Bài học

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định đúng miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng $ax+by \le c$ (hoặc $\ge$ , $<$ , $>$ ) trên mặt phẳng tọa độ Oxy: vẽ được đường thẳng biên, biết chọn điểm thử để xác định đúng nửa mặt phẳng chứa nghiệm, và đọc được ý nghĩa thực tế của miền nghiệm trong một tình huống quen thuộc như chi tiêu có giới hạn.

Sau bài này, em xác định đúng miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng $ax+by \le c$ (hoặc $\ge$, $<$, $>$) trên mặt phẳng tọa độ Oxy: vẽ được đường thẳng biên, biết chọn điểm thử để xác định đúng nửa mặt phẳng chứa nghiệm, và đọc được ý nghĩa thực tế của miền nghiệm trong một tình huống quen thuộc như chi tiêu có giới hạn.

Kiến thức nền cần nhớ

Từ lớp 9, em đã quen vẽ đồ thị hàm số bậc nhất $y=ax+b$ trên hệ trục tọa độ Oxy: chọn hai điểm, nối chúng thành một đường thẳng (prior-grade review). Ở chương Mệnh đề và Tập hợp ngay trước bài này, em cũng đã làm việc với khoảng, đoạn và cách biểu diễn chúng trên trục số (same-grade bridge). Bài này ghép hai kỹ năng đó lại: thay vì tìm một đường thẳng đi qua các điểm thỏa mãn một đẳng thức, ta tìm toàn bộ một vùng trên mặt phẳng — gồm vô số điểm — thỏa mãn một bất đẳng thức.

Khởi động

Một quán nước nhỏ bán bánh ngọt giá 20 nghìn đồng một cái và nước ép giá 10 nghìn đồng một ly. Em có đúng 100 nghìn đồng. Gọi x là số bánh, y là số ly nước ép em định mua. Có bao nhiêu cặp (x;y) sao cho em không bị thiếu tiền? Liệt kê từng cặp thì rất dài, nhưng vẽ một hình thì chỉ mất một phút — đó là điều bài học này chỉ cho em.

Kiến thức trọng tâm

Một bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ có dạng $ax+by \le c$ (hoặc $ax+by \ge c$ , $ax+by<c$ , $ax+by>c$ ), trong đó $a, b$ không đồng thời bằng 0. Một cặp số $(x_0;y_0)$ là một nghiệm của bất phương trình nếu khi thay vào ta được một khẳng định đúng. Vì có vô số cặp số như vậy, tập hợp tất cả các nghiệm được gọi là miền nghiệm, và ta biểu diễn nó bằng một hình trên mặt phẳng tọa độ thay vì liệt kê từng điểm.

Một bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ có dạng $ax+by \le c$ (hoặc $ax+by \ge c$, $ax+by<c$, $ax+by>c$), trong đó $a, b$ không đồng thời bằng 0. Một cặp số $(x_0;y_0)$ là một nghiệm của bất phương trình nếu khi thay vào ta được một khẳng định đúng. Vì có vô số cặp số như vậy, tập hợp tất cả các nghiệm được gọi là miền nghiệm, và ta biểu diễn nó bằng một hình trên mặt phẳng tọa độ thay vì liệt kê từng điểm.

Cách xác định miền nghiệm của $ax+by\le c$ gồm ba bước. Bước một, vẽ đường thẳng biên $\Delta: ax+by=c$ — đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa. Bước hai, chọn một điểm thử không nằm trên $\Delta$ , thường là gốc tọa độ $O(0;0)$ nếu $\Delta$ không đi qua $O$ , vì tính toán ở đó luôn đơn giản nhất. Bước ba, thay tọa độ điểm thử vào vế trái bất phương trình: nếu khẳng định đúng thì nửa mặt phẳng chứa điểm thử chính là miền nghiệm; nếu sai thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng còn lại. Với dấu $\le$ hoặc $\ge$ , đường thẳng biên vẽ nét liền vì các điểm trên $\Delta$ cũng là nghiệm; với dấu $<$ hoặc $>$ , đường thẳng biên vẽ nét đứt vì bản thân $\Delta$ không thuộc miền nghiệm.

