Bài học

Từ rút gọn căn thức chuẩn đến bài toán căn thức HSG

Mục tiêu

Sau bài học này, em phân biệt được bài toán căn thức ở mức đề thi vào lớp 10 đại trà (chuẩn) và bài toán căn thức ở mức HSG/chuyên cùng chủ đề, đồng thời giải thành thạo dạng "tìm $x$ nguyên để biểu thức chứa căn nhận giá trị nguyên" hoặc "đạt giá trị lớn nhất/nhỏ nhất".

Sau bài học này, em phân biệt được bài toán căn thức ở mức đề thi vào lớp 10 đại trà (chuẩn) và bài toán căn thức ở mức HSG/chuyên cùng chủ đề, đồng thời giải thành thạo dạng \"tìm $x$ nguyên để biểu thức chứa căn nhận giá trị nguyên\" hoặc \"đạt giá trị lớn nhất/nhỏ nhất\".

Kiến thức nền cần có

Em cần vững các phép biến đổi căn thức bậc hai đã học ở mức chuẩn: đặt điều kiện xác định, quy đồng, trục căn thức ở mẫu, rút gọn biểu thức về dạng phân thức đơn giản (nội dung khóa "Biến đổi căn thức"). Bài học này không dạy lại các phép biến đổi đó mà dùng chúng làm nền để đi xa hơn.

So với bài toán chuẩn lớp 9

Đề thi vào lớp 10 đại trà thường dừng ở: cho biểu thức $A$ chứa căn, yêu cầu (a) tìm điều kiện xác định và rút gọn $A$ , (b) tính giá trị của $A$ khi $x$ nhận một giá trị cụ thể (ví dụ $x=9$ ). Đây là bài toán chuẩn: một phép rút gọn, một phép thay số. Bài toán HSG/chuyên giữ nguyên biểu thức $A$ đã rút gọn đó, nhưng đổi câu hỏi cuối: "tìm tất cả số nguyên $x$ để $A$ nhận giá trị nguyên" hoặc "tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của $A$ khi $x$ nguyên". Chỉ đổi câu hỏi cuối, độ khó tăng vọt — vì học sinh phải tự tìm một kỹ thuật mới, không có sẵn trong một công thức nào.

Đề thi vào lớp 10 đại trà thường dừng ở: cho biểu thức $A$ chứa căn, yêu cầu (a) tìm điều kiện xác định và rút gọn $A$, (b) tính giá trị của $A$ khi $x$ nhận một giá trị cụ thể (ví dụ $x=9$). Đây là bài toán chuẩn: một phép rút gọn, một phép thay số. Bài toán HSG/chuyên giữ nguyên biểu thức $A$ đã rút gọn đó, nhưng đổi câu hỏi cuối: \"tìm tất cả số nguyên $x$ để $A$ nhận giá trị nguyên\" hoặc \"tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của $A$ khi $x$ nguyên\". Chỉ đổi câu hỏi cuối, độ khó tăng vọt — vì học sinh phải tự tìm một kỹ thuật mới, không có sẵn trong một công thức nào.

Mở rộng dành cho HSG — bổ đề căn bậc hai

Ta sẽ dùng một tính chất không nằm trong yêu cầu chuẩn của lớp 9: nếu $n$ là số nguyên không âm thì $\sqrt n$ hoặc là số nguyên (khi $n$ là số chính phương), hoặc là số vô tỉ — không bao giờ là số hữu tỉ không nguyên. Tính chất này sẽ được chứng minh chặt chẽ bằng phản chứng ở Chương 3; ở đây ta tạm chấp nhận để dùng, vì nó là chìa khóa của dạng toán này.

Bài toán khởi động

$A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\quad (x\ge 0,\ x\neq 4)$ Bài chuẩn sẽ hỏi: rút gọn $A$ (đã ở dạng gọn) và tính $A$ khi $x=9$ (được $A=4$ ). Bài HSG hỏi: tìm tất cả các số nguyên $x$ ( $x\ge0,x\neq4$ ) để $A$ nhận giá trị nguyên. Không thể trả lời bằng một phép thế số duy nhất — phải xử lý cả biểu thức.

$$A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\quad (x\ge 0,\ x\neq 4)$$ Bài chuẩn sẽ hỏi: rút gọn $A$ (đã ở dạng gọn) và tính $A$ khi $x=9$ (được $A=4$). Bài HSG hỏi: tìm tất cả các số nguyên $x$ ($x\ge0,x\neq4$) để $A$ nhận giá trị nguyên. Không thể trả lời bằng một phép thế số duy nhất — phải xử lý cả biểu thức.

