Bài học

Va chạm trong hệ dao động điều hòa

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tách được pha dao động–va chạm–dao động mới, rồi tìm biên độ và pha sau va chạm mềm hoặc đàn hồi.

Kiến thức cần có

Cần biết $v_{max}=\omega A$ , bảo toàn động lượng một chiều, phân biệt va chạm mềm và đàn hồi, cùng công thức năng lượng dao động.

Cần biết $v_{max}=\omega A$, bảo toàn động lượng một chiều, phân biệt va chạm mềm và đàn hồi, cùng công thức năng lượng dao động.

Mở rộng dành cho HSG. YCCĐ Vật lí 11 xem dao động điều hòa với tham số cố định, tổng hợp cùng tần số và cộng hưởng một dao động tử. Khóa này cố ý phá một giả thiết: hệ va chạm, tham số đổi giữa chừng, hai tần số không bằng nhau, năng lượng phải tối ưu hoặc hệ có hai bậc tự do. Mỗi kĩ thuật ngoài chuẩn được dựng từ động lượng, cơ năng, lượng giác và đạo hàm không bắt buộc. Tiền đề là Course 1 cùng kiến thức dao động điều hòa, va chạm một chiều và đại số lớp 10–11.

**Mở rộng dành cho HSG.** YCCĐ Vật lí 11 xem dao động điều hòa với tham số cố định, tổng hợp cùng tần số và cộng hưởng một dao động tử. Khóa này cố ý phá một giả thiết: hệ va chạm, tham số đổi giữa chừng, hai tần số không bằng nhau, năng lượng phải tối ưu hoặc hệ có hai bậc tự do. Mỗi kĩ thuật ngoài chuẩn được dựng từ động lượng, cơ năng, lượng giác và đạo hàm không bắt buộc. Tiền đề là Course 1 cùng kiến thức dao động điều hòa, va chạm một chiều và đại số lớp 10–11.

Câu hỏi mở đầu

Một vật đang dao động bị gắn thêm khối lượng trong vài phần nghìn giây. Cơ năng, động lượng hay li độ nào được phép nối qua đúng khoảnh khắc ấy?

Ý tưởng cốt lõi

Va chạm được xem như một điều kiện biên đặt giữa hai nghiệm dao động. Trước chạm, vật $m_1$ có $x_0$ và $u_1$ . Trong thời gian chạm rất ngắn, xung lượng lò xo thường nhỏ so với xung lượng va chạm, nên động lượng theo trục dẫn hướng được bảo toàn gần đúng. Va chạm mềm cho $(m_1+m_2)v'=m_1u_1+m_2u_2$ ; cơ năng giảm. Va chạm đàn hồi một chiều còn bảo toàn động năng. Sau chạm, phải lập một dao động mới với $\omega'=\sqrt{k/m'}$ và $A'^2=x_0^2+(v'/\omega')^2$ . Pha mới phải đồng thời tái tạo dấu của $x_0$ và $v'$ .

Va chạm được xem như một điều kiện biên đặt giữa hai nghiệm dao động. Trước chạm, vật $m_1$ có $x_0$ và $u_1$. Trong thời gian chạm rất ngắn, xung lượng lò xo thường nhỏ so với xung lượng va chạm, nên động lượng theo trục dẫn hướng được bảo toàn gần đúng. Va chạm mềm cho $(m_1+m_2)v'=m_1u_1+m_2u_2$; cơ năng giảm. Va chạm đàn hồi một chiều còn bảo toàn động năng. Sau chạm, phải lập một dao động mới với $\omega'=\sqrt{k/m'}$ và $A'^2=x_0^2+(v'/\omega')^2$. Pha mới phải đồng thời tái tạo dấu của $x_0$ và $v'$.

Mỗi đoạn dùng một định luật khác; li độ là cầu nối hình học giữa hai dao động.

