Bài học

Phân tích mạch nối tiếp – song song nhiều nhánh

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em thu gọn đúng mạch nhiều cụm nối tiếp–song song, rồi khôi phục được hiệu điện thế và dòng qua từng điện trở.

Kiến thức cần có

Cần biết $U=IR$ , quy tắc nối tiếp, song song và bảo toàn dòng tại nút.

Cần biết $U=IR$, quy tắc nối tiếp, song song và bảo toàn dòng tại nút.

So với bài chuẩn: Bài chuẩn có hai điện trở trong một kiểu mắc. Bài HSG có nhiều cụm lồng nhau; phép thu gọn sai thứ tự sẽ làm mất cấu trúc và dẫn đến mọi dòng sai.

Câu hỏi mở đầu

Hai điện trở vẽ cạnh nhau chưa chắc nối tiếp, hai điện trở vẽ trên hai hàng chưa chắc song song. Điều quyết định là các nút, không phải hình thức bản vẽ.

Ý tưởng cốt lõi

Bước đầu tô cùng kí hiệu cho mọi điểm nối bằng dây lí tưởng. Hai điện trở song song khi cả hai đầu lần lượt nối cùng hai nút; nối tiếp khi nút chung chỉ nối đúng hai phần tử, không có nhánh rẽ. Thu gọn từ cụm trong ra ngoài. Sau khi tìm $R_{tđ}$ và dòng nguồn, đi ngược: cụm nối tiếp nhận cùng dòng, cụm song song nhận cùng hiệu điện thế. Mỗi bước khôi phục là phép đảo của bước thu gọn. Nếu mạch có năm điện trở, không nên viết một biểu thức dài rồi mất dấu; hãy đặt tên $R_{23}$ , $R_{45}$ và kiểm khoảng của từng cụm.

Mỗi bước khôi phục đảo đúng một bước thu gọn.

Đào sâu chiến lược

Một phép kiểm cấu trúc là tưởng tượng tháo một điện trở. Nếu tháo nó làm đứt dòng qua phần tử kia, hai phần tử có thể nối tiếp; nếu phần tử kia vẫn có đường riêng giữa cùng hai nút, chúng thuộc nhánh song song. Tuy nhiên, phép thử này chỉ hỗ trợ, không thay định nghĩa nút. Mạch cầu là ví dụ không thể thu gọn nối tiếp–song song dù trông như hai nhánh, vì nút giữa có nhánh cầu.

Khi một điện trở chưa biết $x$ , giữ biểu thức phân thức đến khi có dữ kiện tổng. Đừng chọn số thử nếu phương trình có thể giải trực tiếp. Điều kiện $x>0$ giúp loại nghiệm âm do biến đổi sai hoặc dữ kiện không vật lí. Nếu có nhiều nghiệm dương, cần dữ kiện số chỉ khác để chọn.

Khi một điện trở chưa biết $x$, giữ biểu thức phân thức đến khi có dữ kiện tổng. Đừng chọn số thử nếu phương trình có thể giải trực tiếp. Điều kiện $x>0$ giúp loại nghiệm âm do biến đổi sai hoặc dữ kiện không vật lí. Nếu có nhiều nghiệm dương, cần dữ kiện số chỉ khác để chọn.

Trong thực nghiệm, dây và tiếp điểm cũng có điện trở nhỏ. Với điện trở mạch vài ôm, có thể bỏ qua; với phép đo milliohm, chúng trở thành đáng kể. Bài lớp 9 thường cho dây lí tưởng, nhưng HSG có thể yêu cầu nêu giả định. Một mạch “tương đương” chỉ tương đương giữa hai đầu xét và trong phạm vi giả định.

Trình bày để nhận đủ điểm

Trình bày mạch theo thứ tự cấu trúc rồi mới tính. Gọi tên hai nút đầu–cuối của từng nhánh; chỉ kết luận nối tiếp khi nút chung không có nhánh rẽ, và song song khi hai đầu cùng nối đúng hai nút. Sau mỗi phép thu gọn, ghi điện trở tương đương và mạch còn lại. Khi khôi phục, tìm hiệu điện thế trên cụm trước rồi mới chia dòng. Với hệ nhiều ẩn, nêu rõ định luật nút, định luật vòng hoặc định luật Ohm tạo từng phương trình. Kết luận phải kèm đơn vị Ω, A, mA hoặc V và kiểm tổng dòng tại nút.

