Bài học

Tính công, nội năng và nhiệt theo từng cạnh

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân tích được chu trình chữ nhật theo từng đoạn và kiểm chéo công chu trình bằng diện tích kín.

Kiến thức cần có

Cần định luật I, phương trình khí lí tưởng, công đẳng áp và quy ước dấu A là công khí thực hiện.

Mở rộng dành cho HSG. Foundation Grade 12 dùng định luật I cho một quá trình quen thuộc và đọc các đồ thị p–V, V–T, p–T chuẩn. Course này mở rộng sang chu trình kín nhiều đoạn, đường quá trình xiên, hiệu suất tính từ toàn bộ ngân sách nhiệt, hỗn hợp nhiều khối khí và pittông có tải biến thiên. Tiền đề là khí lí tưởng, $\Delta U=Q-A$ khi A là công khí thực hiện, công của quá trình đẳng áp và cân bằng lực. Mọi biểu thức vượt YCCĐ được suy lại từ diện tích đồ thị hoặc bảo toàn năng lượng trước khi dùng.

**Mở rộng dành cho HSG.** Foundation Grade 12 dùng định luật I cho một quá trình quen thuộc và đọc các đồ thị p–V, V–T, p–T chuẩn. Course này mở rộng sang chu trình kín nhiều đoạn, đường quá trình xiên, hiệu suất tính từ toàn bộ ngân sách nhiệt, hỗn hợp nhiều khối khí và pittông có tải biến thiên. Tiền đề là khí lí tưởng, $\Delta U=Q-A$ khi A là công khí thực hiện, công của quá trình đẳng áp và cân bằng lực. Mọi biểu thức vượt YCCĐ được suy lại từ diện tích đồ thị hoặc bảo toàn năng lượng trước khi dùng.

Câu hỏi mở đầu

Diện tích hình chữ nhật cho công chu trình, nhưng làm sao biết đoạn nào khí nhận nhiệt để dùng ở bài hiệu suất?

Ý tưởng cốt lõi

Với chu trình A→B→C→D→A gồm hai đẳng tích và hai đẳng áp, công chỉ xuất hiện trên các cạnh ngang. Tuy nhiên Q phải tính trên cả bốn cạnh vì nội năng đổi khi pV đổi. Đừng suy dấu Q chỉ từ nở hay nén: một đoạn đẳng tích vẫn có thể nhận hoặc tỏa nhiệt. Quy trình chắc chắn là lập pV tại bốn đỉnh, tính $\Delta U$ , tính A, rồi lấy $Q=\Delta U+A$ .

Mỗi cạnh được tính riêng trước khi kiểm bằng diện tích kín.

Đào sâu mô hình

Chọn A $(p_0,V_0)$ , B $(2p_0,V_0)$ , C $(2p_0,2V_0)$ , D $(p_0,2V_0)$ . Với khí đơn nguyên tử, các nội năng tỉ lệ lần lượt 1,2,4,2. Trên AB và CD, A=0. Trên BC, khí nở ở 2p0; trên DA, khí nén ở p0. Tổng công bằng $(2p_0-p_0)(2V_0-V_0)=p_0V_0$ , đúng diện tích hình chữ nhật và dương vì chu trình theo chiều kim đồng hồ.

Chọn A$(p_0,V_0)$, B$(2p_0,V_0)$, C$(2p_0,2V_0)$, D$(p_0,2V_0)$. Với khí đơn nguyên tử, các nội năng tỉ lệ lần lượt 1,2,4,2. Trên AB và CD, A=0. Trên BC, khí nở ở 2p0; trên DA, khí nén ở p0. Tổng công bằng $(2p_0-p_0)(2V_0-V_0)=p_0V_0$, đúng diện tích hình chữ nhật và dương vì chu trình theo chiều kim đồng hồ.

Bảng đoạn cho đáp số và đồng thời chuẩn bị dữ liệu tính hiệu suất. Đánh dấu Q dương ở AB và BC; Q âm ở CD và DA. Nếu chỉ biết công kín, em chưa biết $Q_{vào}$ . Đây là lý do bài HSG yêu cầu phân tích từng cạnh thay vì lấy diện tích rồi dừng.

Bảng đoạn cho đáp số và đồng thời chuẩn bị dữ liệu tính hiệu suất. Đánh dấu Q dương ở AB và BC; Q âm ở CD và DA. Nếu chỉ biết công kín, em chưa biết $Q_{vào}$. Đây là lý do bài HSG yêu cầu phân tích từng cạnh thay vì lấy diện tích rồi dừng.

Kiểm giới hạn: nếu chiều cao hình chữ nhật co về 0 hoặc chiều rộng co về 0, công chu trình phải về 0. Đảo chiều đi làm mọi đại lượng trạng thái trên từng đỉnh giữ nguyên nhưng dấu công kín đảo; chu trình lúc đó cần nhận công từ ngoài, giống máy lạnh chứ không còn là động cơ sinh công.

