Bài học

Dao động cơ học làm biến thiên điện dung

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em ghép được $x(t)$ của dao động với $d(t)$ của tụ, rồi suy C(t), U(t) hoặc Q(t) theo đúng điều kiện nối nguồn.

Kiến thức cần có

Cần phương trình dao động điều hòa, tụ phẳng $C= arepsilon S/d$ và phân biệt tụ cô lập với tụ nối nguồn áp.

Mở rộng dành cho HSG. Course 6 không thêm một chương công thức. Em phải nhận diện dao động, sóng, điện trường, tụ điện hoặc dòng điện trong cùng một stem; giải từng mô-đun bằng công cụ đúng rồi truyền đúng đại lượng sang mô-đun sau. Tiền đề là Course 1–5. Độ khó nằm ở chẩn đoán, ranh giới mô hình, tham số theo thời gian và việc từ chối một đường giải trông quen nhưng dùng sai miền.

**Mở rộng dành cho HSG.** Course 6 không thêm một chương công thức. Em phải nhận diện dao động, sóng, điện trường, tụ điện hoặc dòng điện trong cùng một stem; giải từng mô-đun bằng công cụ đúng rồi truyền đúng đại lượng sang mô-đun sau. Tiền đề là Course 1–5. Độ khó nằm ở chẩn đoán, ranh giới mô hình, tham số theo thời gian và việc từ chối một đường giải trông quen nhưng dùng sai miền.

Câu hỏi mở đầu

Một bản tụ dao động: đại lượng nào cố định—Q hay U—phụ thuộc vào cơ học hay phụ thuộc cách mắc điện?

Ý tưởng cốt lõi

Cho bản di động có $x=A\cos(\omega t+\varphi)$ và khoảng cách $d(t)=d_0+x(t)$ theo quy ước x dương làm khe rộng. Điều kiện hình học là $A<d_0$ . Khi đó $C(t)=\varepsilon S/[d_0+A\cos(\omega t+\varphi)]$ . Nếu tụ cô lập, Q cố định và $U(t)=Q/C(t)=Qd(t)/(\varepsilon S)$ , một hàm sin–cos tuyến tính theo d. Nếu tụ luôn nối nguồn áp lí tưởng, U cố định còn $Q(t)=UC(t)$ , biến thiên theo nghịch đảo và không phải dao động điều hòa thuần.

Cho bản di động có $x=A\cos(\omega t+\varphi)$ và khoảng cách $d(t)=d_0+x(t)$ theo quy ước x dương làm khe rộng. Điều kiện hình học là $A<d_0$. Khi đó $C(t)=\varepsilon S/[d_0+A\cos(\omega t+\varphi)]$. Nếu tụ cô lập, Q cố định và $U(t)=Q/C(t)=Qd(t)/(\varepsilon S)$, một hàm sin–cos tuyến tính theo d. Nếu tụ luôn nối nguồn áp lí tưởng, U cố định còn $Q(t)=UC(t)$, biến thiên theo nghịch đảo và không phải dao động điều hòa thuần.

Mỗi mũi tên đổi chuyên đề nhưng giữ một đại lượng giao diện rõ ràng.

Đào sâu và chuyển giao

Bước nhận diện quyết định toàn bộ lời giải: “ngắt khỏi nguồn rồi cho bản dao động” nghĩa Q bảo toàn; “vẫn nối nguồn” nghĩa U cố định và nguồn trao đổi điện tích. Cơ năng của con lắc không tự động bảo toàn nếu lực điện phản hồi đáng kể; các ví dụ khóa này giả sử cơ cấu dẫn động giữ $x(t)$ cho trước và lực điện không làm đổi dao động. Giả thiết ấy phải được nói rõ.

Dùng $C_0=\varepsilon S/d_0$ giúp viết $C(t)=C_0/[1+(A/d_0)\cos\omega t]$ . Tỉ số $A/d_0$ không thứ nguyên và phải nhỏ hơn 1. Ở tụ cô lập, $U=U_0[1+(A/d_0)\cos\omega t]$ với $U_0=Q/C_0$ . Cực trị xảy ra tại hai biên cơ học, nhưng thứ tự max–min đảo giữa C và U.