Kiểm ngược mạch

Kiểm ngược bằng ba phép thử. Một: điện trở tương đương của cụm song song phải nhỏ hơn điện trở nhánh nhỏ nhất; cụm nối tiếp phải lớn hơn từng phần tử. Hai: dòng vào một nút bằng tổng dòng ra; hiệu điện thế các nhánh song song phải bằng nhau. Ba: thay các dòng tìm được vào $U=IR$ và cộng sụt áp theo một đường từ cực dương đến cực âm phải trả lại điện áp nguồn. Nếu cầu được gọi cân bằng, điện thế hai điểm giữa phải thật sự bằng nhau, không chỉ vì hình trông đối xứng.

Thang đơn vị và dụng cụ

Giữ thang đơn vị nhất quán. Khi dùng kΩ và mA, tích vẫn ra V vì $1\,\text{k}Ω\cdot1\,\text{mA}=1\,\text{V}$ . Không trộn Ω với mA mà quên hệ số 1000. Trước khi chấp nhận số chỉ dụng cụ, so điện trở dụng cụ với nhánh đo: ampe kế cần nhỏ hơn nhiều điện trở nối tiếp; vôn kế cần lớn hơn nhiều điện trở được đo. Tỉ số, không phải nhãn “lớn” hay “nhỏ”, quyết định sai số tải.

Giữ thang đơn vị nhất quán. Khi dùng kΩ và mA, tích vẫn ra V vì $1\,\text{k}Ω\cdot1\,\text{mA}=1\,\text{V}$. Không trộn Ω với mA mà quên hệ số 1000. Trước khi chấp nhận số chỉ dụng cụ, so điện trở dụng cụ với nhánh đo: ampe kế cần nhỏ hơn nhiều điện trở nối tiếp; vôn kế cần lớn hơn nhiều điện trở được đo. Tỉ số, không phải nhãn “lớn” hay “nhỏ”, quyết định sai số tải.

Kiểm toán phương trình nút

Kiểm toán phương trình nút bằng cách viết chiều dòng cạnh từng hạng. Với nút có điện thế $V$ , dòng từ nguồn $U$ qua điện trở $R$ đi vào là $(U-V)/R$ ; dòng xuống nút 0 V là $V/R$ . Dòng qua nhánh nối hai nút dùng hiệu điện thế có dấu. Sau khi giải, dòng âm chỉ chiều thật ngược giả định, không cho phép tùy tiện đổi dấu một hạng. Cộng lại mọi dòng tại từng nút phải bằng 0 trong sai số làm tròn.

Kiểm toán phương trình nút bằng cách viết chiều dòng cạnh từng hạng. Với nút có điện thế $V$, dòng từ nguồn $U$ qua điện trở $R$ đi vào là $(U-V)/R$; dòng xuống nút 0 V là $V/R$. Dòng qua nhánh nối hai nút dùng hiệu điện thế có dấu. Sau khi giải, dòng âm chỉ chiều thật ngược giả định, không cho phép tùy tiện đổi dấu một hạng. Cộng lại mọi dòng tại từng nút phải bằng 0 trong sai số làm tròn.

Phép thử giới hạn

Thử các giới hạn trước khi chấp nhận biểu thức. Cho $R_V\to\infty$ phải thu lại mạch không tải; cho $R_A\to0$ phải thu lại ampe kế lí tưởng; cho điện trở nhánh song song tiến tới vô cùng phải loại được nhánh ấy; cho nó tiến tới 0 phải tạo đường nối tắt. Với cầu, đưa tỉ số về đúng cân bằng phải làm dòng chéo tiến tới 0. Nếu công thức không có các giới hạn này, cấu trúc hoặc dấu đã sai.

