Bài học

Lò xo nối tiếp: suy độ cứng từ cùng lực

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tự suy được độ cứng tương đương của chuỗi lò xo nối tiếp và phân bố độ dãn trên từng lò xo.

Kiến thức cần có

Cần biết định luật Hooke, cân bằng lực và giới hạn đàn hồi.

Mở rộng dành cho HSG. Từ định luật Hooke và năng lượng đàn hồi trong YCCĐ Vật lí 10, khóa này đi tới mạng nhiều lò xo, ràng buộc lực–độ dãn, chuyển động nhiều giai đoạn và tham số thiết kế. Tiền đề là lực đàn hồi, công, cơ năng, ma sát và lượng giác. Công thức tương đương phải được suy từ cấu hình, không học thuộc ngoài sơ đồ.

Câu hỏi mở đầu

Hai lò xo nối tiếp cùng giữ một vật. Vì sao lò xo mềm dãn nhiều hơn dù cả hai chịu đúng cùng một lực?

Ý tưởng cốt lõi

Hai lò xo nhẹ nối tiếp có lực đàn hồi cùng độ lớn F ở trạng thái tĩnh hoặc khi nút nối không có khối lượng. Theo Hooke, $x_1=F/k_1$ , $x_2=F/k_2$ và độ dãn tổng $x=x_1+x_2$ . Định nghĩa $F=k_{\rm eq}x$ cho $\frac1{k_{\rm eq}}=\frac1{k_1}+\frac1{k_2}$ , hay $k_{\rm eq}=k_1k_2/(k_1+k_2)$ . Với n lò xo, nghịch đảo độ cứng cộng. Vì vậy $k_{\rm eq}$ nhỏ hơn lò xo mềm nhất; chuỗi nối tiếp luôn mềm hơn từng phần tử.

Hai lò xo nhẹ nối tiếp có lực đàn hồi cùng độ lớn F ở trạng thái tĩnh hoặc khi nút nối không có khối lượng. Theo Hooke, $x_1=F/k_1$, $x_2=F/k_2$ và độ dãn tổng $x=x_1+x_2$. Định nghĩa $F=k_{\rm eq}x$ cho $\frac1{k_{\rm eq}}=\frac1{k_1}+\frac1{k_2}$, hay $k_{\rm eq}=k_1k_2/(k_1+k_2)$. Với n lò xo, nghịch đảo độ cứng cộng. Vì vậy $k_{\rm eq}$ nhỏ hơn lò xo mềm nhất; chuỗi nối tiếp luôn mềm hơn từng phần tử.

Hệ nối tiếp mềm nhất nên dãn nhiều nhất.

Đào sâu chiến lược

Công thức “cùng lực” chỉ đúng khi các phần tử nằm trên một đường truyền lực và nút nối không chịu lực ngoài hay quán tính đáng kể. Nếu treo thêm vật tại nút giữa, lực hai lò xo khác nhau. Khi đó không được dùng công thức nối tiếp giản lược; phải viết cân bằng hoặc Newton cho từng vật. HSG thường gài chính một tải ở nút để kiểm xem em có nhìn cấu hình thay vì nhớ công thức.

Phân bố độ dãn thỏa $x_1/x_2=k_2/k_1$ : lò xo mềm hơn dãn nhiều hơn. Năng lượng từng lò xo $E_i=F^2/(2k_i)$ , nên với cùng lực, lò xo mềm cũng chứa nhiều năng lượng hơn. Tổng năng lượng bằng $F^2/(2k_{\rm eq})=\frac12k_{\rm eq}x^2$ , xác nhận mô hình tương đương bảo toàn cả quan hệ lực lẫn năng lượng.

