Bài học

Điểm rơi là gì và vì sao nó dẫn dắt phép biến đổi

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dự đoán được điểm rơi (equality case) của một bất đẳng thức chứa cực trị trước khi biến đổi, và dùng điểm rơi đó để chọn đúng cách tách số hạng khi áp dụng AM-GM.

Cần nhớ trước

Em cần nhớ lại: hằng đẳng thức $(a-b)^2\ge0$ , bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm $a+b\ge2\sqrt{ab}$ (dấu "=" khi $a=b$ ) đã học ở chuyên đề bất phương trình nâng cao Lớp 9, và kỹ năng biến đổi phân thức, giải phương trình bậc ba đơn giản dạng $x^3=k$ .

Em cần nhớ lại: hằng đẳng thức $(a-b)^2\ge0$, bất đẳng thức AM-GM cho **hai số không âm** $a+b\ge2\sqrt{ab}$ (dấu "=" khi $a=b$) đã học ở chuyên đề bất phương trình nâng cao Lớp 9, và kỹ năng biến đổi phân thức, giải phương trình bậc ba đơn giản dạng $x^3=k$.

So với mức chuẩn: một bài chuẩn Lớp 9 dừng ở "Chứng minh $a^2+b^2\ge2ab$ với mọi $a,b$ " — thay số vào hằng đẳng thức là xong, dấu bằng hiện rõ ngay $a=b$ . Bài HSG khác hẳn: đề cho một biểu thức một biến (không có sẵn cặp "vừa khít"), và học sinh phải tự tạo ra cặp số bằng nhau đúng lúc bằng cách tách hạng tử — nếu tách sai, bất đẳng thức vẫn đúng nhưng không chặt (không đạt giá trị nhỏ nhất thật sự).

**So với mức chuẩn:** một bài chuẩn Lớp 9 dừng ở "Chứng minh $a^2+b^2\ge2ab$ với mọi $a,b$" — thay số vào hằng đẳng thức là xong, dấu bằng hiện rõ ngay $a=b$. Bài HSG khác hẳn: đề cho một biểu thức **một biến** (không có sẵn cặp "vừa khít"), và học sinh phải *tự tạo* ra cặp số bằng nhau đúng lúc bằng cách tách hạng tử — nếu tách sai, bất đẳng thức vẫn đúng nhưng **không chặt** (không đạt giá trị nhỏ nhất thật sự).

Kỹ thuật vượt chương trình

Mở rộng dành cho HSG — AM-GM cho $n$ số: với $a_1,\dots,a_n\ge0$ , $\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ dấu "=" khi $a_1=a_2=\cdots=a_n$ . Đây là dạng tổng quát của AM-GM hai số mà em đã học; phần chứng minh đầy đủ (bằng quy nạp) không nằm trong yêu cầu Lớp 9 nên khóa này thừa nhận kết quả và tập trung vào cách dùng nó. Tiên quyết: AM-GM hai số, phép nhân lũy thừa.

**Mở rộng dành cho HSG — AM-GM cho $n$ số:** với $a_1,\dots,a_n\ge0$, $$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$$ dấu "=" khi $a_1=a_2=\cdots=a_n$. Đây là dạng tổng quát của AM-GM hai số mà em đã học; phần chứng minh đầy đủ (bằng quy nạp) không nằm trong yêu cầu Lớp 9 nên khóa này **thừa nhận** kết quả và tập trung vào cách *dùng* nó. Tiên quyết: AM-GM hai số, phép nhân lũy thừa.

Bài toán mở đầu — vì sao AM-GM "ngây thơ" thất bại

Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)=x^2+\dfrac{2}{x}$ với $x>0$ . Nếu áp dụng AM-GM hai số ngay cho hai hạng tử có sẵn: $x^2+\dfrac2x\ge2\sqrt{2x}$ — vế phải vẫn phụ thuộc $x$ , không phải một hằng số, nên bất đẳng thức này vô dụng để tìm GTNN. Ta cần một cách tách khác.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)=x^2+\dfrac{2}{x}$ với $x>0$. Nếu áp dụng AM-GM hai số ngay cho hai hạng tử có sẵn: $x^2+\dfrac2x\ge2\sqrt{2x}$ — vế phải **vẫn phụ thuộc $x$**, không phải một hằng số, nên bất đẳng thức này vô dụng để tìm GTNN. Ta cần một cách tách khác.