Ý tưởng chính

Viết lại $A$ dưới dạng phần nguyên cộng phần dư: đặt $t=\sqrt{x}\ge0, t\neq2$ . Ta có $A=\dfrac{t+1}{t-2}=1+\dfrac{3}{t-2}$ . Muốn $A$ nguyên, ta cần $\dfrac{3}{t-2}$ nguyên — đây là ý tưởng "tách phần dư không đổi", biến bài toán tìm giá trị nguyên của một phân thức thành bài toán ước số quen thuộc. Một học sinh giỏi sẽ để ý mẫu số $(t-2)$ xuất hiện y hệt ở tử sau khi trừ bớt, nên chủ động viết $t+1=(t-2)+3$ , giống hệt phép chia đa thức. Đây là kỹ thuật lặp lại nhiều lần ở các bài phân thức chứa căn.

Viết lại $A$ dưới dạng phần nguyên cộng phần dư: đặt $t=\sqrt{x}\ge0, t\neq2$. Ta có $A=\dfrac{t+1}{t-2}=1+\dfrac{3}{t-2}$. Muốn $A$ nguyên, ta cần $\dfrac{3}{t-2}$ nguyên — đây là ý tưởng \"tách phần dư không đổi\", biến bài toán tìm giá trị nguyên của một phân thức thành bài toán ước số quen thuộc. Một học sinh giỏi sẽ để ý mẫu số $(t-2)$ xuất hiện y hệt ở tử sau khi trừ bớt, nên chủ động viết $t+1=(t-2)+3$, giống hệt phép chia đa thức. Đây là kỹ thuật lặp lại nhiều lần ở các bài phân thức chứa căn.

Ví dụ

Kỹ thuật tách phần nguyên và xét ước số

1
Đề không cho một giá trị $x$ cụ thể để thế vào — nó hỏi TẤT CẢ giá trị nguyên $x$ khiến $A$ nguyên, nên phép thử từng số là vô tận. Ý tưởng mấu chốt là tách $A$ thành phần nguyên cộng một phân thức có tử không đổi, đưa bài toán về việc liệt kê ước của một số cụ thể — ý tưởng tự nhiên vì mẫu $(t-2)$ đã xuất hiện sẵn ở tử sau khi cộng trừ khéo léo.
Đề không cho một giá trị $x$ cụ thể để thế vào — nó hỏi TẤT CẢ giá trị nguyên $x$ khiến $A$ nguyên, nên phép thử từng số là vô tận. Ý tưởng mấu chốt là tách $A$ thành phần nguyên cộng một phân thức có tử không đổi, đưa bài toán về việc liệt kê ước của một số cụ thể — ý tưởng tự nhiên vì mẫu $(t-2)$ đã xuất hiện sẵn ở tử sau khi cộng trừ khéo léo.
2
Đặt $t=\sqrt{x}\ge 0$ , $t\neq 2$ (vì $x\neq4$ ). Biểu thức trở thành $A=\dfrac{t+1}{t-2}$ .
Đặt $t=\sqrt{x}\ge 0$, $t\neq 2$ (vì $x\neq4$). Biểu thức trở thành $A=\dfrac{t+1}{t-2}$.
3
$t+1=(t-2)+3$ nên $A=1+\dfrac{3}{t-2}$ .
$t+1=(t-2)+3$ nên $A=1+\dfrac{3}{t-2}$.
4
$A$ nguyên $\Leftrightarrow \dfrac{3}{t-2}$ nguyên. Vì $t=\sqrt{x}$ với $x$ nguyên, theo bổ đề, $t$ nguyên hoặc vô tỉ; nếu $t$ vô tỉ thì $\dfrac{3}{t-2}$ vô tỉ (không thể nguyên), nên bắt buộc $t$ phải nguyên.
$A$ nguyên $\Leftrightarrow \dfrac{3}{t-2}$ nguyên. Vì $t=\sqrt{x}$ với $x$ nguyên, theo bổ đề, $t$ nguyên hoặc vô tỉ; nếu $t$ vô tỉ thì $\dfrac{3}{t-2}$ vô tỉ (không thể nguyên), nên bắt buộc $t$ phải nguyên.
5
$t-2$ là ước nguyên của 3, tức $t-2\in\{-3;-1;1;3\}$ , suy ra $t\in\{-1;1;3;5\}$ .
$t-2$ là ước nguyên của 3, tức $t-2\in\{-3;-1;1;3\}$, suy ra $t\in\{-1;1;3;5\}$.
6
Vì $t=\sqrt{x}\ge 0$ nên loại $t=-1$ . Với $t\in\{1;3;5\}$ ta có $x=t^2\in\{1;9;25\}$ (đều thỏa $x\ge0,x\neq4$ ). Vậy $x\in\{1;9;25\}$ .
Vì $t=\sqrt{x}\ge 0$ nên loại $t=-1$. Với $t\in\{1;3;5\}$ ta có $x=t^2\in\{1;9;25\}$ (đều thỏa $x\ge0,x\neq4$). Vậy $x\in\{1;9;25\}$.
7
Kỹ thuật tách phần nguyên dùng được bất cứ khi nào biểu thức có dạng $\dfrac{at+b}{t+c}$ với $a,b,c$ là hằng số. Biến thể gần: đổi đề thành $\dfrac{2\sqrt x+1}{\sqrt x-2}$ — cách tách vẫn y hệt, chỉ khác số dư cuối cùng cần xét ước (ở đây là ước của 5 thay vì 3).
Kỹ thuật tách phần nguyên dùng được bất cứ khi nào biểu thức có dạng $\dfrac{at+b}{t+c}$ với $a,b,c$ là hằng số. Biến thể gần: đổi đề thành $\dfrac{2\sqrt x+1}{\sqrt x-2}$ — cách tách vẫn y hệt, chỉ khác số dư cuối cùng cần xét ước (ở đây là ước của 5 thay vì 3).