Phân bố độ dãn thỏa $x_1/x_2=k_2/k_1$: lò xo mềm hơn dãn nhiều hơn. Năng lượng từng lò xo $E_i=F^2/(2k_i)$, nên với cùng lực, lò xo mềm cũng chứa nhiều năng lượng hơn. Tổng năng lượng bằng $F^2/(2k_{\rm eq})=\frac12k_{\rm eq}x^2$, xác nhận mô hình tương đương bảo toàn cả quan hệ lực lẫn năng lượng.

Các phần tử đàn hồi trong dây treo, đệm giảm chấn hoặc vật liệu nhiều lớp thường ứng xử như nối tiếp theo phương tải. Một lớp rất mềm chi phối biến dạng toàn hệ. Vì thế thêm một phần tử “rất cứng” nối tiếp gần như không cải thiện nhiều nếu phần mềm vẫn giữ nguyên.

Khung ràng buộc lò xo

Trước khi tính, hãy đánh dấu các nút và hỏi: lò xo nào chịu cùng lực, lò xo nào có cùng độ dãn, tổng độ dãn hoặc tổng lực được ghép ra sao? Nối tiếp lí tưởng cho cùng lực và độ dãn cộng; song song cho cùng độ dãn và lực cộng. Sau khi rút $k_{\rm eq}$ , mới thay mạng bằng một lò xo tương đương. Trong bài năng lượng, ghi trạng thái đầu–cuối và tách rõ công ma sát.

Trước khi tính, hãy đánh dấu các nút và hỏi: lò xo nào chịu **cùng lực**, lò xo nào có **cùng độ dãn**, tổng độ dãn hoặc tổng lực được ghép ra sao? Nối tiếp lí tưởng cho cùng lực và độ dãn cộng; song song cho cùng độ dãn và lực cộng. Sau khi rút $k_{\rm eq}$, mới thay mạng bằng một lò xo tương đương. Trong bài năng lượng, ghi trạng thái đầu–cuối và tách rõ công ma sát.

Trình bày để nhận đủ điểm

Trình bày mẫu phải suy $k_{\rm eq}$ từ định luật Hooke và ràng buộc, nêu giả định lò xo nhẹ, trong giới hạn đàn hồi. Với năng lượng, chọn mốc thế năng, ghi công của lực không bảo toàn và kiểm đơn vị J. Nếu dùng vị trí cân bằng thẳng đứng, chuyển sang li độ quanh cân bằng trước khi viết năng lượng dao động. Mỗi phần kết bằng “Vậy…” với đơn vị và trạng thái vật.

Kiểm ngược

Kiểm ngược: nối tiếp phải mềm hơn từng lò xo; song song phải cứng hơn từng lò xo; lực và độ dãn từng nhánh phải khớp ràng buộc. Năng lượng không được tăng khi có ma sát. Khi một độ cứng tiến tới vô hạn, nhánh ấy gần như thanh cứng; khi một độ cứng nối tiếp tiến tới 0, cả hệ phải rất mềm.

Nhật kí lỗi

Nhật kí lỗi cần ghi đúng thao tác: nhìn hình sai kiểu ghép, cộng độ cứng nối tiếp, cho các nhánh song song cùng lực, dùng độ nén tổng cho từng lò xo, hay bỏ công ma sát. Sửa bằng đánh dấu nút, bảng lực–độ dãn và kiểm giới hạn.