Bảng trạng thái

Lập bảng trạng thái với các cột $p,V,T,pV$ trước khi tính nhiệt. Với lượng khí không đổi, T tỉ lệ pV. Nếu đề cho khí đơn nguyên tử lí tưởng, $U=3pV/2$ ; nếu không cho cấu tạo khí hoặc nhiệt dung, không tự gán hệ số này. Mỗi đoạn có $A=\int p\,dV$ , $\Delta U=U_2-U_1$ , rồi $Q=\Delta U+A$ . Trên cả chu trình, trạng thái cuối trùng đầu nên $\sum\Delta U=0$ và $Q_{net}=A_{net}$ .

Lập bảng trạng thái với các cột $p,V,T,pV$ trước khi tính nhiệt. Với lượng khí không đổi, T tỉ lệ pV. Nếu đề cho khí đơn nguyên tử lí tưởng, $U=3pV/2$; nếu không cho cấu tạo khí hoặc nhiệt dung, không tự gán hệ số này. Mỗi đoạn có $A=\int p\,dV$, $\Delta U=U_2-U_1$, rồi $Q=\Delta U+A$. Trên cả chu trình, trạng thái cuối trùng đầu nên $\sum\Delta U=0$ và $Q_{net}=A_{net}$.

Đồ thị và công

Trên đồ thị p–V, công khí thực hiện là diện tích có dấu dưới đường quá trình. Nở sang phải cho A dương; nén sang trái cho A âm. Với đoạn thẳng, dùng áp suất trung bình nhân $\Delta V$ . Công chu trình là diện tích có dấu: chiều kim đồng hồ cho công dương, ngược chiều cho công âm. Diện tích hình học chỉ cho độ lớn; chiều đi quyết định dấu.

Trên đồ thị p–V, công khí thực hiện là diện tích có dấu dưới đường quá trình. Nở sang phải cho A dương; nén sang trái cho A âm. Với đoạn thẳng, dùng áp suất trung bình nhân $\Delta V$. Công chu trình là diện tích có dấu: chiều kim đồng hồ cho công dương, ngược chiều cho công âm. Diện tích hình học chỉ cho độ lớn; chiều đi quyết định dấu.

Hiệu suất

Hiệu suất động cơ nhiệt là $H=A_{net}/Q_{vào}$ , trong đó $Q_{vào}$ chỉ cộng các đoạn có Q dương. Không dùng $A/Q_{net}$ vì trên chu trình $Q_{net}=A$ sẽ cho 100% giả. Nhiệt tỏa có độ lớn $Q_{ra}=-\sum_{Q_i<0}Q_i$ và $A=Q_{vào}-Q_{ra}$ . Giới hạn Carnot $1-T_{min}/T_{max}$ là trần lí tưởng giữa hai nguồn nhiệt; một chu trình cụ thể phải thấp hơn.

Hiệu suất động cơ nhiệt là $H=A_{net}/Q_{vào}$, trong đó $Q_{vào}$ chỉ cộng các đoạn có Q dương. Không dùng $A/Q_{net}$ vì trên chu trình $Q_{net}=A$ sẽ cho 100% giả. Nhiệt tỏa có độ lớn $Q_{ra}=-\sum_{Q_i<0}Q_i$ và $A=Q_{vào}-Q_{ra}$. Giới hạn Carnot $1-T_{min}/T_{max}$ là trần lí tưởng giữa hai nguồn nhiệt; một chu trình cụ thể phải thấp hơn.

Hướng dẫn giải

Trong Hướng dẫn giải, nêu quy ước dấu, lập bảng pV, gọi tên công thức công trên từng đoạn, đánh số $A_i,\Delta U_i,Q_i$ , rồi kiểm $\sum\Delta U=0$ . Với hỗn hợp khí, ghi hệ kín và đại lượng bảo toàn trước khi mở van. Với pittông, suy p(V) từ cân bằng lực trước khi tính diện tích. Kết thúc mỗi phần bằng “Vậy …” với J, K, Pa hoặc phần trăm và bình luận tính khả thi.

Trong **Hướng dẫn giải**, nêu quy ước dấu, lập bảng pV, gọi tên công thức công trên từng đoạn, đánh số $A_i,\Delta U_i,Q_i$, rồi kiểm $\sum\Delta U=0$. Với hỗn hợp khí, ghi hệ kín và đại lượng bảo toàn trước khi mở van. Với pittông, suy p(V) từ cân bằng lực trước khi tính diện tích. Kết thúc mỗi phần bằng “Vậy …” với J, K, Pa hoặc phần trăm và bình luận tính khả thi.