Dùng $C_0=\varepsilon S/d_0$ giúp viết $C(t)=C_0/[1+(A/d_0)\cos\omega t]$. Tỉ số $A/d_0$ không thứ nguyên và phải nhỏ hơn 1. Ở tụ cô lập, $U=U_0[1+(A/d_0)\cos\omega t]$ với $U_0=Q/C_0$. Cực trị xảy ra tại hai biên cơ học, nhưng thứ tự max–min đảo giữa C và U.

Bài chuẩn chỉ tính C tại một khoảng cách. Bài HSG ghép hàm thời gian, điều kiện mạch và kiểm giới hạn. Nếu A→0, mọi đại lượng phải trở về hằng số. Nếu công thức dự đoán C lớn nhất khi khe lớn nhất, dấu x hoặc phép nghịch đảo đã sai.

Bản đồ chuyên đề

Trước phép tính, viết bản đồ chuyên đề gồm bốn cột: dữ kiện; đại lượng cần tìm; chuyên đề; công cụ. “Biên độ” có thể thuộc dao động hoặc giao thoa; “cực đại” có thể là năng lượng, biên độ sóng hay công suất; “cân bằng” có thể là hợp lực, cầu điện hay vị trí dao động. Từ khóa chỉ gợi ý. Phương trình và đối tượng vật lí mới quyết định chuyên đề.

Trước phép tính, viết **bản đồ chuyên đề** gồm bốn cột: dữ kiện; đại lượng cần tìm; chuyên đề; công cụ. “Biên độ” có thể thuộc dao động hoặc giao thoa; “cực đại” có thể là năng lượng, biên độ sóng hay công suất; “cân bằng” có thể là hợp lực, cầu điện hay vị trí dao động. Từ khóa chỉ gợi ý. Phương trình và đối tượng vật lí mới quyết định chuyên đề.

Đại lượng bàn giao

Giữa hai mô-đun phải có một đại lượng bàn giao rõ ràng: li độ $x(t)$ trở thành khoảng cách bản tụ $d(t)$ ; thời điểm đạt ngưỡng trở thành thời điểm phát tín hiệu; vận tốc sau va chạm trở thành điều kiện đầu dao động; điện thế nút trở thành điện áp tụ. Ghi đại lượng bàn giao trong khung và giữ đơn vị. Không truyền cả một công thức cũ sang mô hình mới.

Giữa hai mô-đun phải có một đại lượng bàn giao rõ ràng: li độ $x(t)$ trở thành khoảng cách bản tụ $d(t)$; thời điểm đạt ngưỡng trở thành thời điểm phát tín hiệu; vận tốc sau va chạm trở thành điều kiện đầu dao động; điện thế nút trở thành điện áp tụ. Ghi đại lượng bàn giao trong khung và giữ đơn vị. Không truyền cả một công thức cũ sang mô hình mới.

Hướng dẫn giải

Trong Hướng dẫn giải, mở mỗi phần bằng nhãn “Dao động”, “Sóng”, “Điện” hoặc “Mạch”. Nêu vì sao công cụ áp dụng, đánh số kết quả được bàn giao, rồi kiểm giới hạn. Nếu hai phương pháp cùng cho đáp số, chọn phương pháp cung cấp đại lượng phần sau cần. Mỗi phần kết thúc bằng “Vậy …” với đơn vị và ý nghĩa vật lí.

Error-log

Error-log của bài liên chương ghi lỗi sớm nhất: nhận nhầm chuyên đề, dùng đúng chuyên đề nhưng sai mô hình, truyền sai đại lượng, hoặc tính toán. Hành động sửa phải cụ thể: khoanh từ chỉ đối tượng; lập timeline; tô nút; ghi trạng thái trước–sau; hay kiểm đơn vị tại mũi tên bàn giao. “Đề lạ” không phải nguyên nhân.