Ý tưởng cốt lõi — điểm rơi dẫn dắt phép tách

Điểm rơi là giá trị của biến làm dấu "=" xảy ra — tức biểu thức đạt cực trị. Muốn AM-GM cho dấu bằng, tất cả các số hạng phải bằng nhau tại đúng điểm đó. Với $f(x)=x^2+\dfrac2x$ , ta tách $\dfrac2x=\dfrac1x+\dfrac1x$ rồi dùng AM-GM ba số cho $x^2,\dfrac1x,\dfrac1x$ . Vì sao tách $\dfrac2x$ chứ không phải $x^2$ ? Vì AM-GM ba số cho dấu bằng khi cả ba số hạng bằng nhau — ta cần bậc của $x$ ở các số hạng "cân" nhau để phương trình $x^2=\dfrac1x$ (tức $x^3=1$ ) có nghiệm dương gọn, còn tách $x^2=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^2}{2}$ ghép với $\dfrac2x$ sẽ cho phương trình bậc cao hơn khó giải. Một học sinh giỏi luôn hỏi "tách thế nào để phương trình dấu bằng gọn nhất?" trước khi bấm máy.

**Điểm rơi** là giá trị của biến làm dấu "=" xảy ra — tức biểu thức đạt cực trị. Muốn AM-GM cho dấu bằng, *tất cả* các số hạng phải bằng nhau tại đúng điểm đó. Với $f(x)=x^2+\dfrac2x$, ta tách $\dfrac2x=\dfrac1x+\dfrac1x$ rồi dùng AM-GM ba số cho $x^2,\dfrac1x,\dfrac1x$. Vì sao tách $\dfrac2x$ chứ không phải $x^2$? Vì AM-GM ba số cho dấu bằng khi *cả ba* số hạng bằng nhau — ta cần bậc của $x$ ở các số hạng "cân" nhau để phương trình $x^2=\dfrac1x$ (tức $x^3=1$) có nghiệm dương gọn, còn tách $x^2=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^2}{2}$ ghép với $\dfrac2x$ sẽ cho phương trình bậc cao hơn khó giải. Một học sinh giỏi luôn hỏi *"tách thế nào để phương trình dấu bằng gọn nhất?"* trước khi bấm máy.

Ví dụ

Ví dụ 1 — GTNN của

x^2+\dfrac2x

(

x>0

)Ví dụ 1 — GTNN của $x^2+\dfrac2x$ ($x>0$)