Ví dụ

Mạch năm điện trở nguồn 24 V

1
$R_1=6Ω$ nối tiếp $(R_2=4Ω // R_3=12Ω)$ , rồi nối tiếp $(R_4=3Ω // R_5=6Ω)$ . Nguồn 24 V. Tìm $R_{tđ}$ và dòng qua từng điện trở.
$R_1=6Ω$ nối tiếp $(R_2=4Ω // R_3=12Ω)$, rồi nối tiếp $(R_4=3Ω // R_5=6Ω)$. Nguồn 24 V. Tìm $R_{tđ}$ và dòng qua từng điện trở.
2
Thu hai cụm song song riêng, cộng nối tiếp, rồi đi ngược từ dòng nguồn.
3
$R_{23}=4\cdot12/(4+12)=3Ω$ ; $R_{45}=3\cdot6/(3+6)=2Ω$ . Do đó $R_{tđ}=6+3+2=11Ω$ , $I=24/11$ A. Dòng qua $R_1$ là $24/11$ A. Điện áp cụm 23: $U_{23}=I\cdot3=72/11$ V, nên $I_2=18/11$ A, $I_3=6/11$ A. Điện áp cụm 45: $U_{45}=48/11$ V, nên $I_4=16/11$ A, $I_5=8/11$ A.
$R_{23}=4\cdot12/(4+12)=3Ω$; $R_{45}=3\cdot6/(3+6)=2Ω$. Do đó $R_{tđ}=6+3+2=11Ω$, $I=24/11$ A. Dòng qua $R_1$ là $24/11$ A. Điện áp cụm 23: $U_{23}=I\cdot3=72/11$ V, nên $I_2=18/11$ A, $I_3=6/11$ A. Điện áp cụm 45: $U_{45}=48/11$ V, nên $I_4=16/11$ A, $I_5=8/11$ A.
4
$I_2+I_3=24/11=I$ và $I_4+I_5=24/11=I$ ; tổng sụt áp $144/11+72/11+48/11=24$ V.
$I_2+I_3=24/11=I$ và $I_4+I_5=24/11=I$; tổng sụt áp $144/11+72/11+48/11=24$ V.
5
Các dòng lần lượt: $I_1=24/11$ , $I_2=18/11$ , $I_3=6/11$ , $I_4=16/11$ , $I_5=8/11$ A.
Các dòng lần lượt: $I_1=24/11$, $I_2=18/11$, $I_3=6/11$, $I_4=16/11$, $I_5=8/11$ A.

Ví dụ

Tìm điện trở nhánh chưa biết

1
Giữ $R_1=6Ω$ , cụm $(x // 12Ω)$ và cụm $(3Ω // 6Ω)$ nối tiếp. Biết $R_{tđ}=12Ω$ . Tìm $x>0$ .
Giữ $R_1=6Ω$, cụm $(x // 12Ω)$ và cụm $(3Ω // 6Ω)$ nối tiếp. Biết $R_{tđ}=12Ω$. Tìm $x>0$.
2
Cụm cuối bằng 2Ω, nên cụm chưa biết phải bằng 4Ω.
3
$6+R_x+2=12$ nên $R_x=4Ω$ . Mà $R_x=12x/(12+x)$ . Do đó $12x=4(12+x)$ , suy ra $8x=48$ , $x=6Ω$ . Vậy điện trở chưa biết là 6Ω.
$6+R_x+2=12$ nên $R_x=4Ω$. Mà $R_x=12x/(12+x)$. Do đó $12x=4(12+x)$, suy ra $8x=48$, $x=6Ω$. Vậy điện trở chưa biết là 6Ω.
4
$6 // 12=4Ω$ ; tổng $6+4+2=12Ω$ . Nghiệm dương và cụm song song nhỏ hơn 6Ω.
$6 // 12=4Ω$; tổng $6+4+2=12Ω$. Nghiệm dương và cụm song song nhỏ hơn 6Ω.
5
Nếu tổng nhỏ hơn 8Ω, dữ kiện vô lí vì riêng hai phần nối tiếp cố định đã là 8Ω.

Luyện tập có hướng dẫn

Tự luyện và thử thách

Lỗi thường gặp

Không nhận dạng nối tiếp–song song theo vị trí trên giấy. Hãy đánh dấu nút và kiểm điều kiện; một phép gộp sai làm toàn bộ phép khôi phục vô nghĩa.

Chốt bài: Em đã thu gọn đúng mạch nhiều cụm nối tiếp–song song, rồi khôi phục được hiệu điện thế và dòng qua từng điện trở. Bài sau gặp mạch cầu không thể gộp tuần tự; điều kiện cân bằng hoặc hệ phương trình sẽ thay thế.