằm trong yêu cầu chuẩn Lớp 9 — ta khử tham số $m$ giữa hai biểu thức $S(m)$ và $P(m)$ để tìm ra một đẳng thức luôn đúng, bất kể $m$ nhận giá trị nào.
3
$\Delta=(m+1)^2-4(m-2)=m^2-2m+9=(m-1)^2+8>0$ với **mọi** $m$ ⇒ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
4
$S=m+1 \Rightarrow m=S-1$. Thay vào $P=m-2$: $P=(S-1)-2=S-3$, tức $$S-P=3. \quad (1)$$
5
Từ (1), hệ thức không phụ thuộc $m$ chính là $S-P=3$ viết lại theo $x_1,x_2$. Vậy hệ thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ không phụ thuộc $m$ là $$x_1+x_2-x_1x_2=3.$$ Đây là kỹ thuật hay gặp: khi $S$ và $P$ đều là hàm bậc nhất của cùng một tham số, rút tham số từ biểu thức này rồi thế vào biểu thức kia sẽ triệt tiêu tham số.
6
Kỹ thuật khử tham số này áp dụng được bất cứ khi nào $S(m)$ và $P(m)$ đều là hàm bậc nhất theo $m$ — khi đó luôn rút được $m$ từ $S$ rồi thế vào $P$ để triệt tiêu $m$, bất kể hệ số cụ thể là bao nhiêu.
Bẫy thường gặp
**Hai bẫy thường gặp:** (1) quên điều kiện $\Delta\ge 0$, hoặc quên $x_1,x_2\ne 0$ khi biểu thức mới chứa $\dfrac{1}{x}$; (2) khi tính $P'$ của một biểu thức tổng, học sinh hay nhầm chỉ nhân chéo $x_1x_2$ mà **quên hẳn hai số hạng "$+2$"** sinh ra từ $\dfrac{x_1}{x_1}$ và $\dfrac{x_2}{x_2}$ khi khai triển $\left(x_1+\dfrac{1}{x_2}\right)\left(x_2+\dfrac{1}{x_1}\right)$.
Điều cần nhớ
**Ghi nhớ:** mọi bài toán "biểu thức mới từ nghiệm cũ" đều quy về ba bước — (1) tính $S, P$ gốc, (2) khai triển $S', P'$ của biểu thức mới rồi rút gọn hoàn toàn về $S, P$, (3) viết $y^2-S'y+P'=0$. Khi đề hỏi "hệ thức không phụ thuộc tham số", hãy rút tham số ra từ **một** trong hai biểu thức $S(m)$ hoặc $P(m)$ rồi thế vào biểu thức còn lại.
Ở bài tiếp theo, ta dùng đúng bộ ba $S, P, \Delta$ này nhưng theo hướng khác: không tạo phương trình mới, mà xét **dấu** của $x_1, x_2$ và so sánh nghiệm với một số cho trước — kỹ năng bắt buộc trong các bài toán tham số về khoảng nghiệm.
Sau bài này, em biết biểu diễn mọi biểu thức đối xứng của hai nghiệm x1,x2 (bậc hai, bậc ba, nghịch đảo, hiệu bình phương…) chỉ qua S=x1+x2 và P=x1x2 — rồi dùng chính S,P đó để lập một phương trình bậc hai hoàn toàn mới có nghiệm là hai biểu thức biến đổi từ x1,x2, kể cả khi không thể tính x1,x2 tường minh.
Ở mức Chuẩn Lớp 9 (đề tuyển sinh, SGK), em đã biết định lí Viète S=x1+x2=−ab, P=x1x2=ac, và cách tính x12+x22, x11+x21 khi biết m. Bài này đi xa hơn mức đó: không dừng ở việc thay số, mà dùng S,P như hai biến trung gian để dựng một phương trình bậc hai khác — kỹ thuật xuất hiện dày đặc trong đề học sinh giỏi (HSG) và đề chuyên.
