Bài học

Từ lực Lorentz tới bán kính, góc quét và thời gian bay

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em suy được quỹ đạo tròn của hạt vào vuông góc và dùng biên vùng trường để tìm đúng thời gian ở trong trường.

Kiến thức cần có

Cần chuyển động tròn đều, tích có hướng ở mức quy tắc tay và lực Lorentz.

Mở rộng dành cho HSG. Foundation Grade 12 nhận biết đường sức, dùng $F=BIl\sin\alpha$ cho dây dẫn, từ trường ống dây và cảm ứng điện từ cơ bản. Course này mở rộng sang lực Lorentz lên từng hạt, quỹ đạo trong vùng trường hữu hạn, chuyển động xoắn khi vào xiên, bộ chọn vận tốc E–B, tổng hợp vectơ từ trường nhiều nguồn và mômen khung dây. Tiền đề là vectơ, chuyển động tròn, định luật II Newton, điện trường Grade 11 và lực từ Foundation. Mọi công thức vượt YCCĐ được suy từ lực, hình học hoặc nguyên lí chồng chất trước khi dùng.

**Mở rộng dành cho HSG.** Foundation Grade 12 nhận biết đường sức, dùng $F=BIl\sin\alpha$ cho dây dẫn, từ trường ống dây và cảm ứng điện từ cơ bản. Course này mở rộng sang lực Lorentz lên từng hạt, quỹ đạo trong vùng trường hữu hạn, chuyển động xoắn khi vào xiên, bộ chọn vận tốc E–B, tổng hợp vectơ từ trường nhiều nguồn và mômen khung dây. Tiền đề là vectơ, chuyển động tròn, định luật II Newton, điện trường Grade 11 và lực từ Foundation. Mọi công thức vượt YCCĐ được suy từ lực, hình học hoặc nguyên lí chồng chất trước khi dùng.

Câu hỏi mở đầu

Biết chu kì cyclotron có đủ để tính thời gian hạt ở trong một miền từ trường hình chữ nhật không?

Ý tưởng cốt lõi

Khi $\vec v\perp\vec B$ và chỉ có lực từ, $|q|vB=mv^2/r$ , nên $r=mv/(|q|B)$ . Tốc độ góc $\omega_c=v/r=|q|B/m$ và chu kì $T_c=2\pi m/(|q|B)$ không phụ thuộc v. Tuy nhiên thời gian trong vùng hữu hạn là $t=\Delta\theta/\omega_c$ , với góc quét do giao điểm quỹ đạo–biên quyết định. Chỉ khi hạt đi đủ vòng mới dùng cả chu kì.

Khi $\vec v\perp\vec B$ và chỉ có lực từ, $|q|vB=mv^2/r$, nên $r=mv/(|q|B)$. Tốc độ góc $\omega_c=v/r=|q|B/m$ và chu kì $T_c=2\pi m/(|q|B)$ không phụ thuộc v. Tuy nhiên thời gian trong vùng hữu hạn là $t=\Delta\theta/\omega_c$, với góc quét do giao điểm quỹ đạo–biên quyết định. Chỉ khi hạt đi đủ vòng mới dùng cả chu kì.

Biên hình học quyết định góc quét và thời gian, không phải mặc định một chu kì.

Đào sâu mô hình

Tâm quỹ đạo nằm theo hướng lực ban đầu, cách điểm vào một bán kính. Sau khi dựng đường tròn, giải hình học để tìm điểm ra. Nếu biên ép hạt đi nửa vòng, $t=T_c/2$ ; một phần tư vòng cho $T_c/4$ . Nếu đường tròn nằm trọn trong vùng, hạt không thoát theo mô hình lí tưởng. Nếu biên cắt trước điểm dự đoán, góc quét phải giảm.

Tâm quỹ đạo nằm theo hướng lực ban đầu, cách điểm vào một bán kính. Sau khi dựng đường tròn, giải hình học để tìm điểm ra. Nếu biên ép hạt đi nửa vòng, $t=T_c/2$; một phần tư vòng cho $T_c/4$. Nếu đường tròn nằm trọn trong vùng, hạt không thoát theo mô hình lí tưởng. Nếu biên cắt trước điểm dự đoán, góc quét phải giảm.

Dấu q đổi chiều cong nhưng không đổi r, $T_c$ hay thời gian cho cùng độ lớn góc quét. Tăng B làm r và chu kì giảm tỉ lệ nghịch. Tăng v làm r tăng nhưng chu kì không đổi; quãng đường một vòng tăng đúng tỉ lệ v. Những xu hướng này là kiểm nhanh mạnh hơn việc nhìn số thập phân.