Ví dụ

Hai lò xo 100 và 200 N/m treo vật 3 kg

1
Hai lò xo $k_1=100$ N/m, $k_2=200$ N/m nối tiếp treo vật 3 kg. Lấy $g=10$ m/s². Tìm $k_{\rm eq}$ , độ dãn tổng và độ dãn mỗi lò xo.
Hai lò xo $k_1=100$ N/m, $k_2=200$ N/m nối tiếp treo vật 3 kg. Lấy $g=10$ m/s². Tìm $k_{\rm eq}$, độ dãn tổng và độ dãn mỗi lò xo.
2
Độ dãn tổng không bằng độ dãn tính với từng k riêng; phải dùng cùng lực và cộng biến dạng.
3
Suy keq từ nghịch đảo, rồi kiểm bằng phân bố x1, x2.
4
Vì hai lò xo nối tiếp và nút nối nhẹ, mỗi lò xo chịu lực $F=mg=30$ N. Ta có $1/k_{\rm eq}=1/100+1/200=3/200$ , nên $k_{\rm eq}=200/3\approx66{,}67$ N/m. Độ dãn tổng $x=F/k_{\rm eq}=30/(200/3)=0{,}45$ m. Riêng $x_1=30/100=0{,}30$ m, $x_2=30/200=0{,}15$ m; tổng đúng 0,45 m. Vậy hệ dãn 0,45 m, phân bố 0,30 m và 0,15 m.
Vì hai lò xo nối tiếp và nút nối nhẹ, mỗi lò xo chịu lực $F=mg=30$ N. Ta có $1/k_{\rm eq}=1/100+1/200=3/200$, nên $k_{\rm eq}=200/3\approx66{,}67$ N/m. Độ dãn tổng $x=F/k_{\rm eq}=30/(200/3)=0{,}45$ m. Riêng $x_1=30/100=0{,}30$ m, $x_2=30/200=0{,}15$ m; tổng đúng 0,45 m. Vậy hệ dãn 0,45 m, phân bố 0,30 m và 0,15 m.
5
keq nhỏ hơn 100 N/m và lò xo mềm k1 dãn gấp đôi k2.
6
Nếu giới hạn đàn hồi của k1 chỉ 0,25 m, cấu hình không còn hợp lệ dù công thức đại số vẫn cho kết quả.

Ví dụ

Chuỗi ba lò xo

1
Ba lò xo 120, 180, 360 N/m nối tiếp chịu tải 24 N. Tìm độ cứng tương đương và độ dãn từng lò xo.
2
Ba độ dãn khác nhau nhưng cùng lực; cần cộng nghịch đảo thay vì lấy trung bình.
3
Lập tổng độ mềm 1/k rồi đối chiếu tổng các độ dãn.
4
Ta có $1/k_{\rm eq}=1/120+1/180+1/360=(3+2+1)/360=1/60$ , nên $k_{\rm eq}=60$ N/m. Độ dãn tổng $x=24/60=0{,}40$ m. Các độ dãn là $x_1=24/120=0{,}20$ m, $x_2=24/180=0{,}1333$ m, $x_3=24/360=0{,}0667$ m; tổng bằng 0,40 m. Vậy keq = 60 N/m và ba độ dãn lần lượt 0,20; 0,133; 0,0667 m.
Ta có $1/k_{\rm eq}=1/120+1/180+1/360=(3+2+1)/360=1/60$, nên $k_{\rm eq}=60$ N/m. Độ dãn tổng $x=24/60=0{,}40$ m. Các độ dãn là $x_1=24/120=0{,}20$ m, $x_2=24/180=0{,}1333$ m, $x_3=24/360=0{,}0667$ m; tổng bằng 0,40 m. Vậy keq = 60 N/m và ba độ dãn lần lượt 0,20; 0,133; 0,0667 m.
5
Lò xo cứng nhất 360 N/m dãn ít nhất; keq nhỏ hơn 120 N/m.
6
Nếu một lò xo có k → ∞, nghịch đảo của nó về 0 và hệ còn tương đương hai lò xo kia nối tiếp.

Luyện tập có hướng dẫn

Tự luyện và thử thách

Lỗi thường gặp

Không cộng trực tiếp k khi nối tiếp; không cho độ dãn các lò xo bằng nhau; không dùng công thức nếu nút giữa có tải ngoài.

Chốt bài: Em đã tự suy được độ cứng tương đương của chuỗi lò xo nối tiếp và phân bố độ dãn trên từng lò xo. Bài sau chuyển sang song song, nơi độ dãn chung còn lực được chia giữa các nhánh.