Một bài Chuẩn thường hỏi: "Cho phương trình có nghiệm x1,x2, tính x12+x22" — chỉ cần thay S,P vào một hằng đẳng thức có sẵn. Một bài HSG hỏi ngược và xa hơn nhiều: "Lập một phương trình bậc hai mới, biết nghiệm của nó là y1=x1+x21 và y2=x2+x11" — trong khi x1,x2 của phương trình gốc thậm chí là số vô tỉ, không tính ra được từng nghiệm riêng lẻ. Nếu chỉ biết mỗi công thức x12+x22=S2−2P, em sẽ bế tắc ngay ở bước tính y1,y2 vì chưa có công thức dựng sẵn cho tổng và tích của hai biểu thức mới này.
Ý tưởng cốt lõi: để lập một phương trình bậc hai có nghiệm y1,y2, ta chỉ cần biết đúng hai con số — tổng S′=y1+y2 và tích P′=y1y2 — rồi viết ngay y2−S′y+P′=0. Vấn đề còn lại chỉ là: tính S′ và P′ như thế nào nếu y1,y2 lại được tạo ra từ x1,x2 của một phương trình khác? Câu trả lời: khai triển S′ và P′ theo x1,x2 rồi thay mọi tổng và tích con bằng S,P đã biết — không bao giờ cần giá trị số cụ thể của x1 hay x2. Đây chính là lí do phương pháp này mạnh: nó hoạt động ngay cả khi phương trình gốc có nghiệm vô tỉ hoặc không tường minh, miễn Δ≥0 để x1,x2 tồn tại thực.
Trước khi mở rộng, hãy nhớ lại ba hằng đẳng thức nền — mọi biểu thức đối xứng bậc thấp đều quy về đây: x12+x22=S2−2P,x13+x23=S3−3PS,(x1−x2)2=S2−4P. Chú ý (x1−x2)2=S2−4P thực chất bằng a2Δ — đây là một cách kiểm tra chéo nhanh: nếu tính S2−4P mà không khớp với Δ (khi a=1), chắc chắn em đã tính sai S hoặc P ở đâu đó.
Ba công thức trên chỉ là lớp biểu thức đơn giản nhất. Trong đề thi HSG, biểu thức đối xứng có thể phức tạp hơn nhiều — ví dụ x14+x24, hay x2x1+x1x2 — nhưng nguyên tắc xử lý không đổi: luôn tìm cách biểu diễn qua S và P bằng cách khai triển dần từng bậc (chẳng hạn x14+x24=(x12+x22)2−2(x1x2)2=(S2−2P)2−2P2), hoặc dùng công thức truy hồi sn=Ssn−1−Psn−2 với sn=x1n+x2n (công thức Newton). Không cần học thuộc công thức truy hồi này ở Lớp 9 — chỉ cần hiểu rằng mọi biểu thức đối xứng, dù bậc cao đến đâu, đều rút gọn được về S,P theo cùng một logic khai triển dần từng bước.
Cho phương trình x2−5x+3=0 có hai nghiệm x1,x2. Tính x12+x22, x13+x23, (x1−x2)2 mà không giải phương trình.
Theo Viète: S=5, P=3. Vì Δ=25−12=13>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, các biểu thức dưới đây đều có nghĩa.
x12+x22=S2−2P=25−6=19.
x13+x23=S3−3PS=125−3⋅3⋅5=125−45=80.
(x1−x2)2=S2−4P=25−12=13, đúng bằng Δ vì a=1 — khớp với cách kiểm tra chéo vừa nêu.
Vậy với S=5,P=3 (đã kiểm tra Δ=13>0 ở bước xác định S,P nên cả ba biểu thức trên đều có nghĩa): x12+x22=19,x13+x23=80,(x1−x2)2=13.
