Bài học

Qua sông: thời gian ngắn nhất và đường đi ít lệch nhất

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân biệt được mục tiêu qua sông nhanh nhất với cập đúng điểm đối diện và giải bằng tổng vectơ vận tốc.

Kiến thức cần có

Cần biết cộng vectơ vuông góc, lượng giác tam giác vuông và vận tốc tương đối.

So với bài chuẩn: Mở rộng dành cho HSG: bài vượt YCCĐ chuẩn vì chuyển động không còn một chiều, một vật hoặc một giai đoạn. Em phải tự chọn hệ quy chiếu, phân tích vectơ, ghép phương trình tại thời điểm biên và kiểm miền nghiệm. Mọi kĩ thuật được dạy từ đại số, lượng giác và động học lớp 10; không dùng phép tính vi phân như một giả định ngầm.

**So với bài chuẩn:** Mở rộng dành cho HSG: bài vượt YCCĐ chuẩn vì chuyển động không còn một chiều, một vật hoặc một giai đoạn. Em phải tự chọn hệ quy chiếu, phân tích vectơ, ghép phương trình tại thời điểm biên và kiểm miền nghiệm. Mọi kĩ thuật được dạy từ đại số, lượng giác và động học lớp 10; không dùng phép tính vi phân như một giả định ngầm.

Câu hỏi mở đầu

Thuyền chạy 4 m/s trong nước, dòng 3 m/s. Hướng mũi thuyền vuông góc bờ có đưa thuyền đến điểm đối diện không?

Ý tưởng cốt lõi

Chọn trục $Ox$ xuôi dòng, $Oy$ vuông góc bờ. Quan hệ vectơ là $\vec v_{thuyền,đất}=\vec v_{thuyền,nước}+\vec v_{nước,đất}$ . Muốn thời gian nhỏ nhất, cần cực đại thành phần qua sông $v_y$ ; với độ lớn vận tốc thuyền đối với nước cố định, hướng vuông góc bờ cho $v_y=4$ m/s và thời gian nhỏ nhất. Dòng vẫn tạo $v_x=3$ m/s nên thuyền trôi. Muốn đến đúng đối diện, thành phần ngược dòng của thuyền phải triệt tiêu 3 m/s; khi đó thành phần qua sông chỉ còn $\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt7$ m/s và thời gian dài hơn.

Chọn trục $Ox$ xuôi dòng, $Oy$ vuông góc bờ. Quan hệ vectơ là $\vec v_{thuyền,đất}=\vec v_{thuyền,nước}+\vec v_{nước,đất}$. Muốn **thời gian nhỏ nhất**, cần cực đại thành phần qua sông $v_y$; với độ lớn vận tốc thuyền đối với nước cố định, hướng vuông góc bờ cho $v_y=4$ m/s và thời gian nhỏ nhất. Dòng vẫn tạo $v_x=3$ m/s nên thuyền trôi. Muốn **đến đúng đối diện**, thành phần ngược dòng của thuyền phải triệt tiêu 3 m/s; khi đó thành phần qua sông chỉ còn $\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt7$ m/s và thời gian dài hơn.

Đi vuông góc bờ nhanh hơn nhưng trôi; chếch ngược dòng cập đúng điểm đối diện.

Đào sâu chiến lược

Hai mục tiêu có hàm tối ưu khác nhau. “Đường ngắn nhất” giữa hai bờ là đoạn vuông góc, nên vận tốc đối với đất phải vuông góc bờ. “Thời gian ngắn nhất” chỉ quan tâm thành phần qua bờ, không quan tâm trôi bao xa. Không được dùng một hướng cho cả hai rồi đổi tên kết quả.

Nếu tốc độ dòng lớn hơn hoặc bằng tốc độ thuyền, không thể cập đúng điểm đối diện bằng cách tự chạy vì không đủ thành phần ngược dòng. Tuy vậy vẫn có thể qua bờ theo hướng trôi. Đây là kiểm tồn tại trước khi giải góc.

Trong thực tế, tốc độ dòng thay đổi theo vị trí và đường đi cong. Bài dùng dòng đều, thuyền giữ tốc độ không đổi, bờ song song và bỏ thời gian quay mũi. Những giả định ấy phải xuất hiện trong kết luận.

Trình bày để nhận đủ điểm

Trình bày mẫu bắt đầu bằng hệ quy chiếu, trục và mốc thời gian. Ghi rõ vận tốc nào đối với đất, nước, không khí hoặc vật khác; không bỏ chỉ số khi có ba hệ. Với chuyển động từng đoạn, lập bảng khoảng thời gian và viết phương trình riêng. Với ném xiên, chiếu vận tốc đầu rồi dùng cùng một thời gian cho hai phương. Mỗi phần kết bằng “Vậy …” kèm đơn vị, góc quy chiếu và khoảng nghiệm nếu đề hỏi nhiều phương án.

Kiểm ngược

Kiểm ngược bằng hình học và giới hạn. Tổng vectơ phải có thành phần đúng chiều; tốc độ đối với đất không được ghép bằng phép cộng đại số khi hai vectơ vuông góc. Diện tích dưới đồ thị vận tốc là độ dời có dấu, còn quãng đường lấy trị tuyệt đối từng phần. Nghiệm góc ném phải nằm trong miền vật lí, vượt tường và đồng thời rơi đúng vùng; một nghiệm của phương trình nhưng sai điều kiện bị loại.