Ngoài vùng trường, hạt đi thẳng theo tiếp tuyến tại điểm ra nếu không còn lực khác. Vận tốc đầu đoạn thẳng là đại lượng bàn giao từ cung tròn. Không nối điểm vào–ra bằng dây cung rồi gọi đó là quãng đường; quãng đường trong trường là rΔθ.

Bản đồ vectơ

Bản đồ vectơ luôn có bốn dòng: hướng $\vec v$ hoặc dòng I; hướng $\vec B$ ; dấu q; hướng lực. Với hạt, $\vec F=q\vec v\times\vec B$ ; đổi dấu q đảo lực. Với dây, dùng quy tắc lực từ theo chiều dòng điện quy ước. Độ lớn không thay thế hướng. Một đáp số bán kính đúng nhưng tâm quỹ đạo nằm sai phía vẫn là mô hình sai.

Bản đồ vectơ luôn có bốn dòng: hướng $\vec v$ hoặc dòng I; hướng $\vec B$; dấu q; hướng lực. Với hạt, $\vec F=q\vec v\times\vec B$; đổi dấu q đảo lực. Với dây, dùng quy tắc lực từ theo chiều dòng điện quy ước. Độ lớn không thay thế hướng. Một đáp số bán kính đúng nhưng tâm quỹ đạo nằm sai phía vẫn là mô hình sai.

Năng lượng và tốc độ

Lực từ thuần túy vuông góc vận tốc tức thời nên không sinh công: tốc độ và động năng giữ nguyên. Nó đổi hướng vận tốc, không đổi độ lớn. Điện lực $q\vec E$ có thể sinh công. Trong vùng có cả E và B, chỉ khi hai lực cân bằng cho vận tốc chọn lọc thì quỹ đạo thẳng đều; nếu lệch, phải xét hợp lực và không được gọi ngay là tròn đều.

Nguyên lí chồng chất

Từ trường tuân theo nguyên lí chồng chất vectơ. Với dây thẳng dài, $B=\mu_0I/(2\pi r)$ và hướng theo quy tắc nắm tay phải. Muốn tìm điểm B tổng bằng 0, trước hết xác định miền hai vectơ ngược hướng, rồi mới cân bằng độ lớn. Dòng cùng chiều cho hai trường ngược nhau ở giữa; dòng ngược chiều cho chúng cùng hướng ở giữa và điểm triệt tiêu, nếu có, nằm ngoài về phía dòng nhỏ hơn.

Hướng dẫn giải

Trong Hướng dẫn giải, chọn hệ trục; nêu quy tắc xác định hướng; viết phương trình lực trước công thức quỹ đạo; đánh số bán kính, tần số góc, điểm triệt tiêu hoặc mômen. Với vùng hữu hạn, kiểm giao điểm biên và góc quét. Với cân bằng, kiểm ổn định bằng nhiễu nhỏ hoặc thế năng. Kết thúc bằng “Vậy …” kèm đơn vị, hướng và điều kiện áp dụng.

Trong **Hướng dẫn giải**, chọn hệ trục; nêu quy tắc xác định hướng; viết phương trình lực trước công thức quỹ đạo; đánh số bán kính, tần số góc, điểm triệt tiêu hoặc mômen. Với vùng hữu hạn, kiểm giao điểm biên và góc quét. Với cân bằng, kiểm ổn định bằng nhiễu nhỏ hoặc thế năng. Kết thúc bằng “Vậy …” kèm đơn vị, hướng và điều kiện áp dụng.

Error-log

Error-log phân biệt: sai quy tắc tay; quên dấu q; dùng toàn v thay $v_\perp$ ; coi lực từ sinh công; cân bằng độ lớn ở miền hai vectơ cùng hướng; hay dùng góc của mặt phẳng khung thay góc pháp tuyến. Hành động sửa phải cụ thể: vẽ bộ ba trục, tách vận tốc, tô miền trường, vẽ vòng tròn hướng B quanh dây, hoặc dựng vectơ mômen từ. Chỉ đóng lỗi sau một cấu hình đổi chiều dòng hay đổi dấu q.

