Bài học

Hệ hai vật qua ròng rọc cố định với ma sát

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em lập được hai phương trình Newton với ràng buộc gia tốc 1:1, xác định chiều chuyển động và kiểm lực ma sát.

Kiến thức cần có

Cần biết định luật II Newton, ma sát trượt, chiếu lực và dây–ròng rọc lí tưởng.

So với bài chuẩn: Mở rộng dành cho HSG: bài vượt YCCĐ chuẩn vì hệ có nhiều vật, ràng buộc hình học hoặc điều kiện biên làm phương trình thay đổi theo trạng thái. Em phải tự vẽ sơ đồ lực cho từng vật, suy ra quan hệ gia tốc từ chiều dài dây và kiểm xem dây còn căng hay mặt còn tiếp xúc. Lực quán tính được giới thiệu từ đầu như một công cụ ngoài YCCĐ, không dùng nếu chưa nêu hệ quy chiếu.

**So với bài chuẩn:** Mở rộng dành cho HSG: bài vượt YCCĐ chuẩn vì hệ có nhiều vật, ràng buộc hình học hoặc điều kiện biên làm phương trình thay đổi theo trạng thái. Em phải tự vẽ sơ đồ lực cho từng vật, suy ra quan hệ gia tốc từ chiều dài dây và kiểm xem dây còn căng hay mặt còn tiếp xúc. Lực quán tính được giới thiệu từ đầu như một công cụ ngoài YCCĐ, không dùng nếu chưa nêu hệ quy chiếu.

Câu hỏi mở đầu

Vật treo 3 kg kéo vật 2 kg trên bàn có ma sát. Có thể trừ lực ma sát khỏi trọng lượng rồi chia tổng khối lượng không, và lực căng nằm ở đâu?

Ý tưởng cốt lõi

Với dây nhẹ không dãn qua ròng rọc cố định lí tưởng, hai vật có độ lớn gia tốc bằng nhau và lực căng như nhau. Tuy nhiên vẫn phải viết riêng: vật trên bàn theo chiều chuyển động có $T-f=m_1a$ ; vật treo theo chiều xuống có $m_2g-T=m_2a$ . Cộng hai phương trình làm lực căng nội triệt tiêu, cho $a=(m_2g-f)/(m_1+m_2)$ . Sau đó thế lại một phương trình để tìm $T$ . Trước khi dùng ma sát trượt, phải kiểm hệ thực sự chuyển động theo chiều giả sử; nếu còn ma sát tĩnh, lực ma sát tự điều chỉnh.

Với dây nhẹ không dãn qua ròng rọc cố định lí tưởng, hai vật có độ lớn gia tốc bằng nhau và lực căng như nhau. Tuy nhiên vẫn phải viết riêng: vật trên bàn theo chiều chuyển động có $T-f=m_1a$; vật treo theo chiều xuống có $m_2g-T=m_2a$. Cộng hai phương trình làm lực căng nội triệt tiêu, cho $a=(m_2g-f)/(m_1+m_2)$. Sau đó thế lại một phương trình để tìm $T$. Trước khi dùng ma sát trượt, phải kiểm hệ thực sự chuyển động theo chiều giả sử; nếu còn ma sát tĩnh, lực ma sát tự điều chỉnh.

Lực kéo ròng 26 N gia tốc tổng khối lượng 5 kg; lực căng được tìm sau.

Đào sâu chiến lược

Khi một vật nằm trên mặt phẳng nghiêng, trọng lực phải tách $mg\sin\alpha$ dọc mặt và $mg\cos\alpha$ vuông góc. Chiều ma sát chống xu hướng trượt tương đối, không nhất thiết chống lực căng. Hãy so các lực gây chuyển động trước khi chọn chiều dương.

Nếu ròng rọc có khối lượng, lực căng hai nhánh không còn bằng nhau vì cần moment làm ròng rọc quay. Khóa này ghi rõ ròng rọc lí tưởng; Course năng lượng–động lượng sau sẽ mở rộng hệ có năng lượng quay.

