Bài học

Ôn tập hàm số y=ax², phương trình bậc hai và định lý Vi-ét

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vẽ đúng đồ thị parabol $y=ax^2$ , tìm chính xác toạ độ giao điểm giữa parabol và một đường thẳng bằng phép giải phương trình (không đọc gần đúng trên hình vẽ), giải được phương trình bậc hai chứa tham số $m$ , và — quan trọng nhất — dùng hệ thức Vi-ét để tìm $m$ thoả một điều kiện cho trước về hai nghiệm mà không cần giải trực tiếp nghiệm. Đây đúng là cặp câu 3 và câu 4 của đề tuyển sinh 10.

Sau bài này, em vẽ đúng đồ thị parabol $y=ax^2$, tìm chính xác toạ độ giao điểm giữa parabol và một đường thẳng bằng phép giải phương trình (không đọc gần đúng trên hình vẽ), giải được phương trình bậc hai chứa tham số $m$, và — quan trọng nhất — dùng hệ thức Vi-ét để tìm $m$ thoả một điều kiện cho trước về hai nghiệm mà không cần giải trực tiếp nghiệm. Đây đúng là cặp câu 3 và câu 4 của đề tuyển sinh 10.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhớ: đồ thị $y=ax^2$ là một parabol đi qua gốc toạ độ, nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng, bề lõm quay lên khi $a>0$ ; công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ và biệt thức thu gọn $\Delta' = b'^2-ac$ khi $b=2b'$ ; và hệ thức Vi-ét — nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_1,x_2$ thì $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ và $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ . Ba công cụ này tách rời khi học riêng lẻ, nhưng đề thi luôn ghép chúng lại trong một câu hỏi liên hoàn.

Em cần nhớ: đồ thị $y=ax^2$ là một parabol đi qua gốc toạ độ, nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng, bề lõm quay lên khi $a>0$; công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ và biệt thức thu gọn $\Delta' = b'^2-ac$ khi $b=2b'$; và hệ thức Vi-ét — nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_1,x_2$ thì $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ và $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$. Ba công cụ này tách rời khi học riêng lẻ, nhưng đề thi luôn ghép chúng lại trong một câu hỏi liên hoàn.

Khởi động

Phương trình hoành độ giao điểm giữa $(P): y=ax^2$ và $(d): y=mx+n$ là $ax^2-mx-n=0$ . Số nghiệm của phương trình này — 0, 1 hay 2 — cho biết điều gì về vị trí tương đối giữa $(P)$ và $(d)$ ? Chính là số điểm chung: không cắt, tiếp xúc, hay cắt tại hai điểm phân biệt. Nắm được mối liên hệ này, em không cần vẽ hình chính xác tuyệt đối mới tìm được giao điểm — chỉ cần giải đúng phương trình.

Phương trình hoành độ giao điểm giữa $(P): y=ax^2$ và $(d): y=mx+n$ là $ax^2-mx-n=0$. Số nghiệm của phương trình này — 0, 1 hay 2 — cho biết điều gì về vị trí tương đối giữa $(P)$ và $(d)$? Chính là số điểm chung: không cắt, tiếp xúc, hay cắt tại hai điểm phân biệt. Nắm được mối liên hệ này, em không cần vẽ hình chính xác tuyệt đối mới tìm được giao điểm — chỉ cần giải đúng phương trình.

Kiến thức trọng tâm

Muốn tìm giao điểm của $(P)$ và $(d)$ chính xác, lập phương trình hoành độ giao điểm bằng cách cho hai vế bằng nhau, giải phương trình đó để được các hoành độ, rồi thay ngược vào một trong hai hàm số để tìm tung độ tương ứng. Với phương trình bậc hai chứa tham số $m$ , câu hỏi "chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$ " quy về việc chỉ ra $\Delta$ (hoặc $\Delta'$ ) luôn không âm — thường bằng cách đưa $\Delta$ về dạng tổng một bình phương cộng một số không âm. Với các bài hỏi về hệ thức giữa hai nghiệm (như $x_1^2+x_2^2$ , $x_1x_2$ , $x_1+x_2$ ...), luôn biến đổi biểu thức đó về dạng chỉ chứa $x_1+x_2$ và $x_1x_2$ trước khi thay số — không được giải phương trình để tìm từng nghiệm rồi cộng trừ nhân chia, vừa dài vừa dễ sai khi $m$ còn là ẩn.

Muốn tìm giao điểm của $(P)$ và $(d)$ chính xác, lập phương trình hoành độ giao điểm bằng cách cho hai vế bằng nhau, giải phương trình đó để được các hoành độ, rồi thay ngược vào một trong hai hàm số để tìm tung độ tương ứng. Với phương trình bậc hai chứa tham số $m$, câu hỏi "chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$" quy về việc chỉ ra $\Delta$ (hoặc $\Delta'$) luôn không âm — thường bằng cách đưa $\Delta$ về dạng tổng một bình phương cộng một số không âm. Với các bài hỏi về hệ thức giữa hai nghiệm (như $x_1^2+x_2^2$, $x_1x_2$, $x_1+x_2$...), luôn biến đổi biểu thức đó về dạng chỉ chứa $x_1+x_2$ và $x_1x_2$ trước khi thay số — không được giải phương trình để tìm từng nghiệm rồi cộng trừ nhân chia, vừa dài vừa dễ sai khi $m$ còn là ẩn.

