Bài học

Cân bằng điện tích trong hệ nhiều điện tích điểm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân biệt được cân bằng của điện tích thử với cân bằng của toàn hệ và tìm vị trí, dấu, độ lớn điện tích thứ ba.

Kiến thức cần có

Cần biết định luật Coulomb, nguyên lí chồng chất, dấu của lực hút–đẩy và giải tỉ lệ bình phương.

Mở rộng dành cho HSG. YCCĐ Vật lí 11 xem lực Coulomb từng cặp, điện trường đều, chuyển động cơ bản của hạt và tụ ghép quen thuộc. Khóa này mở rộng sang cân bằng cả hệ điện tích, lập luận đối xứng kiểu Gauss ở mức trực giác, hạt vào điện trường theo góc xiên và mạng tụ có cầu. Kĩ thuật ngoài chuẩn được nêu rõ, dạy từ nguyên lí chồng chất, Newton, bảo toàn điện tích nút và đại số lớp 10–11; không dùng tích phân mặt hay ma trận.

**Mở rộng dành cho HSG.** YCCĐ Vật lí 11 xem lực Coulomb từng cặp, điện trường đều, chuyển động cơ bản của hạt và tụ ghép quen thuộc. Khóa này mở rộng sang cân bằng cả hệ điện tích, lập luận đối xứng kiểu Gauss ở mức trực giác, hạt vào điện trường theo góc xiên và mạng tụ có cầu. Kĩ thuật ngoài chuẩn được nêu rõ, dạy từ nguyên lí chồng chất, Newton, bảo toàn điện tích nút và đại số lớp 10–11; không dùng tích phân mặt hay ma trận.

Câu hỏi mở đầu

Tìm được nơi điện trường của q1 và q2 triệt tiêu đã đủ để cả q1, q2, q3 cùng cân bằng chưa?

Ý tưởng cốt lõi

Hai điện tích cùng dấu $q_1,q_2$ cách L tạo điểm điện trường bằng 0 nằm giữa chúng. Nếu x tính từ $q_1$ , điều kiện $kq_1/x^2=kq_2/(L-x)^2$ cho $x/(L-x)=\sqrt{q_1/q_2}$ . Vị trí này chỉ đảm bảo lực tổng lên một điện tích thử tại đó bằng 0, không quyết định độ lớn hay dấu của điện tích thử. Muốn cả hệ cân bằng, còn phải đặt lực tổng lên q1 và q2 bằng 0. Điện tích giữa hai điện tích dương phải âm để hút từng điện tích ngoài vào trong.

Hai điện tích cùng dấu $q_1,q_2$ cách L tạo điểm điện trường bằng 0 nằm giữa chúng. Nếu x tính từ $q_1$, điều kiện $kq_1/x^2=kq_2/(L-x)^2$ cho $x/(L-x)=\sqrt{q_1/q_2}$. Vị trí này chỉ đảm bảo lực tổng lên một điện tích thử tại đó bằng 0, không quyết định độ lớn hay dấu của điện tích thử. Muốn **cả hệ** cân bằng, còn phải đặt lực tổng lên q1 và q2 bằng 0. Điện tích giữa hai điện tích dương phải âm để hút từng điện tích ngoài vào trong.

Điểm điện trường bằng không chỉ là bước đầu, chưa phải kết luận toàn hệ.

Đào sâu và chuyển giao

Có ba phương trình lực nhưng chỉ hai độc lập khi hệ thẳng hàng và tổng nội lực bằng 0. Cách làm gọn là tìm vị trí từ cân bằng q3, rồi dùng cân bằng q1 để suy $|q_3|$ ; cuối cùng kiểm q2. Nếu q1,q2 trái dấu, điểm điện trường bằng 0 không nằm giữa vì hai vectơ trong đoạn cùng chiều; phải xét miền ngoài và biện luận vị trí theo độ lớn.

Có ba phương trình lực nhưng chỉ hai độc lập khi hệ thẳng hàng và tổng nội lực bằng 0. Cách làm gọn là tìm vị trí từ cân bằng q3, rồi dùng cân bằng q1 để suy $|q_3|$; cuối cùng kiểm q2. Nếu q1,q2 trái dấu, điểm điện trường bằng 0 không nằm giữa vì hai vectơ trong đoạn cùng chiều; phải xét miền ngoài và biện luận vị trí theo độ lớn.