Cách xác định miền nghiệm của $ax+by\le c$ gồm ba bước. Bước một, vẽ đường thẳng biên $\Delta: ax+by=c$ — đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa. Bước hai, chọn một điểm thử không nằm trên $\Delta$, thường là gốc tọa độ $O(0;0)$ nếu $\Delta$ không đi qua $O$, vì tính toán ở đó luôn đơn giản nhất. Bước ba, thay tọa độ điểm thử vào vế trái bất phương trình: nếu khẳng định đúng thì nửa mặt phẳng chứa điểm thử chính là miền nghiệm; nếu sai thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng còn lại. Với dấu $\le$ hoặc $\ge$, đường thẳng biên vẽ nét liền vì các điểm trên $\Delta$ cũng là nghiệm; với dấu $<$ hoặc $>$, đường thẳng biên vẽ nét đứt vì bản thân $\Delta$ không thuộc miền nghiệm.

Một bất phương trình bậc nhất hai ẩn cũng có thể chỉ chứa một biến, khi hệ số của biến kia bằng 0 — ví dụ $x\le3$ có đường biên là đường thẳng đứng $x=3$ , hoặc $y\ge2$ có đường biên là đường thẳng ngang $y=2$ . Ba bước xác định miền nghiệm vẫn giữ nguyên: chỉ có hình dạng đường biên đặc biệt hơn — song song với một trong hai trục tọa độ thay vì xiên. Sở dĩ đề bài luôn nói rõ $a, b$ không đồng thời bằng 0 là để tránh trường hợp suy biến này biến mất hoàn toàn: nếu cả $a$ và $b$ đều bằng 0 thì vế trái luôn là 0, bất phương trình không còn phụ thuộc vào $x, y$ nữa và mất hết ý nghĩa hình học.

Một bất phương trình bậc nhất hai ẩn cũng có thể chỉ chứa một biến, khi hệ số của biến kia bằng 0 — ví dụ $x\le3$ có đường biên là đường thẳng đứng $x=3$, hoặc $y\ge2$ có đường biên là đường thẳng ngang $y=2$. Ba bước xác định miền nghiệm vẫn giữ nguyên: chỉ có hình dạng đường biên đặc biệt hơn — song song với một trong hai trục tọa độ thay vì xiên. Sở dĩ đề bài luôn nói rõ $a, b$ không đồng thời bằng 0 là để tránh trường hợp suy biến này biến mất hoàn toàn: nếu cả $a$ và $b$ đều bằng 0 thì vế trái luôn là 0, bất phương trình không còn phụ thuộc vào $x, y$ nữa và mất hết ý nghĩa hình học.

Ví dụ

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình

2x+y\le4

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $2x+y\le4$

1
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $2x+y\le4$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $2x+y\le4$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
2
Ta có đường thẳng biên $\Delta: 2x+y=4$ . Với $x=0$ thì $y=4$ , được điểm $(0;4)$ ; với $y=0$ thì $x=2$ , được điểm $(2;0)$ . Nối hai điểm này ta được $\Delta$ , vẽ nét liền vì dấu bất phương trình là $\le$ .
Ta có đường thẳng biên $\Delta: 2x+y=4$. Với $x=0$ thì $y=4$, được điểm $(0;4)$; với $y=0$ thì $x=2$, được điểm $(2;0)$. Nối hai điểm này ta được $\Delta$, vẽ nét liền vì dấu bất phương trình là $\le$.
3
$\Delta$ không đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ nên ta chọn $O$ làm điểm thử.
$\Delta$ không đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ nên ta chọn $O$ làm điểm thử.
4
Thay $x=0, y=0$ vào vế trái: $2(0)+0=0\le4$ , đúng. Do đó $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm.
Thay $x=0, y=0$ vào vế trái: $2(0)+0=0\le4$, đúng. Do đó $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm.
5
Vậy miền nghiệm của $2x+y\le4$ là nửa mặt phẳng bờ $\Delta$ chứa gốc tọa độ $O$ , kể cả đường thẳng $\Delta$ .
Vậy miền nghiệm của $2x+y\le4$ là nửa mặt phẳng bờ $\Delta$ chứa gốc tọa độ $O$, kể cả đường thẳng $\Delta$.

Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ Δ chứa gốc O, kể cả biên.

