Bài học

Nhận diện bình phương ẩn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận diện được biểu thức dưới căn có dạng $a \pm 2\sqrt{b}$ và biến đổi nó về đúng dạng $(\sqrt{m} \pm \sqrt{n})^2$ để khai căn gọn — kể cả khi hệ số trước căn không phải là 2.

Kiến thức cần có

Căn bậc hai số học và tính chất $\sqrt{x^2} = |x|$ (Toán 9 — Căn bậc hai & căn bậc ba), hằng đẳng thức $(m+n)^2 = m^2+2mn+n^2$ và $(m-n)^2 = m^2-2mn+n^2$ (Toán 8), và kỹ năng biến đổi căn thức cơ bản: đưa thừa số ra ngoài dấu căn (Toán 9 — Biến đổi căn thức).

Khởi động: bài toán không tầm thường

Rút gọn $A = \sqrt{5+2\sqrt6}$ . Bấm máy: $5+2\sqrt6 \approx 9,899$ , nên $A \approx 3,146$ . Con số này không có thừa số chính phương nào lộ ra ngay như $\sqrt{50}=5\sqrt2$ — vậy $3,146$ đến từ đâu? (Gợi ý: $3,146 \approx 1,732+1,414 = \sqrt3+\sqrt2$ .)

Rút gọn $A = \sqrt{5+2\sqrt6}$. Bấm máy: $5+2\sqrt6 \approx 9,899$, nên $A \approx 3,146$. Con số này không có thừa số chính phương nào lộ ra ngay như $\sqrt{50}=5\sqrt2$ — vậy $3,146$ đến từ đâu? (Gợi ý: $3,146 \approx 1,732+1,414 = \sqrt3+\sqrt2$.)

So với chương trình chuẩn lớp 9

Ở mức chuẩn, học sinh rút gọn căn thức bằng cách tách thừa số chính phương đứng một mình dưới căn, ví dụ $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt2$ . Nhưng $5+2\sqrt6$ không phải là một tích có thừa số chính phương — nó là một tổng của một số nguyên và một căn thức khác. Không có phép "đưa thừa số ra ngoài" nào áp dụng trực tiếp được ở đây. Đây chính là điểm phân biệt bài toán HSG với bài toán rút gọn thông thường: số dưới căn phải được nhận diện là một bình phương ẩn trước khi khai căn.

Ở mức chuẩn, học sinh rút gọn căn thức bằng cách tách **thừa số chính phương** đứng một mình dưới căn, ví dụ $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt2$. Nhưng $5+2\sqrt6$ không phải là một tích có thừa số chính phương — nó là một **tổng của một số nguyên và một căn thức khác**. Không có phép "đưa thừa số ra ngoài" nào áp dụng trực tiếp được ở đây. Đây chính là điểm phân biệt bài toán HSG với bài toán rút gọn thông thường: số dưới căn phải được **nhận diện là một bình phương ẩn** trước khi khai căn.

Mở rộng dành cho HSG

Kỹ thuật đưa $a \pm 2\sqrt{b}$ về dạng $(\sqrt{m} \pm \sqrt{n})^2$ không nằm trong yêu cầu cần đạt chuẩn của Lớp 9 — đây là kỹ thuật mở rộng thường gặp trong đề thi học sinh giỏi và đề chuyên Toán. Tiên quyết: hằng đẳng thức bình phương một tổng/hiệu và kỹ năng giải phương trình bậc hai bằng nhẩm nghiệm (Vi-ét ngược).

Kỹ thuật đưa $a \pm 2\sqrt{b}$ về dạng $(\sqrt{m} \pm \sqrt{n})^2$ **không nằm trong yêu cầu cần đạt chuẩn của Lớp 9** — đây là kỹ thuật mở rộng thường gặp trong đề thi học sinh giỏi và đề chuyên Toán. Tiên quyết: hằng đẳng thức bình phương một tổng/hiệu và kỹ năng giải phương trình bậc hai bằng nhẩm nghiệm (Vi-ét ngược).

Ý tưởng chính

Ý tưởng: nếu tìm được hai số dương $m, n$ sao cho $m+n=a$ và $mn=b$ , thì

$a+2\sqrt{b} = m+n+2\sqrt{mn} = (\sqrt{m}+\sqrt{n})^2,$

nên $\sqrt{a+2\sqrt{b}} = \sqrt{m}+\sqrt{n}$ (luôn dương, không cần xét dấu). Với dạng trừ $a-2\sqrt{b}$ , kết quả là $(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2$ và ta phải so sánh $m$ với $n$ để biết lấy $\sqrt{m}-\sqrt{n}$ hay $\sqrt{n}-\sqrt{m}$ (căn thức luôn không âm). Cặp $(m,n)$ chính là hai nghiệm của phương trình bậc hai $t^2 - at + b = 0$ .