Ba nghiệm

x=1;9;25

của Ví dụ 1, thể hiện trên trục số.Ba nghiệm $x=1;9;25$ của Ví dụ 1, thể hiện trên trục số.

Ví dụ

Biến thể: tìm giá trị nguyên lớn nhất bằng chặn bất đẳng thức

1
Ví dụ 1 xét ước vì phân thức $\dfrac{3}{t-2}$ có thể âm hoặc dương khi $t$ đi qua giá trị $2$ . Ở $B$ , mẫu $t+1$ luôn dương với mọi $t\ge0$ nên phân thức $\dfrac{1}{t+1}$ không đổi dấu — lúc này chặn bằng bất đẳng thức nhanh hơn hẳn dò từng ước, vì ta biết ngay khoảng giá trị của $B$ trước khi cần đến tính nguyên.
Ví dụ 1 xét ước vì phân thức $\dfrac{3}{t-2}$ có thể âm hoặc dương khi $t$ đi qua giá trị $2$. Ở $B$, mẫu $t+1$ luôn dương với mọi $t\ge0$ nên phân thức $\dfrac{1}{t+1}$ không đổi dấu — lúc này chặn bằng bất đẳng thức nhanh hơn hẳn dò từng ước, vì ta biết ngay khoảng giá trị của $B$ trước khi cần đến tính nguyên.
2
Xét $B=\dfrac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}$ , $x\ge0$ nguyên. Đặt $t=\sqrt x\ge0$ : $2t+3=2(t+1)+1$ nên $B=2+\dfrac{1}{t+1}$ .
Xét $B=\dfrac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}$, $x\ge0$ nguyên. Đặt $t=\sqrt x\ge0$: $2t+3=2(t+1)+1$ nên $B=2+\dfrac{1}{t+1}$.
3
Vì $t\ge0$ nên $t+1\ge1$ , do đó $0<\dfrac{1}{t+1}\le 1$ , suy ra $2<B\le 3$ .
Vì $t\ge0$ nên $t+1\ge1$, do đó $0<\dfrac{1}{t+1}\le 1$, suy ra $2<B\le 3$.
4
$B$ nguyên và $2<B\le3$ nên $B=3$ , đạt khi $\dfrac{1}{t+1}=1$ tức $t=0$ , $x=0$ .
$B$ nguyên và $2<B\le3$ nên $B=3$, đạt khi $\dfrac{1}{t+1}=1$ tức $t=0$, $x=0$.
5
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của $B$ là $3$ , đạt tại $x=0$ . Kỹ thuật "chặn bằng bất đẳng thức" ở đây khác kỹ thuật "xét ước số" ở Ví dụ 1 — dùng khi mẫu luôn dương và dễ chặn.
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của $B$ là $3$, đạt tại $x=0$. Kỹ thuật \"chặn bằng bất đẳng thức\" ở đây khác kỹ thuật \"xét ước số\" ở Ví dụ 1 — dùng khi mẫu luôn dương và dễ chặn.
6
Khi mẫu của phần dư luôn cùng dấu trên miền xác định, hãy chặn bất đẳng thức trước khi nghĩ đến ước số. Biến thể gần: với $B'=\dfrac{3\sqrt x+5}{\sqrt x+1}=3-\dfrac{2}{\sqrt x+1}$ , cùng cách chặn $2<B'\le3$ nhưng giá trị nguyên lớn nhất đổi thành $B'=3$ tại $x=1$ .
Khi mẫu của phần dư luôn cùng dấu trên miền xác định, hãy chặn bất đẳng thức trước khi nghĩ đến ước số. Biến thể gần: với $B'=\dfrac{3\sqrt x+5}{\sqrt x+1}=3-\dfrac{2}{\sqrt x+1}$, cùng cách chặn $2<B'\le3$ nhưng giá trị nguyên lớn nhất đổi thành $B'=3$ tại $x=1$.