Toạ độ hai giao điểm tìm được bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm, không phải đọc trên hình.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Vẽ đồ thị và tìm giao điểm của (P) và (d) (dạng câu 3)

1
Cho $(P): y=\dfrac{x^2}{4}$ và $(d): y=-\dfrac{x}{2}+2$ . a) Vẽ $(P)$ . b) Tìm toạ độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ bằng phép tính.
Cho $(P): y=\dfrac{x^2}{4}$ và $(d): y=-\dfrac{x}{2}+2$. a) Vẽ $(P)$. b) Tìm toạ độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ bằng phép tính.
2
Với $x=-4,-2,0,2,4$ ta có $y=4,1,0,1,4$ — đồ thị là parabol đối xứng qua trục tung, bề lõm quay lên.
Với $x=-4,-2,0,2,4$ ta có $y=4,1,0,1,4$ — đồ thị là parabol đối xứng qua trục tung, bề lõm quay lên.
3
Cho $\dfrac{x^2}{4} = -\dfrac{x}{2}+2$ , nhân hai vế với 4: $x^2 = -2x+8 \iff x^2+2x-8=0$ .
Cho $\dfrac{x^2}{4} = -\dfrac{x}{2}+2$, nhân hai vế với 4: $x^2 = -2x+8 \iff x^2+2x-8=0$.
4
$x^2+2x-8=0 \iff (x+4)(x-2)=0 \iff x=-4$ hoặc $x=2$ .
$x^2+2x-8=0 \iff (x+4)(x-2)=0 \iff x=-4$ hoặc $x=2$.
5
Với $x=-4$ : $y=\dfrac{16}{4}=4$ . Với $x=2$ : $y=\dfrac{4}{4}=1$ .
Với $x=-4$: $y=\dfrac{16}{4}=4$. Với $x=2$: $y=\dfrac{4}{4}=1$.
6
Vậy $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm $A(-4;4)$ và $B(2;1)$ .
Vậy $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm $A(-4;4)$ và $B(2;1)$.

Ví dụ

Giải phương trình bậc hai và chứng minh luôn có hai nghiệm phân biệt (dạng câu 4a)

1
Cho phương trình $x^2 - 2(m-1)x + 2m - 5 = 0$ (ẩn $x$ , tham số $m$ ). a) Giải phương trình khi $m=1$ . b) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$ .
Cho phương trình $x^2 - 2(m-1)x + 2m - 5 = 0$ (ẩn $x$, tham số $m$). a) Giải phương trình khi $m=1$. b) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.
2
Với $m=1$ , phương trình trở thành $x^2 - 0\cdot x + (2-5)=0 \iff x^2-3=0 \iff x^2=3 \iff x=\pm\sqrt3$ .
Với $m=1$, phương trình trở thành $x^2 - 0\cdot x + (2-5)=0 \iff x^2-3=0 \iff x^2=3 \iff x=\pm\sqrt3$.
3
Phương trình có $b'=-(m-1)$ , $\Delta' = (m-1)^2-(2m-5) = m^2-2m+1-2m+5 = m^2-4m+6$ .
Phương trình có $b'=-(m-1)$, $\Delta' = (m-1)^2-(2m-5) = m^2-2m+1-2m+5 = m^2-4m+6$.
4
$\Delta' = m^2-4m+4+2 = (m-2)^2+2$ . Vì $(m-2)^2 \ge 0$ với mọi $m$ , nên $\Delta' \ge 2 > 0$ với mọi $m$ .
$\Delta' = m^2-4m+4+2 = (m-2)^2+2$. Vì $(m-2)^2 \ge 0$ với mọi $m$, nên $\Delta' \ge 2 > 0$ với mọi $m$.
5
$\Delta'>0$ với mọi $m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$ . Khi $m=1$ , hai nghiệm là $x=\pm\sqrt3$ .
$\Delta'>0$ với mọi $m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$. Khi $m=1$, hai nghiệm là $x=\pm\sqrt3$.

Ví dụ

Dùng Vi-ét tìm tham số m thoả hệ thức cho trước (dạng câu 4b)