**Ý tưởng:** nếu tìm được hai số dương $m, n$ sao cho $m+n=a$ và $mn=b$, thì $$a+2\sqrt{b} = m+n+2\sqrt{mn} = (\sqrt{m}+\sqrt{n})^2,$$ nên $\sqrt{a+2\sqrt{b}} = \sqrt{m}+\sqrt{n}$ (luôn dương, không cần xét dấu). Với dạng trừ $a-2\sqrt{b}$, kết quả là $(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2$ và ta phải **so sánh $m$ với $n$** để biết lấy $\sqrt{m}-\sqrt{n}$ hay $\sqrt{n}-\sqrt{m}$ (căn thức luôn không âm). Cặp $(m,n)$ chính là hai nghiệm của phương trình bậc hai $t^2 - at + b = 0$.

Vì sao ý tưởng này tự nhiên? Em đã quen khai triển $(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2 = m+n+2\sqrt{mn}$ theo chiều xuôi. Bài toán $a+2\sqrt{b}$ có đúng cấu trúc "tổng + 2 lần căn của một tích" — nên việc "tách ngược" $a$ thành tổng $m+n$ và $b$ thành tích $mn$ là suy luận tự nhiên nếu em nhớ lại hệ thức Vi-ét (tổng và tích hai nghiệm) đã gặp khi học phương trình bậc hai, chỉ áp dụng theo chiều ngược lại.

**Vì sao ý tưởng này tự nhiên?** Em đã quen khai triển $(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2 = m+n+2\sqrt{mn}$ theo chiều xuôi. Bài toán $a+2\sqrt{b}$ có đúng cấu trúc "tổng + 2 lần căn của một tích" — nên việc "tách ngược" $a$ thành tổng $m+n$ và $b$ thành tích $mn$ là suy luận tự nhiên nếu em nhớ lại hệ thức Vi-ét (tổng và tích hai nghiệm) đã gặp khi học phương trình bậc hai, chỉ áp dụng theo chiều ngược lại.

Quy trình 4 bước: nhận diện bình phương ẩn.

Ba ví dụ dưới đây đi theo đúng 4 bước của sơ đồ trên, từ đơn giản (hệ số $2$ có sẵn) đến phức tạp hơn (phải quy hệ số về đúng dạng, rồi phối hợp hai lần bình phương ẩn trong một bài chứng minh). Khi đọc, em hãy tự hỏi ở mỗi ví dụ: "bước nào trong 4 bước sơ đồ đang được thực hiện?" — thói quen này giúp em áp dụng đúng quy trình cho những bài chưa từng gặp.

Ví dụ mẫu

Ví dụ

Ví dụ 1 — dạng cộng, hệ số 2 có sẵn

1
Rút gọn $A = \sqrt{5+2\sqrt6}$ . Vì $5+2\sqrt6>0$ nên $A$ xác định và $A\ge0$ (căn bậc hai số học của một số dương).
Rút gọn $A = \sqrt{5+2\sqrt6}$. Vì $5+2\sqrt6>0$ nên $A$ xác định và $A\ge0$ (căn bậc hai số học của một số dương).
2
Ta có $(\sqrt m+\sqrt n)^2 = m+n+2\sqrt{mn}$ (hằng đẳng thức bình phương một tổng, dùng theo chiều ngược). So khớp với $5+2\sqrt6$ , cần tìm hai số dương $m,n$ sao cho $m+n=5$ và $mn=6$ — tức $m,n$ là hai nghiệm của $t^2-5t+6=0$ . Theo Vi-ét đảo (nhẩm nghiệm), phương trình phân tích được $(t-2)(t-3)=0$ , nên $t=2$ hoặc $t=3$ . Vậy chọn $m=3,\ n=2$ . (1)
Ta có $(\sqrt m+\sqrt n)^2 = m+n+2\sqrt{mn}$ (hằng đẳng thức bình phương một tổng, dùng theo chiều ngược). So khớp với $5+2\sqrt6$, cần tìm hai số dương $m,n$ sao cho $m+n=5$ và $mn=6$ — tức $m,n$ là hai nghiệm của $t^2-5t+6=0$. Theo Vi-ét đảo (nhẩm nghiệm), phương trình phân tích được $(t-2)(t-3)=0$, nên $t=2$ hoặc $t=3$. Vậy chọn $m=3,\ n=2$. (1)
3
Từ (1): $5+2\sqrt6 = 3+2+2\sqrt{3\cdot2} = (\sqrt3)^2+(\sqrt2)^2+2\sqrt3\sqrt2 = (\sqrt3+\sqrt2)^2$ .
Từ (1): $5+2\sqrt6 = 3+2+2\sqrt{3\cdot2} = (\sqrt3)^2+(\sqrt2)^2+2\sqrt3\sqrt2 = (\sqrt3+\sqrt2)^2$.
4
Do đó $A=\sqrt{(\sqrt3+\sqrt2)^2}=|\sqrt3+\sqrt2|$ theo tính chất căn bậc hai số học $\sqrt{x^2}=|x|$ ; mà $\sqrt3+\sqrt2>0$ nên bỏ được trị tuyệt đối ngay. Vậy $A=\sqrt3+\sqrt2$ .
Do đó $A=\sqrt{(\sqrt3+\sqrt2)^2}=|\sqrt3+\sqrt2|$ theo tính chất căn bậc hai số học $\sqrt{x^2}=|x|$; mà $\sqrt3+\sqrt2>0$ nên bỏ được trị tuyệt đối ngay. Vậy $A=\sqrt3+\sqrt2$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — dạng trừ, phải quy hệ số về