Kĩ thuật tách “vị trí trước, độ lớn sau” là một phép giảm ẩn. Nó còn dùng khi tìm điểm treo điện tích, hạt cân bằng trong trọng trường–điện trường hoặc cấu hình đối xứng. Không được nói q3 cân bằng nên dấu q3 bất kì rồi kết luận cả hệ; dấu chỉ không ảnh hưởng lực lên chính q3 tại E=0, nhưng lại quyết định lực q3 tác dụng lên hai điện tích còn lại.

Bài chuẩn dừng ở một cặp lực. Bài HSG yêu cầu phân biệt hai bài toán gần giống nhau, giải hệ điều kiện và kiểm toàn hệ. Trường hợp giới hạn q2 tăng làm điểm E=0 tiến gần q1 nhỏ hơn; kết quả vị trí phải phản ánh xu hướng này. Nếu q1=q2, vị trí là trung điểm và q3 cân bằng toàn hệ có độ lớn q/4, dấu âm.

Bản đồ phương pháp

Bản đồ giải gồm: vẽ hệ và chọn trục; xác định vectơ hay đại lượng vô hướng; viết nguyên lí trước công thức; giữ dấu theo vật lí; kiểm giới hạn và đơn vị. Với điện tích, “điện trường bằng 0 tại q3” khác “cả ba điện tích cân bằng”. Với tụ, vẽ lại các nút trước khi gọi nối tiếp–song song. Hai phần tử chỉ nối tiếp khi nút chung không có nhánh khác; chỉ song song khi cùng chung cả hai nút.

Hướng dẫn giải

Trong Hướng dẫn giải, nêu dấu điện tích, chiều dương, miền vị trí hoặc thế nút. Mỗi phương trình phải gắn với định luật Coulomb, định luật II Newton, chuyển động thành phần hay bảo toàn điện tích tại nút cô lập. Đánh số kết quả dùng lại, kiểm nghiệm vật lí và khép mỗi phần bằng “Vậy …” cùng đơn vị. Không lấy trị tuyệt đối để che một phản lực hay điện tích sai dấu.

Trong **Hướng dẫn giải**, nêu dấu điện tích, chiều dương, miền vị trí hoặc thế nút. Mỗi phương trình phải gắn với định luật Coulomb, định luật II Newton, chuyển động thành phần hay bảo toàn điện tích tại nút cô lập. Đánh số kết quả dùng lại, kiểm nghiệm vật lí và khép mỗi phần bằng “Vậy …” cùng đơn vị. Không lấy trị tuyệt đối để che một phản lực hay điện tích sai dấu.

Kiểm ngược

Kiểm ngược độc lập: cho một điện tích tiến về 0; đối chiếu đối xứng trái–phải; kiểm hạt âm gia tốc ngược chiều điện trường; cộng hiệu điện thế dọc một nhánh tụ; kiểm điện tích hai bản nối với một nút cô lập có tổng bằng 0; hoặc thế điện thế nút trở lại mọi phương trình. Đáp số đúng đơn vị nhưng vi phạm một kiểm tra ấy vẫn sai mô hình.

Error-log

Error-log ghi đúng tầng lỗi: cân bằng q3 nhưng kết luận cả hệ; dùng $kQ/r^2$ bên trong quả cầu tích điện đều; lấy gia tốc electron cùng chiều E; cộng tụ nối tiếp như song song; hoặc bỏ tụ cầu dù hai nút không đồng thế. Hành động sửa phải quan sát được: vẽ vectơ lực, viết miền r<R/r>R, tách vx–vy, tô màu nút, hay viết phương trình điện tích nút.