Ví dụ

Tụ cô lập có điện áp dao động điều hòa

1
Tụ có C0=100 pF khi d0=2,0 mm. Bản dao động $x=0{,}20\cos10t$ mm. Tụ cô lập mang Q=1,0 nC. Tìm C(t),U(t), cực trị.
Tụ có C0=100 pF khi d0=2,0 mm. Bản dao động $x=0{,}20\cos10t$ mm. Tụ cô lập mang Q=1,0 nC. Tìm C(t),U(t), cực trị.
2
Li độ phải đổi thành khoảng cách; điều kiện cô lập quyết định Q chứ không phải U cố định.
3
Dùng A/d0=0,1 và U0=Q/C0=10 V.
4
Dao động–hình học: $d(t)=d_0+x=d_0[1+0{,}1\cos10t]$ . (1) Tụ điện: $C(t)=C_0/[1+0{,}1\cos10t]=100/[1+0{,}1\cos10t]$ pF. Vì tụ cô lập, Q=1 nC không đổi nên $U(t)=Q/C(t)=10[1+0{,}1\cos10t]=10+\cos10t$ V. Do $-1\le\cos10t\le1$ , $U_{min}=9$ V, $U_{max}=11$ V; C biến thiên ngược lại từ 90,91 đến 111,11 pF. Vậy điện áp là $10+\cos10t$ V.
**Dao động–hình học:** $d(t)=d_0+x=d_0[1+0{,}1\cos10t]$. (1) **Tụ điện:** $C(t)=C_0/[1+0{,}1\cos10t]=100/[1+0{,}1\cos10t]$ pF. Vì tụ cô lập, Q=1 nC không đổi nên $U(t)=Q/C(t)=10[1+0{,}1\cos10t]=10+\cos10t$ V. Do $-1\le\cos10t\le1$, $U_{min}=9$ V, $U_{max}=11$ V; C biến thiên ngược lại từ 90,91 đến 111,11 pF. Vậy điện áp là $10+\cos10t$ V.
5
U lớn nhất khi khe lớn nhất và C nhỏ nhất, phù hợp Q cố định.
6
Đảo quy ước d=d0−x sẽ đổi pha cực trị, không đổi khoảng giá trị.

Ví dụ

Tụ nối nguồn áp

1
Giữ tụ trên nhưng nối liên tục nguồn U=12 V. Tìm Q cực đại, cực tiểu.
2
U không dao động; nguồn cấp hoặc thu điện tích khi C đổi.
3
Q(t)=12C(t), cực đại khi khe nhỏ nhất.
4
Vì U=12 V cố định, $Q(t)=UC(t)=1200/[1+0{,}1\cos10t]$ pC. Khi $\cos10t=-1$ , khe nhỏ nhất, $Q_{max}=1200/0{,}9=1333{,}3$ pC =1,333 nC. Khi cos=1, $Q_{min}=1200/1{,}1=1090{,}9$ pC =1,091 nC. Vậy điện tích biến thiên từ 1,091 đến 1,333 nC và không theo sin đơn giản.
Vì U=12 V cố định, $Q(t)=UC(t)=1200/[1+0{,}1\cos10t]$ pC. Khi $\cos10t=-1$, khe nhỏ nhất, $Q_{max}=1200/0{,}9=1333{,}3$ pC =1,333 nC. Khi cos=1, $Q_{min}=1200/1{,}1=1090{,}9$ pC =1,091 nC. Vậy điện tích biến thiên từ 1,091 đến 1,333 nC và không theo sin đơn giản.
5
C lớn nhất 111,11 pF nhân 12 V cho 1,333 nC.
6
Nếu nguồn có điện trở hữu hạn và dao động nhanh, U không còn cố định lí tưởng.

Luyện tập có hướng dẫn

Tự luyện và thử thách

Lỗi thường gặp

Không nhầm tụ cô lập với nối nguồn; không bỏ điều kiện A<d0; không gọi Q(t) nghịch đảo là SHM.

Chốt bài: Em đã ghép được $x(t)$ của dao động với $d(t)$ của tụ, rồi suy C(t), U(t) hoặc Q(t) theo đúng điều kiện nối nguồn. Bài sau dùng một thời điểm điện đạt ngưỡng làm mốc phát tín hiệu sóng.

**Chốt bài:** Em đã ghép được $x(t)$ của dao động với $d(t)$ của tụ, rồi suy C(t), U(t) hoặc Q(t) theo đúng điều kiện nối nguồn. Bài sau dùng một thời điểm điện đạt ngưỡng làm mốc phát tín hiệu sóng.