Error-log

Error-log của nhiệt động lực học phân biệt: đọc sai chiều chu trình; nhầm diện tích hình học với công có dấu; cộng mọi Q vào mẫu hiệu suất; gán $U=3pV/2$ khi đề không cho khí đơn nguyên tử; dùng nhiệt độ Celsius trong phương trình trạng thái; hay coi pittông lò xo là đẳng áp. Mỗi lỗi phải được xác nhận sửa bằng một đồ thị hoặc bộ số mới, không phải chép lại bài cũ.

Ví dụ

Chu trình chữ nhật đơn nguyên tử

1
Một mol khí đơn nguyên tử chạy chu trình A $(p_0,V_0)$ →B $(2p_0,V_0)$ →C $(2p_0,2V_0)$ →D $(p_0,2V_0)$ →A. Cho $p_0V_0=1000$ J. Tính A, ΔU, Q từng đoạn.
Một mol khí đơn nguyên tử chạy chu trình A$(p_0,V_0)$→B$(2p_0,V_0)$→C$(2p_0,2V_0)$→D$(p_0,2V_0)$→A. Cho $p_0V_0=1000$ J. Tính A, ΔU, Q từng đoạn.
2
Diện tích chỉ cho công tổng; nhiệt vào cần ngân sách từng cạnh.
3
Dùng U=3pV/2 tại các đỉnh, công đẳng áp trên cạnh ngang.
4
Ta có $U_A=1500$ , $U_B=3000$ , $U_C=6000$ , $U_D=3000$ J. AB: $A_1=0$ , $\Delta U_1=1500$ , nên $Q_1=1500$ J. BC: $A_2=2p_0V_0=2000$ , $\Delta U_2=3000$ , nên $Q_2=5000$ J. CD: $A_3=0$ , $\Delta U_3=-3000$ , nên $Q_3=-3000$ J. DA: $A_4=-p_0V_0=-1000$ , $\Delta U_4=-1500$ , nên $Q_4=-2500$ J. Tổng $A=1000$ J, $Q=1000$ J, $\sum\Delta U=0$ . Vậy chu trình sinh công 1000 J.
Ta có $U_A=1500$, $U_B=3000$, $U_C=6000$, $U_D=3000$ J. AB: $A_1=0$, $\Delta U_1=1500$, nên $Q_1=1500$ J. BC: $A_2=2p_0V_0=2000$, $\Delta U_2=3000$, nên $Q_2=5000$ J. CD: $A_3=0$, $\Delta U_3=-3000$, nên $Q_3=-3000$ J. DA: $A_4=-p_0V_0=-1000$, $\Delta U_4=-1500$, nên $Q_4=-2500$ J. Tổng $A=1000$ J, $Q=1000$ J, $\sum\Delta U=0$. Vậy chu trình sinh công 1000 J.
5
Công tổng đúng diện tích $p_0V_0$ và tổng nhiệt bằng công.
Công tổng đúng diện tích $p_0V_0$ và tổng nhiệt bằng công.
6
Đảo A→D→C→B→A làm công tổng −1000 J.

Ví dụ

Suy nhiệt độ các đỉnh không cần biết số mol

1
Nếu $T_A=300$ K trong chu trình trên, tìm nhiệt độ B,C,D.
Nếu $T_A=300$ K trong chu trình trên, tìm nhiệt độ B,C,D.
2
Không cần giải nR; tỉ số nhiệt độ bằng tỉ số pV cho cùng lượng khí.
3
Chuẩn hóa mọi tích pV theo trạng thái A.
4
Theo phương trình trạng thái, $T/T_A=pV/(p_AV_A)$ . Do đó $T_B=2T_A=600$ K, $T_C=4T_A=1200$ K, $T_D=2T_A=600$ K. Vậy nhiệt độ lớn nhất ở C là 1200 K và nhỏ nhất ở A là 300 K.
Theo phương trình trạng thái, $T/T_A=pV/(p_AV_A)$. Do đó $T_B=2T_A=600$ K, $T_C=4T_A=1200$ K, $T_D=2T_A=600$ K. Vậy nhiệt độ lớn nhất ở C là 1200 K và nhỏ nhất ở A là 300 K.
5
B và D có cùng pV nên cùng nhiệt độ dù p,V riêng khác nhau.
6
Nếu khí rò rỉ giữa các đoạn, tỉ số pV không còn trực tiếp cho T.

Luyện tập có hướng dẫn

Tự luyện và challenge checkpoint

Lỗi thường gặp

Không bỏ nhiệt trên cạnh đẳng tích; không quên dấu công nén; không dùng diện tích kín thay cho nhiệt vào.

Chốt bài: Em đã phân tích được chu trình chữ nhật theo từng đoạn và kiểm chéo công chu trình bằng diện tích kín. Bài sau thay cạnh ngang bằng đoạn xiên và buộc em tính công từ áp suất trung bình.