Đào sâu và chuyển giao

Nếu vật phụ rơi thẳng đứng vào con trượt chỉ chuyển động ngang, ray và trọng lực truyền xung lượng đứng, nhưng động lượng ngang của hệ hai vật vẫn được dùng trong mô hình lí tưởng. Không được đưa vận tốc rơi thẳng đứng vào phương trình ngang. Tại vị trí cân bằng, $x_0=0$ nên biên độ mới do vận tốc quyết định. Tại biên, vận tốc ngang ban đầu bằng 0; nếu vật phụ không có vận tốc ngang, hệ mới bắt đầu ở biên và A không đổi dù chu kì đổi.

Với va chạm tại li độ bất kì, quy trình không đổi: tìm $u_1$ từ trạng thái dao động cũ, giải va chạm, rồi xem $(x_0,v')$ là dữ kiện đầu của dao động mới. Nếu vật phụ không dính mà rời đi, khối lượng của con lắc sau vẫn là $m_1$ và tần số riêng không đổi; chỉ vận tốc cùng biên độ đổi. Nếu va chạm kéo dài đáng kể so với chu kì, giả thiết xung lượng lò xo nhỏ không còn tốt và mô hình tức thời phải được thay thế.

Độ khó HSG nằm ở ranh giới định luật. Bảo toàn cơ năng trước chạm và sau chạm không cho phép bảo toàn xuyên qua va chạm mềm. Ngược lại, động lượng chỉ nối hai vận tốc sát trước–sát sau, không mô tả chuyển động dài dưới lực lò xo. Một lời giải dùng đúng công thức nhưng sai khoảng thời gian vẫn mất căn cứ vật lí.

Sổ trạng thái

Trước khi tính, lập sổ trạng thái. Mỗi dòng ghi khối lượng hay chiều dài đang có, li độ, vận tốc và tần số riêng. Giữa hai dòng ghi đúng định luật nối chúng: động lượng cho va chạm ngắn; tính liên tục của vị trí–vận tốc khi ràng buộc đổi; cơ năng chỉ trên một giai đoạn không hao hụt; phương trình mode khi hai vật còn ghép. Cách ghi này ngăn việc dùng một $\omega$ cho hai hệ khác nhau.

Trước khi tính, lập **sổ trạng thái**. Mỗi dòng ghi khối lượng hay chiều dài đang có, li độ, vận tốc và tần số riêng. Giữa hai dòng ghi đúng định luật nối chúng: động lượng cho va chạm ngắn; tính liên tục của vị trí–vận tốc khi ràng buộc đổi; cơ năng chỉ trên một giai đoạn không hao hụt; phương trình mode khi hai vật còn ghép. Cách ghi này ngăn việc dùng một $\omega$ cho hai hệ khác nhau.

Hướng dẫn giải

Trong Hướng dẫn giải, mở đầu bằng “Xét hệ…” và nêu chiều dương, mốc cân bằng, giả thiết. Viết định luật bằng chữ rồi mới lập phương trình. Nếu kết quả trung gian được dùng lại, đánh số (1), (2). Sau phép tính phải kiểm đơn vị, dấu, miền biên độ và giới hạn tham số. Mỗi phần khép lại bằng “Vậy …” kèm đơn vị hoặc ý nghĩa mode; không bỏ qua nghiệm chỉ vì nó không đẹp.

Trong **Hướng dẫn giải**, mở đầu bằng “Xét hệ…” và nêu chiều dương, mốc cân bằng, giả thiết. Viết định luật bằng chữ rồi mới lập phương trình. Nếu kết quả trung gian được dùng lại, đánh số (1), (2). Sau phép tính phải kiểm đơn vị, dấu, miền biên độ và giới hạn tham số. Mỗi phần khép lại bằng “Vậy …” kèm đơn vị hoặc ý nghĩa mode; không bỏ qua nghiệm chỉ vì nó không đẹp.