Bảng trạng thái

Trước khi tính, lập bảng “giai đoạn – quy luật – điều kiện nối”. Ở bài đuổi kịp, vị trí liên tục tại lúc xe đổi vận tốc nhưng vận tốc có thể không liên tục. Ở đồ thị, hoành độ là thời gian nên không cộng tung độ thay cho diện tích. Ở ném xiên, phương trình quỹ đạo chỉ dùng khi $\cos\theta\ne0$ và vật còn đang bay. Bảng trạng thái giúp biết một công thức dùng từ lúc nào đến lúc nào.

Nhật kí lỗi

Nhật kí lỗi cần chỉ đúng tầng: nhầm mục tiêu “nhanh nhất” với “ít lệch nhất”; nhầm vận tốc tương đối; quên đổi phút sang giờ; lấy diện tích âm làm quãng đường âm; hoặc giữ nghiệm góc ngoài vùng hạ cánh. Mỗi lỗi gắn một hành động: vẽ tam giác vectơ, lập trục thời gian, đánh dấu điểm đổi dấu, hay thế ngược góc vào cả hai bất đẳng thức.

Ví dụ

So hai phương án qua sông rộng 120 m

1
Thuyền có tốc độ 4 m/s đối với nước, dòng chảy 3 m/s, sông rộng 120 m. Tìm thời gian và độ trôi khi qua nhanh nhất; tìm góc và thời gian để đến đúng đối diện.
2
Cùng dữ kiện nhưng hai mục tiêu tối ưu hai thành phần khác nhau.
3
Nhanh nhất: cực đại thành phần qua bờ. Đúng đối diện: triệt tiêu thành phần xuôi dòng.
4
Qua nhanh nhất, mũi thuyền vuông góc bờ nên $v_y=4$ m/s, $t_{min}=120/4=30$ s; độ trôi $x=3\cdot30=90$ m. Để cập đúng đối diện, gọi $\alpha$ là góc chếch ngược dòng so với phương vuông góc bờ. Điều kiện $4\sin\alpha=3$ , nên $\alpha\approx48{,}59^\circ$ . Khi đó $v_y=4\cos\alpha=\sqrt7$ m/s, $t=120/\sqrt7\approx45{,}36$ s. Vậy phương án đúng đối diện lâu hơn 15,36 s.
Qua nhanh nhất, mũi thuyền vuông góc bờ nên $v_y=4$ m/s, $t_{min}=120/4=30$ s; độ trôi $x=3\cdot30=90$ m. Để cập đúng đối diện, gọi $\alpha$ là góc chếch ngược dòng so với phương vuông góc bờ. Điều kiện $4\sin\alpha=3$, nên $\alpha\approx48{,}59^\circ$. Khi đó $v_y=4\cos\alpha=\sqrt7$ m/s, $t=120/\sqrt7\approx45{,}36$ s. Vậy phương án đúng đối diện lâu hơn 15,36 s.
5
Tốc độ qua bờ $\sqrt7<4$ , nên thời gian phải lớn hơn 30 s; thành phần xuôi dòng tổng bằng 0.
Tốc độ qua bờ $\sqrt7<4$, nên thời gian phải lớn hơn 30 s; thành phần xuôi dòng tổng bằng 0.
6
Nếu sông chỉ rộng 60 m, hai thời gian và độ trôi đều giảm một nửa nhưng góc không đổi.

Ví dụ

Kiểm điều kiện tồn tại

1
Thuyền 3 m/s, dòng 4 m/s. Có thể cập đúng điểm đối diện không?
2
Thành phần ngược dòng lớn nhất của thuyền chỉ bằng độ lớn 3 m/s.
3
Muốn đúng đối diện cần $v_{ngược}=4$ m/s để triệt dòng. Nhưng $v_{thuyền,nước}=3$ m/s nên mọi thành phần của nó không vượt 3 m/s. Điều kiện $3\sin\alpha=4$ vô nghiệm vì $|\sin\alpha|\le1$ . Vậy không thể cập đúng đối diện trong mô hình, dù thuyền vẫn có thể sang bờ và bị trôi.
Muốn đúng đối diện cần $v_{ngược}=4$ m/s để triệt dòng. Nhưng $v_{thuyền,nước}=3$ m/s nên mọi thành phần của nó không vượt 3 m/s. Điều kiện $3\sin\alpha=4$ vô nghiệm vì $|\sin\alpha|\le1$. Vậy không thể cập đúng đối diện trong mô hình, dù thuyền vẫn có thể sang bờ và bị trôi.
4
Phát hiện vô nghiệm trước khi bấm arcsin tránh một góc không thực.
5
Kiểm độ lớn thành phần yêu cầu trước khi giải lượng giác.

Luyện tập có hướng dẫn

Tự luyện và thử thách

Lỗi thường gặp

Không đồng nhất “nhanh nhất” với “đường ngắn nhất”, không cộng độ lớn hai vận tốc vuông góc, và không giải góc trước khi kiểm điều kiện tồn tại.

Chốt bài: Em đã phân biệt được mục tiêu qua sông nhanh nhất với cập đúng điểm đối diện và giải bằng tổng vectơ vận tốc. Bài sau dùng cùng tổng vectơ cho máy bay gặp gió ngang và nhấn mạnh chiều “gió từ”.