Ví dụ

Bài toán chi tiêu ở quán nước

1
Bánh ngọt giá 20 nghìn đồng một cái, nước ép giá 10 nghìn đồng một ly. Gọi $x$ là số bánh, $y$ là số ly nước ép em định mua ( $x, y \ge 0$ ). Viết bất phương trình biểu diễn số tiền em có thể chi với 100 nghìn đồng, rồi biểu diễn miền nghiệm.
Bánh ngọt giá 20 nghìn đồng một cái, nước ép giá 10 nghìn đồng một ly. Gọi $x$ là số bánh, $y$ là số ly nước ép em định mua ($x, y \ge 0$). Viết bất phương trình biểu diễn số tiền em có thể chi với 100 nghìn đồng, rồi biểu diễn miền nghiệm.
2
Tổng số tiền phải trả là $20x+10y$ (nghìn đồng). Vì em có tối đa 100 nghìn đồng nên $20x+10y\le100$ . Chia cả hai vế cho 10 — một số dương nên chiều bất phương trình không đổi — ta được $2x+y\le10$ .
Tổng số tiền phải trả là $20x+10y$ (nghìn đồng). Vì em có tối đa 100 nghìn đồng nên $20x+10y\le100$. Chia cả hai vế cho 10 — một số dương nên chiều bất phương trình không đổi — ta được $2x+y\le10$.
3
Đường thẳng biên $\Delta': 2x+y=10$ đi qua $(0;10)$ và $(5;0)$ .
Đường thẳng biên $\Delta': 2x+y=10$ đi qua $(0;10)$ và $(5;0)$.
4
$\Delta'$ không đi qua $O$ nên thay $x=0, y=0$ vào vế trái: $2(0)+0=0\le10$ , đúng. Vậy $O$ thuộc miền nghiệm của $2x+y\le10$ .
$\Delta'$ không đi qua $O$ nên thay $x=0, y=0$ vào vế trái: $2(0)+0=0\le10$, đúng. Vậy $O$ thuộc miền nghiệm của $2x+y\le10$.
5
Miền nghiệm của $2x+y\le10$ là nửa mặt phẳng bờ $\Delta'$ chứa $O$ . Vì $x, y$ là số bánh và số ly nên còn phải không âm — cặp $(x;y)$ em thực sự có thể mua nằm trong phần miền nghiệm này thuộc góc phần tư thứ nhất, điều mà bài tiếp theo sẽ xử lý khi ghép thêm các bất phương trình $x\ge0$ , $y\ge0$ .
Miền nghiệm của $2x+y\le10$ là nửa mặt phẳng bờ $\Delta'$ chứa $O$. Vì $x, y$ là số bánh và số ly nên còn phải không âm — cặp $(x;y)$ em thực sự có thể mua nằm trong phần miền nghiệm này thuộc góc phần tư thứ nhất, điều mà bài tiếp theo sẽ xử lý khi ghép thêm các bất phương trình $x\ge0$, $y\ge0$.

Số bánh và số ly nước ép mua được trong thực tế còn phải thoả x≥0, y≥0.

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: khi đường thẳng biên đi qua đúng gốc tọa độ $O$ — chẳng hạn bất phương trình $3x-y\ge0$ — không thể chọn $O$ làm điểm thử, vì vế trái tại $O$ luôn bằng 0 và không giúp phân biệt hai nửa mặt phẳng. Khi $\Delta$ đi qua $O$ , hãy chọn một điểm khác không thuộc $\Delta$ , chẳng hạn $(1;0)$ hoặc $(0;1)$ , miễn là thay vào không cho kết quả bằng 0.

Sai lầm thường gặp: khi đường thẳng biên đi qua đúng gốc tọa độ $O$ — chẳng hạn bất phương trình $3x-y\ge0$ — không thể chọn $O$ làm điểm thử, vì vế trái tại $O$ luôn bằng 0 và không giúp phân biệt hai nửa mặt phẳng. Khi $\Delta$ đi qua $O$, hãy chọn một điểm khác không thuộc $\Delta$, chẳng hạn $(1;0)$ hoặc $(0;1)$, miễn là thay vào không cho kết quả bằng 0.

Tóm lại, miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn là một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng biên, xác định bằng ba bước: vẽ đường biên, chọn điểm thử, kiểm tra điểm thử. Dấu $\le, \ge$ cho biên nét liền — thuộc miền nghiệm; dấu $<, >$ cho biên nét đứt — không thuộc miền nghiệm.

Trong thực tế, một tình huống thường bị ràng buộc bởi nhiều điều kiện cùng lúc — như bài toán quán nước còn cần thêm $x\ge0$ và $y\ge0$ . Bài tiếp theo ghép nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn lại thành một hệ, và miền nghiệm khi đó là phần giao của tất cả các nửa mặt phẳng — một đa giác có các đỉnh mà em phải biết cách tìm chính xác.

Trong thực tế, một tình huống thường bị ràng buộc bởi nhiều điều kiện cùng lúc — như bài toán quán nước còn cần thêm $x\ge0$ và $y\ge0$. Bài tiếp theo ghép nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn lại thành một hệ, và miền nghiệm khi đó là phần giao của tất cả các nửa mặt phẳng — một đa giác có các đỉnh mà em phải biết cách tìm chính xác.