Kiểm ngược

Kiểm ngược nên độc lập với đường tính chính: so năng lượng trước–sau va chạm; cho khối lượng phụ tiến về 0; cho hai tần số tiến lại gần nhau; kiểm biên độ tổng nằm giữa $|A_1-A_2|$ và $A_1+A_2$ ; hoặc thế mode cùng pha/ngược pha vào hai phương trình Newton ban đầu. Một kết quả đúng thứ nguyên nhưng sai giới hạn vẫn là sai mô hình.

Kiểm ngược nên độc lập với đường tính chính: so năng lượng trước–sau va chạm; cho khối lượng phụ tiến về 0; cho hai tần số tiến lại gần nhau; kiểm biên độ tổng nằm giữa $|A_1-A_2|$ và $A_1+A_2$; hoặc thế mode cùng pha/ngược pha vào hai phương trình Newton ban đầu. Một kết quả đúng thứ nguyên nhưng sai giới hạn vẫn là sai mô hình.

Error-log

Error-log ghi nguyên nhân sớm nhất: bảo toàn cơ năng qua va chạm dính; giữ tần số cũ sau khi đổi tham số; cộng phasor cho hai tần số khác nhau; tìm cực trị mà không nêu miền; hoặc gọi mọi đỉnh đáp ứng là cùng một mode. Mỗi lỗi đi cùng thao tác sửa cụ thể và một bài biến thể. “Cẩu thả” không phải chẩn đoán.

Ví dụ

Vật rơi dính tại vị trí cân bằng

1
Con trượt $m_1=0{,}20$ kg gắn lò xo k = 100 N/m, dao động biên độ 5,0 cm trên ray ngang. Khi qua cân bằng theo chiều dương, vật $m_2=0{,}20$ kg rơi thẳng đứng và dính vào con trượt. Bỏ qua xung lượng ngang của lò xo trong va chạm. Tìm vận tốc ngang ngay sau chạm, biên độ và chu kì mới.
Con trượt $m_1=0{,}20$ kg gắn lò xo k = 100 N/m, dao động biên độ 5,0 cm trên ray ngang. Khi qua cân bằng theo chiều dương, vật $m_2=0{,}20$ kg rơi thẳng đứng và dính vào con trượt. Bỏ qua xung lượng ngang của lò xo trong va chạm. Tìm vận tốc ngang ngay sau chạm, biên độ và chu kì mới.
2
Khối lượng và cơ năng đổi tại va chạm; công thức của dao động cũ không thể dùng trọn vẹn cho pha sau.
3
Tìm tốc độ cực đại cũ, bảo toàn động lượng ngang trong chạm, rồi khởi tạo dao động mới tại x = 0.
4
Trước chạm, $\omega=\sqrt{k/m_1}=\sqrt{500}$ rad/s nên $u_1=\omega A=\sqrt{500}\cdot0{,}05\approx1{,}118$ m/s. Trong va chạm ngắn, áp dụng bảo toàn động lượng ngang: $m_1u_1=(m_1+m_2)v'$ . Suy ra $v'=u_1/2\approx0{,}559$ m/s. (1) Sau chạm, $\omega'=\sqrt{100/0{,}40}=\sqrt{250}$ rad/s. Vì $x_0=0$ , $A'=v'/\omega'=0{,}03536$ m. Chu kì $T'=2\pi/\omega'\approx0{,}397$ s. Vậy vận tốc chung là 0,559 m/s, biên độ mới khoảng 3,54 cm và chu kì mới khoảng 0,397 s.
Trước chạm, $\omega=\sqrt{k/m_1}=\sqrt{500}$ rad/s nên $u_1=\omega A=\sqrt{500}\cdot0{,}05\approx1{,}118$ m/s. Trong va chạm ngắn, áp dụng bảo toàn động lượng ngang: $m_1u_1=(m_1+m_2)v'$. Suy ra $v'=u_1/2\approx0{,}559$ m/s. (1) Sau chạm, $\omega'=\sqrt{100/0{,}40}=\sqrt{250}$ rad/s. Vì $x_0=0$, $A'=v'/\omega'=0{,}03536$ m. Chu kì $T'=2\pi/\omega'\approx0{,}397$ s. Vậy vận tốc chung là 0,559 m/s, biên độ mới khoảng 3,54 cm và chu kì mới khoảng 0,397 s.
5
Động năng ngang giảm từ 0,125 J xuống 0,0625 J; $A'=A/\sqrt2$ , phù hợp khi khối lượng tăng gấp đôi.
Động năng ngang giảm từ 0,125 J xuống 0,0625 J; $A'=A/\sqrt2$, phù hợp khi khối lượng tăng gấp đôi.
6
Nếu vật rơi dính đúng tại biên, vận tốc ngang sau bằng 0 và biên độ vẫn 5,0 cm, nhưng chu kì vẫn tăng.