Cộng phương trình toàn hệ giúp tìm gia tốc nhanh nhưng che mất lực căng. Vì vậy chiến lược tốt là dùng toàn hệ cho a, rồi quay lại một vật có phương trình đơn giản để tìm T và kiểm chéo bằng vật còn lại.

Trình bày để nhận đủ điểm

Trình bày mẫu phải ghi giả định dây nhẹ không dãn, ròng rọc lí tưởng hoặc mức hao phí đề cho. Chọn chiều dương riêng nhưng nhất quán cho từng vật. Viết định luật II Newton theo từng trục, sau đó thêm phương trình ràng buộc; không lấy “cùng dây” đồng nghĩa “cùng gia tốc” nếu có ròng rọc động. Khi tìm ngưỡng, đặt đúng đại lượng biên bằng 0 hoặc bằng cực đại rồi kiểm phía nào của ngưỡng còn giữ mô hình.

Kiểm ngược

Kiểm ngược theo ba tầng. Tầng lực: thế kết quả vào mọi phương trình Newton, kiểm lực căng và phản lực không âm. Tầng động học: kiểm tổng thay đổi chiều dài dây bằng 0. Tầng giới hạn: khi ma sát tiến về 0, gia tốc phải tăng theo chiều lực kéo; khi gia tốc khung bằng 0, lời giải phi quán tính phải trở về lời giải quán tính; tại dây vừa chùng hoặc vật vừa rời mặt, lực liên kết bằng 0 chứ không âm.

Quy tắc trạng thái

Phương pháp giả sử–giải–kiểm: giả sử dây căng hoặc vật còn tiếp xúc; giải trong trạng thái ấy; kiểm $T>0$ , $N>0$ và ma sát cần không vượt cực đại. Nếu kiểm thất bại, không sửa dấu lực trong cùng hệ phương trình mà phải dựng trạng thái mới. Đây là khuôn chung cho dây chùng, rời mặt và bắt đầu trượt.

Phương pháp giả sử–giải–kiểm: giả sử dây căng hoặc vật còn tiếp xúc; giải trong trạng thái ấy; kiểm $T>0$, $N>0$ và ma sát cần không vượt cực đại. Nếu kiểm thất bại, không sửa dấu lực trong cùng hệ phương trình mà phải dựng trạng thái mới. Đây là khuôn chung cho dây chùng, rời mặt và bắt đầu trượt.

Nhật kí lỗi

Nhật kí lỗi phân biệt sai sơ đồ lực, sai chiều ma sát, sai phương trình dây, sai hệ quy chiếu và quên kiểm điều kiện biên. Mỗi lỗi cần hành động cụ thể: khoanh vật riêng, viết tổng chiều dài trước khi đạo hàm theo thời gian, ghi màu khác cho lực quán tính, hoặc thế kết quả vào $T\ge0$ , $N\ge0$ . “Nhầm dấu” chỉ là mô tả, chưa phải nguyên nhân.

Nhật kí lỗi phân biệt sai sơ đồ lực, sai chiều ma sát, sai phương trình dây, sai hệ quy chiếu và quên kiểm điều kiện biên. Mỗi lỗi cần hành động cụ thể: khoanh vật riêng, viết tổng chiều dài trước khi đạo hàm theo thời gian, ghi màu khác cho lực quán tính, hoặc thế kết quả vào $T\ge0$, $N\ge0$. “Nhầm dấu” chỉ là mô tả, chưa phải nguyên nhân.