Ví dụ

Biến thể mở rộng: xét tính đơn điệu để tìm cực trị

1
Ở $C=\dfrac{\sqrt x-3}{\sqrt x+1}$ , đề không hỏi giá trị NGUYÊN nữa mà hỏi thẳng GTNN trên toàn miền xác định — chặn như Ví dụ 2 không đủ vì cần biết $C$ tăng hay giảm để xác định đúng vị trí đạt cực trị. Ý tưởng tự nhiên là xét dấu của $\dfrac{4}{t+1}$ khi $t$ tăng: nó giảm, nên $C=1-\dfrac{4}{t+1}$ phải tăng — quan hệ ngược dấu này chính là chìa khóa.
Ở $C=\dfrac{\sqrt x-3}{\sqrt x+1}$, đề không hỏi giá trị NGUYÊN nữa mà hỏi thẳng GTNN trên toàn miền xác định — chặn như Ví dụ 2 không đủ vì cần biết $C$ tăng hay giảm để xác định đúng vị trí đạt cực trị. Ý tưởng tự nhiên là xét dấu của $\dfrac{4}{t+1}$ khi $t$ tăng: nó giảm, nên $C=1-\dfrac{4}{t+1}$ phải tăng — quan hệ ngược dấu này chính là chìa khóa.
2
Xét $C=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}$ , $x\ge0$ . Đặt $t=\sqrt x\ge0$ : $C=\dfrac{t-3}{t+1}=1-\dfrac{4}{t+1}$ .
Xét $C=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}$, $x\ge0$. Đặt $t=\sqrt x\ge0$: $C=\dfrac{t-3}{t+1}=1-\dfrac{4}{t+1}$.
3
Khi $t$ tăng thì $t+1$ tăng nên $\dfrac{4}{t+1}$ giảm, do đó $C=1-\dfrac{4}{t+1}$ TĂNG theo $t$ — $C$ là hàm đồng biến trên $[0;+\infty)$ .
Khi $t$ tăng thì $t+1$ tăng nên $\dfrac{4}{t+1}$ giảm, do đó $C=1-\dfrac{4}{t+1}$ TĂNG theo $t$ — $C$ là hàm đồng biến trên $[0;+\infty)$.
4
$C$ đồng biến nên đạt giá trị nhỏ nhất tại $t$ nhỏ nhất, tức $t=0$ ( $x=0$ ).
$C$ đồng biến nên đạt giá trị nhỏ nhất tại $t$ nhỏ nhất, tức $t=0$ ($x=0$).
5
Tại $x=0$ : $C=\dfrac{0-3}{0+1}=-3$ .
Tại $x=0$: $C=\dfrac{0-3}{0+1}=-3$.
6
GTNN của $C$ là $-3$ tại $x=0$ ; $C$ không có GTLN hữu hạn vì khi $x\to+\infty$ , $C\to1$ nhưng không đạt được. Kỹ thuật "khảo sát tính đơn điệu" bổ sung cho hai kỹ thuật trên; cả ba hợp thành bộ công cụ chuẩn cho dạng toán tìm giá trị nguyên/cực trị của biểu thức chứa $\sqrt x$ .
GTNN của $C$ là $-3$ tại $x=0$; $C$ không có GTLN hữu hạn vì khi $x\to+\infty$, $C\to1$ nhưng không đạt được. Kỹ thuật \"khảo sát tính đơn điệu\" bổ sung cho hai kỹ thuật trên; cả ba hợp thành bộ công cụ chuẩn cho dạng toán tìm giá trị nguyên/cực trị của biểu thức chứa $\sqrt x$.
7
Khi biểu thức có dạng hằng số trừ một phân thức dương giảm dần, cả biểu thức đồng biến — quy luật này thay hẳn việc "đoán" cực trị. Biến thể gần: với $C'=\dfrac{\sqrt x+5}{\sqrt x+1}=1+\dfrac{4}{\sqrt x+1}$ , phần dư $\dfrac{4}{t+1}$ lại giảm nên $C'$ NGHỊCH biến — GTLN đạt tại $x=0$ thay vì GTNN.
Khi biểu thức có dạng hằng số trừ một phân thức dương giảm dần, cả biểu thức đồng biến — quy luật này thay hẳn việc \"đoán\" cực trị. Biến thể gần: với $C'=\dfrac{\sqrt x+5}{\sqrt x+1}=1+\dfrac{4}{\sqrt x+1}$, phần dư $\dfrac{4}{t+1}$ lại giảm nên $C'$ NGHỊCH biến — GTLN đạt tại $x=0$ thay vì GTNN.