Ví dụ

Va chạm đàn hồi làm giảm biên độ con lắc

1
Con trượt $m_1=0{,}20$ kg, k = 100 N/m, A = 5,0 cm đi qua cân bằng và va chạm đàn hồi với $m_2=0{,}10$ kg đứng yên. Sau chạm hai vật tách nhau. Tìm vận tốc hai vật và biên độ còn lại của con lắc.
Con trượt $m_1=0{,}20$ kg, k = 100 N/m, A = 5,0 cm đi qua cân bằng và va chạm đàn hồi với $m_2=0{,}10$ kg đứng yên. Sau chạm hai vật tách nhau. Tìm vận tốc hai vật và biên độ còn lại của con lắc.
2
Hai vật không dính nên khối lượng dao động không đổi; phải dùng đồng thời động lượng và động năng để tìm hai vận tốc.
3
Dùng công thức va chạm đàn hồi một chiều, rồi chuyển vận tốc còn lại của m₁ thành biên độ tại cân bằng.
4
Tốc độ trước chạm của $m_1$ là $u_1=\sqrt{500}\cdot0{,}05\approx1{,}118$ m/s. Với va chạm đàn hồi và $u_2=0$ , ta có $v_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}u_1=\frac13u_1\approx0{,}373$ m/s và $v_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}u_1=\frac43u_1\approx1{,}491$ m/s. Sau chạm, con lắc vẫn có $\omega=\sqrt{500}$ rad/s và đang ở x = 0, nên $A_1'=v_1/\omega=A/3=0{,}01667$ m. Vậy $v_1\approx0{,}373$ m/s, $v_2\approx1{,}491$ m/s và biên độ còn lại khoảng 1,67 cm.
Tốc độ trước chạm của $m_1$ là $u_1=\sqrt{500}\cdot0{,}05\approx1{,}118$ m/s. Với va chạm đàn hồi và $u_2=0$, ta có $v_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}u_1=\frac13u_1\approx0{,}373$ m/s và $v_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}u_1=\frac43u_1\approx1{,}491$ m/s. Sau chạm, con lắc vẫn có $\omega=\sqrt{500}$ rad/s và đang ở x = 0, nên $A_1'=v_1/\omega=A/3=0{,}01667$ m. Vậy $v_1\approx0{,}373$ m/s, $v_2\approx1{,}491$ m/s và biên độ còn lại khoảng 1,67 cm.
5
Thế hai vận tốc cho động lượng 0,2236 kg·m/s và động năng 0,125 J, đều bằng trước chạm.
6
Nếu hai khối lượng bằng nhau, chúng đổi vận tốc: con lắc dừng tại cân bằng và biên độ tức thời của pha tự do bằng 0.

Luyện tập có hướng dẫn

Tự luyện và thử thách

Lỗi thường gặp

Không bảo toàn cơ năng qua va chạm mềm; không trộn vận tốc đứng vào động lượng ngang; không giữ tần số cũ khi vật phụ dính.

Chốt bài: Em đã tách được pha dao động–va chạm–dao động mới, rồi tìm biên độ và pha sau va chạm mềm hoặc đàn hồi. Bài sau bỏ va chạm nhưng vẫn giữ tư duy điều kiện biên khi khối lượng hoặc chiều dài đổi đột ngột.