2\sqrt{b}

Ví dụ 2 — dạng trừ, phải quy hệ số về $2\sqrt{b}$

1
Rút gọn $B=\sqrt{7-4\sqrt3}$ . Vì $4\sqrt3\approx6{,}93<7$ nên $7-4\sqrt3>0$ , $B$ xác định và $B\ge0$ .
Rút gọn $B=\sqrt{7-4\sqrt3}$. Vì $4\sqrt3\approx6{,}93<7$ nên $7-4\sqrt3>0$, $B$ xác định và $B\ge0$.
2
Muốn dùng hằng đẳng thức bình phương một hiệu, hệ số trước căn phải là $2$ . Ta có $4\sqrt3 = 2\cdot2\sqrt3 = 2\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{12}$ , nên $B=\sqrt{7-2\sqrt{12}}$ .
Muốn dùng hằng đẳng thức bình phương một hiệu, hệ số trước căn phải là $2$. Ta có $4\sqrt3 = 2\cdot2\sqrt3 = 2\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{12}$, nên $B=\sqrt{7-2\sqrt{12}}$.
3
Cần $m+n=7$ và $mn=12$ , tức $m,n$ là nghiệm của $t^2-7t+12=0$ . Phân tích $(t-3)(t-4)=0$ cho $t=3$ hoặc $t=4$ . Vậy chọn $m=4,\ n=3$ . (1)
Cần $m+n=7$ và $mn=12$, tức $m,n$ là nghiệm của $t^2-7t+12=0$. Phân tích $(t-3)(t-4)=0$ cho $t=3$ hoặc $t=4$. Vậy chọn $m=4,\ n=3$. (1)
4
Từ (1): $7-2\sqrt{12}=4+3-2\sqrt{4\cdot3}=(\sqrt4-\sqrt3)^2=(2-\sqrt3)^2$ . Mặt khác $2=\sqrt4>\sqrt3$ nên $2-\sqrt3>0$ .
Từ (1): $7-2\sqrt{12}=4+3-2\sqrt{4\cdot3}=(\sqrt4-\sqrt3)^2=(2-\sqrt3)^2$. Mặt khác $2=\sqrt4>\sqrt3$ nên $2-\sqrt3>0$.
5
Do đó $B=\sqrt{(2-\sqrt3)^2}=|2-\sqrt3|=2-\sqrt3$ (vì đã xét dấu dương ở trên, theo $\sqrt{x^2}=|x|$ ). Vậy $B=2-\sqrt3$ .
Do đó $B=\sqrt{(2-\sqrt3)^2}=|2-\sqrt3|=2-\sqrt3$ (vì đã xét dấu dương ở trên, theo $\sqrt{x^2}=|x|$). Vậy $B=2-\sqrt3$.