1
Đề chuẩn Lớp 9 chỉ hỏi GTNN của $x+\dfrac1x$ (AM-GM hai số áp dụng trực tiếp). Ở đây hai hạng tử $x^2$ và $\dfrac2x$ không đối xứng — ghép trực tiếp cho vế phải còn biến $x$ , nên phải tự tạo cặp bằng nhau bằng cách tách.
Đề chuẩn Lớp 9 chỉ hỏi GTNN của $x+\dfrac1x$ (AM-GM hai số áp dụng trực tiếp). Ở đây hai hạng tử $x^2$ và $\dfrac2x$ **không đối xứng** — ghép trực tiếp cho vế phải còn biến $x$, nên phải tự tạo cặp bằng nhau bằng cách tách.
2
Tách $\dfrac2x=\dfrac1x+\dfrac1x$ để có ba số hạng $x^2,\dfrac1x,\dfrac1x$ cùng "cỡ" khi nhân lại: $x^2\cdot\dfrac1x\cdot\dfrac1x=1$ — một hằng số, không còn phụ thuộc $x$ . Đó là dấu hiệu tách đúng.
Tách $\dfrac2x=\dfrac1x+\dfrac1x$ để có ba số hạng $x^2,\dfrac1x,\dfrac1x$ cùng "cỡ" khi nhân lại: $x^2\cdot\dfrac1x\cdot\dfrac1x=1$ — một hằng số, không còn phụ thuộc $x$. Đó là dấu hiệu tách đúng.
3
Muốn tích ba số hạng khử hết $x$ , tổng số mũ của $x$ trong ba số hạng phải bằng 0: $x^2$ có bậc $2$ , mỗi $\dfrac1x$ có bậc $-1$ , tổng $2-1-1=0$ — đúng yêu cầu.
Muốn tích ba số hạng khử hết $x$, tổng số mũ của $x$ trong ba số hạng phải bằng 0: $x^2$ có bậc $2$, mỗi $\dfrac1x$ có bậc $-1$, tổng $2-1-1=0$ — đúng yêu cầu.
4
$x^2+\dfrac1x+\dfrac1x\ge3\sqrt[3]{x^2\cdot\dfrac1x\cdot\dfrac1x}=3\sqrt[3]{1}=3$ Vậy $f(x)=x^2+\dfrac2x\ge3$ .
$$x^2+\dfrac1x+\dfrac1x\ge3\sqrt[3]{x^2\cdot\dfrac1x\cdot\dfrac1x}=3\sqrt[3]{1}=3$$ Vậy $f(x)=x^2+\dfrac2x\ge3$.
5
Dấu "=" khi $x^2=\dfrac1x\iff x^3=1\iff x=1$ (thỏa $x>0$ ). Thay $x=1$ : $f(1)=1+2=3$ — khớp. Vậy $\min f(x)=3$ tại $x=1$ .
Dấu "=" khi $x^2=\dfrac1x\iff x^3=1\iff x=1$ (thỏa $x>0$). Thay $x=1$: $f(1)=1+2=3$ — khớp. Vậy $\min f(x)=3$ tại $x=1$.
6
Mẫu số: khi gặp $x^p+\dfrac{k}{x^q}$ , thử tách $\dfrac k{x^q}$ thành nhiều phần bằng nhau sao cho tổng bậc của $x$ trong tích các số hạng bằng $0$ . Biến thể: đổi hệ số $2\to16$ cho $f(x)=x^2+\dfrac{16}{x}$ (xem Ví dụ 2) — cùng kỹ thuật, số khác.
**Mẫu số:** khi gặp $x^p+\dfrac{k}{x^q}$, thử tách $\dfrac k{x^q}$ thành nhiều phần bằng nhau sao cho tổng bậc của $x$ trong tích các số hạng bằng $0$. Biến thể: đổi hệ số $2\to16$ cho $f(x)=x^2+\dfrac{16}{x}$ (xem Ví dụ 2) — cùng kỹ thuật, số khác.
7
Với $x>0$ . Ta có $x^2+\dfrac2x=x^2+\dfrac1x+\dfrac1x.$ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho ba số dương $x^2,\dfrac1x,\dfrac1x$ : $x^2+\dfrac1x+\dfrac1x\ge3\sqrt[3]{x^2\cdot\dfrac1x\cdot\dfrac1x}=3\sqrt[3]{1}=3.$ Do đó $f(x)=x^2+\dfrac2x\ge3$ với mọi $x>0$ . Dấu " $=$ " xảy ra khi và chỉ khi $x^2=\dfrac1x\iff x^3=1\iff x=1$ (thỏa mãn điều kiện $x>0$ ). Thay lại: $f(1)=1+2=3$ , khớp với cận vừa chứng minh. Vậy $\min f(x)=3$ , đạt tại $x=1$ .
Với $x>0$. Ta có $$x^2+\dfrac2x=x^2+\dfrac1x+\dfrac1x.$$ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho ba số dương $x^2,\dfrac1x,\dfrac1x$: $$x^2+\dfrac1x+\dfrac1x\ge3\sqrt[3]{x^2\cdot\dfrac1x\cdot\dfrac1x}=3\sqrt[3]{1}=3.$$ Do đó $f(x)=x^2+\dfrac2x\ge3$ với mọi $x>0$. Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $x^2=\dfrac1x\iff x^3=1\iff x=1$ (thỏa mãn điều kiện $x>0$). Thay lại: $f(1)=1+2=3$, khớp với cận vừa chứng minh. Vậy $\min f(x)=3$, đạt tại $x=1$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — GTNN của

x^2+\dfrac{16}{x}

(

x>0

), một biến thể khó hơnVí dụ 2 — GTNN của $x^2+\dfrac{16}{x}$ ($x>0$), một biến thể khó hơn