Bẫy thường gặp

(1) Quên loại giá trị $t$ âm vì $\sqrt{x}\ge0$ luôn đúng — không có nghiệm âm. (2) Quên đối chiếu điều kiện xác định ban đầu ( $x\neq4$ tức $t\neq2$ ) sau khi tìm được $x$ . (3) Kết luận $A$ hữu tỉ mà quên chứng minh $t$ phải nguyên — nếu bỏ qua bước này, lời giải bị coi là thiếu chặt chẽ dù đáp số đúng.

(1) Quên loại giá trị $t$ âm vì $\sqrt{x}\ge0$ luôn đúng — không có nghiệm âm. (2) Quên đối chiếu điều kiện xác định ban đầu ($x\neq4$ tức $t\neq2$) sau khi tìm được $x$. (3) Kết luận $A$ hữu tỉ mà quên chứng minh $t$ phải nguyên — nếu bỏ qua bước này, lời giải bị coi là thiếu chặt chẽ dù đáp số đúng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Ghi nhớ

Ba kỹ thuật cốt lõi cho dạng " $A(\sqrt x)$ nguyên / cực trị": (1) tách phần nguyên rồi xét ước số, (2) chặn bằng bất đẳng thức khi mẫu luôn dương, (3) xét tính đơn điệu theo $t=\sqrt{x}$ . Bài toán HSG thường yêu cầu em tự nhận ra nên dùng kỹ thuật nào trong ba kỹ thuật này.

Ba kỹ thuật cốt lõi cho dạng \"$A(\sqrt x)$ nguyên / cực trị\": (1) tách phần nguyên rồi xét ước số, (2) chặn bằng bất đẳng thức khi mẫu luôn dương, (3) xét tính đơn điệu theo $t=\sqrt{x}$. Bài toán HSG thường yêu cầu em tự nhận ra nên dùng kỹ thuật nào trong ba kỹ thuật này.

Kỹ thuật ước số ở bài này dựa trên một bổ đề về căn bậc hai mà ta mới tạm chấp nhận. Bài học tiếp theo chuyển sang hình học để thấy ranh giới chuẩn – HSG cũng xuất hiện y hệt ở dạng chứng minh tiếp tuyến đường tròn; sau đó Chương 3 sẽ quay lại chứng minh chặt chẽ bổ đề căn bậc hai bằng phản chứng.