Ví dụ

Ví dụ 3 — phối hợp hai bình phương ẩn (dạng chứng minh)

1
Chứng minh $C = \sqrt{9+4\sqrt5} - \sqrt{9-4\sqrt5}$ là một số nguyên, rồi tìm giá trị đó. Vì $4\sqrt5\approx8{,}94<9$ nên cả $9+4\sqrt5>0$ và $9-4\sqrt5>0$ , hai căn đều xác định.
Chứng minh $C = \sqrt{9+4\sqrt5} - \sqrt{9-4\sqrt5}$ là một số nguyên, rồi tìm giá trị đó. Vì $4\sqrt5\approx8{,}94<9$ nên cả $9+4\sqrt5>0$ và $9-4\sqrt5>0$, hai căn đều xác định.
2
Ta có $4\sqrt5=2\sqrt{20}$ . Cần $m+n=9,\ mn=20$ , tức nghiệm của $t^2-9t+20=0$ : $(t-4)(t-5)=0$ cho $m=5,n=4$ . Suy ra $9+2\sqrt{20}=(\sqrt5+2)^2$ , nên $\sqrt{9+4\sqrt5}=\sqrt5+2$ . (1)
Ta có $4\sqrt5=2\sqrt{20}$. Cần $m+n=9,\ mn=20$, tức nghiệm của $t^2-9t+20=0$: $(t-4)(t-5)=0$ cho $m=5,n=4$. Suy ra $9+2\sqrt{20}=(\sqrt5+2)^2$, nên $\sqrt{9+4\sqrt5}=\sqrt5+2$. (1)
3
Tương tự, $9-2\sqrt{20}=(\sqrt5-2)^2$ . Vì $\sqrt5\approx2{,}236>2$ nên $\sqrt5-2>0$ , do đó $\sqrt{9-4\sqrt5}=\sqrt5-2$ . (2)
Tương tự, $9-2\sqrt{20}=(\sqrt5-2)^2$. Vì $\sqrt5\approx2{,}236>2$ nên $\sqrt5-2>0$, do đó $\sqrt{9-4\sqrt5}=\sqrt5-2$. (2)
4
Kết hợp (1) và (2): $C=(\sqrt5+2)-(\sqrt5-2)=4$ . Vậy $C$ là một số nguyên và $C=4$ — phần chứa $\sqrt5$ triệt tiêu hoàn toàn khi trừ hai kết quả cho nhau.
Kết hợp (1) và (2): $C=(\sqrt5+2)-(\sqrt5-2)=4$. Vậy $C$ là một số nguyên và $C=4$ — phần chứa $\sqrt5$ triệt tiêu hoàn toàn khi trừ hai kết quả cho nhau.

Sai lầm thường gặp

(1) Quên quy hệ số trước căn về đúng dạng $2\sqrt{b}$ trước khi tách $m,n$ (ví dụ quên đổi $4\sqrt3$ thành $2\sqrt{12}$ ). (2) Bỏ dấu giá trị tuyệt đối sai chiều khi $m<n$ trong dạng trừ, dẫn đến kết quả âm vô lý (căn bậc hai luôn không âm). (3) Nhầm lẫn giữa $a$ (tổng $m+n$ ) và $b$ (tích $mn$ ) khi lập phương trình $t^2-at+b=0$ .

**(1)** Quên quy hệ số trước căn về đúng dạng $2\sqrt{b}$ trước khi tách $m,n$ (ví dụ quên đổi $4\sqrt3$ thành $2\sqrt{12}$). **(2)** Bỏ dấu giá trị tuyệt đối sai chiều khi $m<n$ trong dạng trừ, dẫn đến kết quả âm vô lý (căn bậc hai luôn không âm). **(3)** Nhầm lẫn giữa $a$ (tổng $m+n$) và $b$ (tích $mn$) khi lập phương trình $t^2-at+b=0$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$a \pm 2\sqrt{b} \to$ tìm $m,n$ dương với $m+n=a$ , $mn=b$ (nghiệm của $t^2-at+b=0$ ); kết quả là $\sqrt m \pm \sqrt n$ , luôn nhớ so sánh $m$ và $n$ để lấy đúng dấu.

$a \pm 2\sqrt{b} \to$ tìm $m,n$ dương với $m+n=a$, $mn=b$ (nghiệm của $t^2-at+b=0$); kết quả là $\sqrt m \pm \sqrt n$, luôn nhớ so sánh $m$ và $n$ để lấy đúng dấu.

Nhưng không phải bài toán căn lồng nào cũng có hệ số 2 gọn đẹp trước một dấu căn duy nhất. Bài học sau xử lý các bài mà kỹ thuật tách $m,n$ không áp dụng trực tiếp được — khi đó ta bình phương toàn bộ biểu thức (thường là tổng hoặc hiệu của hai căn lồng) để triệt tiêu phần khó.

Nhưng không phải bài toán căn lồng nào cũng có hệ số 2 gọn đẹp trước một dấu căn duy nhất. Bài học sau xử lý các bài mà kỹ thuật tách $m,n$ không áp dụng trực tiếp được — khi đó ta bình phương **toàn bộ biểu thức** (thường là tổng hoặc hiệu của hai căn lồng) để triệt tiêu phần khó.