1
Cùng dạng $x^2+\dfrac{k}{x}$ nhưng hệ số $k=16$ lớn hơn nhiều — nếu giữ nguyên $\dfrac{16}{x}$ làm một số hạng, AM-GM ba số $x^2,\dfrac{16}{x},?$ không cân bậc. Phải tách $16$ thành hai phần bằng nhau: $\dfrac{16}{x}=\dfrac8x+\dfrac8x$ .
Cùng dạng $x^2+\dfrac{k}{x}$ nhưng hệ số $k=16$ lớn hơn nhiều — nếu giữ nguyên $\dfrac{16}{x}$ làm một số hạng, AM-GM ba số $x^2,\dfrac{16}{x},?$ không cân bậc. Phải tách $16$ thành **hai phần bằng nhau**: $\dfrac{16}{x}=\dfrac8x+\dfrac8x$.
2
Ba số hạng $x^2,\dfrac8x,\dfrac8x$ có tổng bậc $2-1-1=0$ (giống Ví dụ 1) nên tích của chúng là hằng số: $x^2\cdot\dfrac8x\cdot\dfrac8x=64$ .
Ba số hạng $x^2,\dfrac8x,\dfrac8x$ có tổng bậc $2-1-1=0$ (giống Ví dụ 1) nên tích của chúng là hằng số: $x^2\cdot\dfrac8x\cdot\dfrac8x=64$.
3
$x^2+\dfrac8x+\dfrac8x\ge3\sqrt[3]{64}=3\cdot4=12$
$$x^2+\dfrac8x+\dfrac8x\ge3\sqrt[3]{64}=3\cdot4=12$$
4
$x^2=\dfrac8x\iff x^3=8\iff x=2$ . Thay lại: $f(2)=4+\dfrac{16}{2}=4+8=12$ — khớp đúng. Vậy $\min\left(x^2+\dfrac{16}{x}\right)=12$ tại $x=2$ .
$x^2=\dfrac8x\iff x^3=8\iff x=2$. Thay lại: $f(2)=4+\dfrac{16}{2}=4+8=12$ — khớp đúng. Vậy $\min\left(x^2+\dfrac{16}{x}\right)=12$ tại $x=2$.
5
Với $x^2+\dfrac{k}{x}$ , điểm rơi luôn thỏa $x^3=\dfrac k2$ — chỉ cần giải phương trình bậc ba đơn giản này để tìm điểm rơi trước, rồi mới viết lời giải AM-GM theo chiều xuôi. Đây là cách làm ngược: dự đoán điểm rơi bằng đại số, rồi mới trình bày AM-GM.
Với $x^2+\dfrac{k}{x}$, điểm rơi luôn thỏa $x^3=\dfrac k2$ — chỉ cần giải phương trình bậc ba đơn giản này để tìm điểm rơi trước, rồi mới viết lời giải AM-GM theo chiều xuôi. Đây là cách làm ngược: **dự đoán điểm rơi bằng đại số, rồi mới trình bày AM-GM.**
6
Với $x>0$ . Ta có $x^2+\dfrac{16}x=x^2+\dfrac8x+\dfrac8x.$ Áp dụng AM-GM cho ba số dương $x^2,\dfrac8x,\dfrac8x$ : $x^2+\dfrac8x+\dfrac8x\ge3\sqrt[3]{x^2\cdot\dfrac8x\cdot\dfrac8x}=3\sqrt[3]{64}=12.$ Do đó $f(x)\ge12$ với mọi $x>0$ . Dấu " $=$ " xảy ra khi $x^2=\dfrac8x\iff x^3=8\iff x=2$ (nhận, vì $x>0$ ). Thay lại: $f(2)=4+8=12$ — khớp. Vậy $\min f(x)=12$ , đạt tại $x=2$ .
Với $x>0$. Ta có $$x^2+\dfrac{16}x=x^2+\dfrac8x+\dfrac8x.$$ Áp dụng AM-GM cho ba số dương $x^2,\dfrac8x,\dfrac8x$: $$x^2+\dfrac8x+\dfrac8x\ge3\sqrt[3]{x^2\cdot\dfrac8x\cdot\dfrac8x}=3\sqrt[3]{64}=12.$$ Do đó $f(x)\ge12$ với mọi $x>0$. Dấu "$=$" xảy ra khi $x^2=\dfrac8x\iff x^3=8\iff x=2$ (nhận, vì $x>0$). Thay lại: $f(2)=4+8=12$ — khớp. Vậy $\min f(x)=12$, đạt tại $x=2$.