Error-log phân biệt: sai quy tắc tay; quên dấu q; dùng toàn v thay $v_\perp$; coi lực từ sinh công; cân bằng độ lớn ở miền hai vectơ cùng hướng; hay dùng góc của mặt phẳng khung thay góc pháp tuyến. Hành động sửa phải cụ thể: vẽ bộ ba trục, tách vận tốc, tô miền trường, vẽ vòng tròn hướng B quanh dây, hoặc dựng vectơ mômen từ. Chỉ đóng lỗi sau một cấu hình đổi chiều dòng hay đổi dấu q.

Ví dụ

Electron đi nửa vòng rồi ra

1
Electron có $m=9{,}11\times10^{-31}$ kg, $|q|=1{,}602\times10^{-19}$ C, $v=3{,}0\times10^6$ m/s vào vuông góc B=0,020 T. Miền trường cho quỹ đạo đúng nửa vòng. Tính r và thời gian.
Electron có $m=9{,}11\times10^{-31}$ kg, $|q|=1{,}602\times10^{-19}$ C, $v=3{,}0\times10^6$ m/s vào vuông góc B=0,020 T. Miền trường cho quỹ đạo đúng nửa vòng. Tính r và thời gian.
2
Thời gian không phải chiều rộng miền chia v; hạt đi theo cung tròn.
3
Lực từ làm lực hướng tâm, rồi lấy nửa chu kì cyclotron.
4
Áp dụng $|q|vB=mv^2/r$ , ta có $r=mv/(|q|B)\approx8{,}529\times10^{-4}$ m =0,853 mm. (1) Chu kì $T_c=2\pi m/(|q|B)\approx1{,}786\times10^{-9}$ s. Hạt đi nửa vòng nên $t=T_c/2\approx8{,}931\times10^{-10}$ s. Vậy bán kính khoảng 0,853 mm và thời gian trong trường khoảng 0,893 ns.
Áp dụng $|q|vB=mv^2/r$, ta có $r=mv/(|q|B)\approx8{,}529\times10^{-4}$ m =0,853 mm. (1) Chu kì $T_c=2\pi m/(|q|B)\approx1{,}786\times10^{-9}$ s. Hạt đi nửa vòng nên $t=T_c/2\approx8{,}931\times10^{-10}$ s. Vậy bán kính khoảng 0,853 mm và thời gian trong trường khoảng 0,893 ns.
5
Đổi electron thành hạt dương cùng |q|,m chỉ đảo chiều cong.
6
Nếu miền chỉ chứa một phần tư vòng, thời gian giảm còn $T_c/4$ .
Nếu miền chỉ chứa một phần tư vòng, thời gian giảm còn $T_c/4$.

Ví dụ

Từ điểm ra suy hướng vận tốc

1
Hạt dương đi sang phải, B hướng vào trang và đi một phần tư vòng. Xác định phía tâm và hướng vận tốc ra.
2
Phải dùng hướng lực, không suy từ hình cong quen thuộc.
3
V×B hướng lên với q dương; vận tốc luôn tiếp tuyến.
4
Chọn Ox sang phải, Oy lên. Với B vào trang, $\vec v\times\vec B$ hướng lên nên lực từ và tâm quỹ đạo ở phía trên điểm vào. Sau một phần tư vòng theo chiều ngược kim đồng hồ, bán kính quay từ hướng xuống sang hướng phải; tiếp tuyến vận tốc hướng lên. Vậy hạt ra với vận tốc hướng lên, độ lớn vẫn bằng v ban đầu.
Chọn Ox sang phải, Oy lên. Với B vào trang, $\vec v\times\vec B$ hướng lên nên lực từ và tâm quỹ đạo ở phía trên điểm vào. Sau một phần tư vòng theo chiều ngược kim đồng hồ, bán kính quay từ hướng xuống sang hướng phải; tiếp tuyến vận tốc hướng lên. Vậy hạt ra với vận tốc hướng lên, độ lớn vẫn bằng v ban đầu.
5
Lực từ không sinh công nên tốc độ không đổi.
6
Hạt âm sẽ cong xuống và sau một phần tư vòng có vận tốc hướng xuống.

Luyện tập có hướng dẫn

Tự luyện và challenge checkpoint

Lỗi thường gặp

Không mặc định hạt đi trọn vòng; không dùng dây cung làm quãng đường; không quên dấu q khi đặt tâm.

Chốt bài: Em đã suy được quỹ đạo tròn của hạt vào vuông góc và dùng biên vùng trường để tìm đúng thời gian ở trong trường. Bài sau tách vận tốc xiên thành hai thành phần để dựng quỹ đạo xoắn.