Ví dụ

Vật 2 kg trên bàn nối vật treo 3 kg

1
Cho $m_1=2$ kg trên bàn, $\mu=0{,}2$ , nối qua ròng rọc lí tưởng với $m_2=3$ kg treo. Lấy $g=10$ m/s². Tìm a và T.
Cho $m_1=2$ kg trên bàn, $\mu=0{,}2$, nối qua ròng rọc lí tưởng với $m_2=3$ kg treo. Lấy $g=10$ m/s². Tìm a và T.
2
Phải xác định ma sát, dùng hai phương trình và ràng buộc dây.
3
Cộng Newton của hai vật để khử T, rồi thế ngược.
4
Ma sát trượt trên $m_1$ là $f=\mu m_1g=0{,}2\cdot2\cdot10=4$ N. Chọn $m_1$ sang phải, $m_2$ xuống dưới: $T-4=2a$ (1), $30-T=3a$ (2). Cộng (1), (2): $26=5a$ , nên $a=5{,}2$ m/s². Từ (1), $T=2\cdot5{,}2+4=14{,}4$ N. Vậy hệ có gia tốc 5,2 m/s² và lực căng 14,4 N.
Ma sát trượt trên $m_1$ là $f=\mu m_1g=0{,}2\cdot2\cdot10=4$ N. Chọn $m_1$ sang phải, $m_2$ xuống dưới: $T-4=2a$ (1), $30-T=3a$ (2). Cộng (1), (2): $26=5a$, nên $a=5{,}2$ m/s². Từ (1), $T=2\cdot5{,}2+4=14{,}4$ N. Vậy hệ có gia tốc 5,2 m/s² và lực căng 14,4 N.
5
Từ vật treo: $30-3\cdot5{,}2=14{,}4$ N; hai cách khớp.
Từ vật treo: $30-3\cdot5{,}2=14{,}4$ N; hai cách khớp.
6
Nếu ma sát tăng tới 30 N hoặc hơn, giả sử chuyển động xuống của m2 cần xem lại bằng ma sát tĩnh.

Ví dụ

Vật trên mặt nghiêng 30°

1
Đặt $m_1=2$ kg trên dốc 30°, $\mu=0{,}1$ , nối $m_2=3$ kg treo; m2 đi xuống. Tìm a và T.
Đặt $m_1=2$ kg trên dốc 30°, $\mu=0{,}1$, nối $m_2=3$ kg treo; m2 đi xuống. Tìm a và T.
2
Lực cản trên dốc gồm thành phần trọng lực và ma sát cùng hướng xuống dốc.
3
Với $m_1$ , $m_1g\sin30^\circ=10$ N, $N=m_1g\cos30^\circ=10\sqrt3$ N, $f=\mu N=\sqrt3\approx1{,}732$ N. Lực kéo ròng toàn hệ là $30-10-\sqrt3$ , nên $a=(20-\sqrt3)/5\approx3{,}654$ m/s². Theo $m_1$ : $T-10-\sqrt3=2a$ , suy ra $T\approx19{,}039$ N. Vậy a khoảng 3,654 m/s² và T khoảng 19,039 N.
Với $m_1$, $m_1g\sin30^\circ=10$ N, $N=m_1g\cos30^\circ=10\sqrt3$ N, $f=\mu N=\sqrt3\approx1{,}732$ N. Lực kéo ròng toàn hệ là $30-10-\sqrt3$, nên $a=(20-\sqrt3)/5\approx3{,}654$ m/s². Theo $m_1$: $T-10-\sqrt3=2a$, suy ra $T\approx19{,}039$ N. Vậy a khoảng 3,654 m/s² và T khoảng 19,039 N.
4
Từ m2: $T=30-3a\approx19{,}039$ N.
Từ m2: $T=30-3a\approx19{,}039$ N.
5
Chiều giả sử đúng vì 30 N lớn hơn tổng lực cản khoảng 11,732 N.

Luyện tập có hướng dẫn

Tự luyện và thử thách

Lỗi thường gặp

Không coi lực căng bằng trọng lượng vật treo khi hệ tăng tốc, không chọn chiều ma sát theo thói quen, và không dùng ma sát trượt nếu trạng thái chuyển động chưa được xác nhận.

Chốt bài: Em đã lập được hai phương trình Newton với ràng buộc gia tốc 1:1, xác định chiều chuyển động và kiểm lực ma sát. Bài sau thay ròng rọc cố định bằng ròng rọc động, làm quan hệ gia tốc đổi từ 1:1 thành 2:1.