Ví dụ

Hệ 4 μC và 9 μC

1
$q_1=4\,\mu C$ , $q_2=9\,\mu C$ cách 30 cm. Tìm vị trí để q3 cân bằng; sau đó tìm q3 để cả hệ cân bằng.
$q_1=4\,\mu C$, $q_2=9\,\mu C$ cách 30 cm. Tìm vị trí để q3 cân bằng; sau đó tìm q3 để cả hệ cân bằng.
2
Điều kiện E=0 không chứa q3, còn cân bằng q1,q2 mới xác định dấu và độ lớn.
3
Tìm x bằng tỉ số căn; đặt q3 âm rồi cân bằng lực lên q1.
4
Trong đoạn nối hai điện tích, $4/x^2=9/(30-x)^2$ . Lấy căn dương vì khoảng cách dương: $2/x=3/(30-x)$ , suy ra x=12 cm. (1) Để hút q1 sang phải và q2 sang trái, q3 phải âm. Cân bằng q1: $k\cdot4\cdot9/0{,}30^2=k\cdot4\cdot|q_3|/0{,}12^2$ , nên $|q_3|=1{,}44\,\mu C$ . Kiểm q2: $4/0{,}30^2=1{,}44/0{,}18^2$ , đúng. Vậy q3 đặt cách q1 12 cm và có giá trị $-1{,}44\,\mu C$ để cả hệ cân bằng.
Trong đoạn nối hai điện tích, $4/x^2=9/(30-x)^2$. Lấy căn dương vì khoảng cách dương: $2/x=3/(30-x)$, suy ra x=12 cm. (1) Để hút q1 sang phải và q2 sang trái, q3 phải âm. Cân bằng q1: $k\cdot4\cdot9/0{,}30^2=k\cdot4\cdot|q_3|/0{,}12^2$, nên $|q_3|=1{,}44\,\mu C$. Kiểm q2: $4/0{,}30^2=1{,}44/0{,}18^2$, đúng. Vậy q3 đặt cách q1 12 cm và có giá trị $-1{,}44\,\mu C$ để cả hệ cân bằng.
5
Nếu chỉ hỏi q3 cân bằng tại E=0, độ lớn và dấu q3 không ảnh hưởng, miễn q3 khác 0.
6
Đổi q1,q2 chỗ cho nhau làm vị trí đối xứng: cách q1 mới 18 cm.

Ví dụ

Công thức tỉ lệ và trường hợp đối xứng lệch

1
Hai điện tích dương 1 μC và 4 μC cách 30 cm. Tìm điện tích giữa chúng để cả hệ cân bằng.
2
Điểm cân bằng không ở trung điểm vì hai điện tích ngoài khác nhau.
3
Tỉ số khoảng cách bằng tỉ số căn điện tích.
4
Gọi x là khoảng cách từ điện tích 1 μC. Cân bằng điện trường tại q3 cho $1/x^2=4/(30-x)^2$ , nên $(30-x)=2x$ , x=10 cm. q3 phải âm. Cân bằng điện tích 1 μC: $4/0{,}30^2=|q_3|/0{,}10^2$ , suy ra $|q_3|=4/9\,\mu C$ . Vậy q3 bằng $-4/9\,\mu C$ , đặt cách điện tích 1 μC một đoạn 10 cm.
Gọi x là khoảng cách từ điện tích 1 μC. Cân bằng điện trường tại q3 cho $1/x^2=4/(30-x)^2$, nên $(30-x)=2x$, x=10 cm. q3 phải âm. Cân bằng điện tích 1 μC: $4/0{,}30^2=|q_3|/0{,}10^2$, suy ra $|q_3|=4/9\,\mu C$. Vậy q3 bằng $-4/9\,\mu C$, đặt cách điện tích 1 μC một đoạn 10 cm.
5
Đối với q2, $1/0{,}30^2=(4/9)/0{,}20^2$ , hai vế bằng nhau.
Đối với q2, $1/0{,}30^2=(4/9)/0{,}20^2$, hai vế bằng nhau.
6
Nếu hai điện tích ngoài bằng nhau q, q3=−q/4 ở trung điểm.

Luyện tập có hướng dẫn

Tự luyện và thử thách

Lỗi thường gặp

Không đồng nhất E=0 với cân bằng cả hệ; không bỏ biện luận dấu; không lấy căn âm cho khoảng cách.

Chốt bài: Em đã phân biệt được cân bằng của điện tích thử với cân bằng của toàn hệ và tìm vị trí, dấu, độ lớn điện tích thứ ba. Bài sau thay các điện tích rời rạc bằng phân bố đối xứng và dùng trực giác Gauss.