Ví dụ

Ví dụ 3 — Bài toán hai biến có ràng buộc

1
Cho $a,b>0$ với $a+b=2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\dfrac1a+\dfrac1b$ .
Cho $a,b>0$ với $a+b=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\dfrac1a+\dfrac1b$.
2
Biểu thức $P$ và ràng buộc $a+b=2$ đều đối xứng theo $a,b$ (đổi chỗ $a,b$ không đổi bài toán) — kinh nghiệm cho thấy điểm rơi của một bài đối xứng thường tại $a=b$ . Với $a+b=2$ thì dự đoán $a=b=1$ .
Biểu thức $P$ và ràng buộc $a+b=2$ đều **đối xứng** theo $a,b$ (đổi chỗ $a,b$ không đổi bài toán) — kinh nghiệm cho thấy điểm rơi của một bài đối xứng thường tại $a=b$. Với $a+b=2$ thì dự đoán $a=b=1$.
3
$P=\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{2}{ab}$ Vì $a+b=2$ cố định, theo AM-GM hai số: $ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2=1$ , dấu "=" khi $a=b=1$ .
$$P=\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{2}{ab}$$ Vì $a+b=2$ cố định, theo AM-GM hai số: $ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2=1$, dấu "=" khi $a=b=1$.
4
Vì $ab\le1$ nên $P=\dfrac{2}{ab}\ge\dfrac21=2$ . Vậy $\min P=2$ tại $a=b=1$ — đúng như dự đoán ban đầu.
Vì $ab\le1$ nên $P=\dfrac{2}{ab}\ge\dfrac21=2$. Vậy $\min P=2$ tại $a=b=1$ — đúng như dự đoán ban đầu.
5
Với bài toán đối xứng có ràng buộc tổng cố định, dự đoán điểm rơi tại giá trị bằng nhau trước, rồi mới đi tìm cách biến đổi để chứng minh — dự đoán giúp em biết mình đang biến đổi đúng hướng hay sai hướng.
6
Với $a,b>0$ và $a+b=2$ . Ta có $P=\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac2{ab}.\quad(1)$ Theo bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $a,b$ : $ab\le\left(\dfrac{a+b}2\right)^2=1$ , dấu " $=$ " khi $a=b$ . $\quad(2)$ Kết hợp $(1)$ và $(2)$ : vì $ab\le1$ nên $P=\dfrac2{ab}\ge\dfrac21=2$ . Dấu " $=$ " xảy ra khi đồng thời $a=b$ và $a+b=2$ , tức $a=b=1$ . Vậy $\min P=2$ , đạt tại $a=b=1$ .
Với $a,b>0$ và $a+b=2$. Ta có $$P=\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac2{ab}.\quad(1)$$ Theo bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $a,b$: $ab\le\left(\dfrac{a+b}2\right)^2=1$, dấu "$=$" khi $a=b$.$\quad(2)$ Kết hợp $(1)$ và $(2)$: vì $ab\le1$ nên $P=\dfrac2{ab}\ge\dfrac21=2$. Dấu "$=$" xảy ra khi đồng thời $a=b$ và $a+b=2$, tức $a=b=1$. Vậy $\min P=2$, đạt tại $a=b=1$.

Bẫy thường gặp

Ba lỗi hay gặp nhất ở bài này: dùng AM-GM cho các số hạng có sẵn mà không kiểm tra vế phải có còn phụ thuộc biến hay không; tách số hạng một cách tùy tiện thay vì tính trước tổng bậc của biến trong tích; và quên kiểm tra điểm rơi tìm được có nằm trong miền xác định (ở đây $x>0$ hay $a,b>0$ ) hay không — một điểm rơi "đẹp" nhưng nằm ngoài miền là vô nghĩa.

Ba lỗi hay gặp nhất ở bài này: dùng AM-GM cho các số hạng có sẵn mà không kiểm tra vế phải có còn phụ thuộc biến hay không; tách số hạng một cách tùy tiện thay vì tính trước tổng bậc của biến trong tích; và quên kiểm tra điểm rơi tìm được có nằm trong miền xác định (ở đây $x>0$ hay $a,b>0$) hay không — một điểm rơi "đẹp" nhưng nằm ngoài miền là vô nghĩa.

Đồ thị xác nhận trực quan: hàm giảm rồi tăng, đáy đúng tại điểm rơi x = 2 mà AM-GM ba số vừa tìm ra.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Tóm tắt

Điểm rơi là giá trị làm dấu "=" xảy ra; dự đoán nó trước khi biến đổi giúp em chọn đúng cách tách hạng tử cho AM-GM (kể cả AM-GM $n$ số). Nguyên tắc tách: tổng bậc của biến trong tích các số hạng phải bằng $0$ để triệt tiêu biến. Với bài đối xứng có ràng buộc, điểm rơi thường (không phải luôn luôn) rơi vào lúc các biến bằng nhau.

**Điểm rơi** là giá trị làm dấu "=" xảy ra; dự đoán nó *trước* khi biến đổi giúp em chọn đúng cách tách hạng tử cho AM-GM (kể cả AM-GM $n$ số). Nguyên tắc tách: tổng bậc của biến trong tích các số hạng phải bằng $0$ để triệt tiêu biến. Với bài đối xứng có ràng buộc, điểm rơi thường (không phải luôn luôn) rơi vào lúc các biến bằng nhau.

Kỹ thuật tách ở đây còn đơn giản — mỗi bài chỉ cần một cách tách thôi. Bài sau sẽ khó hơn một nấc: phải đổi biến trước khi tách, và học cách nhận ra khi điểm rơi "đẹp" lại rơi ra ngoài miền xác định.