Cả ba kết quả trên đều ra từ đúng một cặp số S=5,P=3 — em không cần biết x1,x2 là số vô tỉ cụ thể nào. Đây chính là điểm mạnh của cách làm việc với S,P thay vì với từng nghiệm riêng lẻ.
Cho x2−2x−5=0 có hai nghiệm x1,x2 (chú ý x1,x2=0 vì P=−5=0). Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1=x1+x21, y2=x2+x11.
S=2, P=−5.
S′=x1+x2+x11+x21=S+PS=2+−52=58. Ở đây ta dùng x11+x21=x1x2x1+x2=PS — một biểu thức đối xứng quen thuộc.
Khai triển đầy đủ: y1y2=(x1+x21)(x2+x11)=x1x2+x1x1+x2x2+x1x21=P+2+P1. Thay số: P′=−5+2−51=−516.
y2−S′y+P′=0⟺y2−58y−516=0. Nhân hai vế với 5 để có hệ số nguyên: 5y2−8y−16=0. Vậy phương trình bậc hai cần lập là 5y2−8y−16=0.
Phương trình 5y2−8y−16=0 hoàn toàn xác định được mà không cần biếtx1,x2 là bao nhiêu. Thử hình dung nếu phải giải x2−2x−5=0 ra căn thức rồi thay trực tiếp vào y1,y2 — phép tính sẽ rối hơn nhiều so với đi qua S,P như trên.
Cho phương trình x2−(m+1)x+m−2=0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1,x2 với mọi m, sau đó tìm một hệ thức liên hệ giữa x1,x2không phụ thuộc vào m.
Dạng "hệ thức độc lập với tham số" không nằm trong yêu cầu chuẩn Lớp 9 — ta khử tham số m giữa hai biểu thức S(m) và P(m) để tìm ra một đẳng thức luôn đúng, bất kể m nhận giá trị nào.
Δ=(m+1)2−4(m−2)=m2−2m+9=(m−1)2+8>0 với mọim ⇒ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
S=m+1⇒m=S−1. Thay vào P=m−2: P=(S−1)−2=S−3, tức S−P=3.(1)
Từ (1), hệ thức không phụ thuộc m chính là S−P=3 viết lại theo x1,x2. Vậy hệ thức liên hệ giữa x1,x2 không phụ thuộc m là x1+x2−x1x2=3. Đây là kỹ thuật hay gặp: khi S và P đều là hàm bậc nhất của cùng một tham số, rút tham số từ biểu thức này rồi thế vào biểu thức kia sẽ triệt tiêu tham số.
Kỹ thuật khử tham số này áp dụng được bất cứ khi nào S(m) và P(m) đều là hàm bậc nhất theo m — khi đó luôn rút được m từ S rồi thế vào P để triệt tiêu m, bất kể hệ số cụ thể là bao nhiêu.
Hai bẫy thường gặp: (1) quên điều kiện Δ≥0, hoặc quên x1,x2=0 khi biểu thức mới chứa x1; (2) khi tính P′ của một biểu thức tổng, học sinh hay nhầm chỉ nhân chéo x1x2 mà quên hẳn hai số hạng "+2" sinh ra từ x1x1 và x2x2 khi khai triển (x1+x21)(x2+x11).
Ghi nhớ: mọi bài toán "biểu thức mới từ nghiệm cũ" đều quy về ba bước — (1) tính S,P gốc, (2) khai triển S′,P′ của biểu thức mới rồi rút gọn hoàn toàn về S,P, (3) viết y2−S′y+P′=0. Khi đề hỏi "hệ thức không phụ thuộc tham số", hãy rút tham số ra từ một trong hai biểu thức S(m) hoặc P(m) rồi thế vào biểu thức còn lại.
Ở bài tiếp theo, ta dùng đúng bộ ba S,P,Δ này nhưng theo hướng khác: không tạo phương trình mới, mà xét dấu của x1,x2 và so sánh nghiệm với một số cho trước — kỹ năng bắt buộc trong các bài toán tham số về khoảng nghiệm.