1
Với phương trình ở ví dụ trên, gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm. Tìm $m$ để $x_1^2+x_2^2=14$ .
Với phương trình ở ví dụ trên, gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm. Tìm $m$ để $x_1^2+x_2^2=14$.
2
Theo định lý Vi-ét: $x_1+x_2=2(m-1)$ và $x_1x_2=2m-5$ .
Theo định lý Vi-ét: $x_1+x_2=2(m-1)$ và $x_1x_2=2m-5$.
3
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = [2(m-1)]^2-2(2m-5) = 4(m-1)^2-4m+10$ .
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = [2(m-1)]^2-2(2m-5) = 4(m-1)^2-4m+10$.
4
$4(m-1)^2-4m+10 = 4m^2-8m+4-4m+10 = 4m^2-12m+14$ .
$4(m-1)^2-4m+10 = 4m^2-8m+4-4m+10 = 4m^2-12m+14$.
5
$4m^2-12m+14=14 \iff 4m^2-12m=0 \iff 4m(m-3)=0 \iff m=0$ hoặc $m=3$ .
$4m^2-12m+14=14 \iff 4m^2-12m=0 \iff 4m(m-3)=0 \iff m=0$ hoặc $m=3$.
6
Vì $\Delta'>0$ với mọi $m$ (đã chứng minh ở ví dụ trước) nên cả hai giá trị đều TMĐK. Vậy $m=0$ hoặc $m=3$ thì $x_1^2+x_2^2=14$ .
Vì $\Delta'>0$ với mọi $m$ (đã chứng minh ở ví dụ trước) nên cả hai giá trị đều TMĐK. Vậy $m=0$ hoặc $m=3$ thì $x_1^2+x_2^2=14$.

Ví dụ

Viết phương trình đường thẳng qua hai giao điểm — kiểm tra chéo kết quả

1
Viết phương trình đường thẳng $(d'): y=ax+b$ đi qua hai điểm $A(-4;4)$ và $B(2;1)$ đã tìm được ở ví dụ đầu, rồi so sánh với $(d)$ ban đầu.
Viết phương trình đường thẳng $(d'): y=ax+b$ đi qua hai điểm $A(-4;4)$ và $B(2;1)$ đã tìm được ở ví dụ đầu, rồi so sánh với $(d)$ ban đầu.
2
Vì $A,B \in (d')$ : $\begin{cases}-4a+b=4\\2a+b=1\end{cases}$ .
Vì $A,B \in (d')$: $\begin{cases}-4a+b=4\\2a+b=1\end{cases}$.
3
Trừ vế theo vế: $(-4a+b)-(2a+b)=4-1 \iff -6a=3 \iff a=-\dfrac12$ . Thế vào $2a+b=1$ : $-1+b=1 \iff b=2$ .
Trừ vế theo vế: $(-4a+b)-(2a+b)=4-1 \iff -6a=3 \iff a=-\dfrac12$. Thế vào $2a+b=1$: $-1+b=1 \iff b=2$.
4
Vậy $(d'): y=-\dfrac12x+2$ — trùng với $(d)$ ban đầu, đúng như dự đoán vì A, B chính là giao điểm của $(P)$ với $(d)$ , nên cả hai phải cùng nằm trên $(d)$ .
Vậy $(d'): y=-\dfrac12x+2$ — trùng với $(d)$ ban đầu, đúng như dự đoán vì A, B chính là giao điểm của $(P)$ với $(d)$, nên cả hai phải cùng nằm trên $(d)$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Rất nhiều bạn dùng Vi-ét để tìm m mà quên kiểm tra điều kiện có nghiệm ( $\Delta \ge 0$ hoặc $\Delta > 0$ ) trước — dẫn đến chọn cả những giá trị m làm phương trình vô nghiệm. Một lỗi khác là nhầm dấu trong công thức Vi-ét, đặc biệt khi hệ số $b$ mang dấu âm hoặc chứa tham số — luôn viết rõ $a,b,c$ trước khi áp dụng công thức, đừng nhẩm bằng mắt. Cuối cùng, khi bài yêu cầu "chứng minh luôn có hai nghiệm", đừng thay một vài giá trị m cụ thể để "kiểm tra bằng ví dụ" — cần chứng minh tổng quát bằng dấu của biệt thức.

Rất nhiều bạn dùng Vi-ét để tìm m mà quên kiểm tra điều kiện có nghiệm ($\Delta \ge 0$ hoặc $\Delta > 0$) trước — dẫn đến chọn cả những giá trị m làm phương trình vô nghiệm. Một lỗi khác là nhầm dấu trong công thức Vi-ét, đặc biệt khi hệ số $b$ mang dấu âm hoặc chứa tham số — luôn viết rõ $a,b,c$ trước khi áp dụng công thức, đừng nhẩm bằng mắt. Cuối cùng, khi bài yêu cầu "chứng minh luôn có hai nghiệm", đừng thay một vài giá trị m cụ thể để "kiểm tra bằng ví dụ" — cần chứng minh tổng quát bằng dấu của biệt thức.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Tìm giao điểm bằng phép giải phương trình hoành độ giao điểm, không đọc gần đúng trên hình. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm bằng cách đưa $\Delta$ về dạng bình phương cộng số không âm. Mọi biểu thức đối xứng của $x_1,x_2$ đều biến đổi được về $x_1+x_2$ và $x_1x_2$ trước khi thay số, và luôn đối chiếu lại điều kiện có nghiệm khi kết luận.

Bài tiếp theo chuyển sang phần hình học — ôn hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác, và cách trình bày một bài chứng minh tứ giác nội tiếp trọn vẹn theo đúng cấu trúc câu hình học của đề tuyển sinh 10.