Bài học

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định đúng miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn — phần giao của các nửa mặt phẳng — và tìm chính xác tọa độ từng đỉnh của miền đa giác đó bằng cách giải hệ hai phương trình đường thẳng, thay vì đoán trên hình vẽ.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em ba bước xác định miền nghiệm của một bất phương trình đơn lẻ — một nửa mặt phẳng (same-grade bridge). Em cũng đã biết giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số từ lớp 9 (prior-grade review); kỹ năng đó quay lại nguyên vẹn trong bài này, chỉ khác là hai phương trình cần giải bây giờ chính là hai đường thẳng biên của hai bất phương trình khác nhau.

Khởi động

Một xưởng may nhận đặt hàng áo và quần. Xưởng chỉ có một lượng vải và một số giờ công nhất định mỗi ngày — hai giới hạn phải thỏa mãn đồng thời, không phải chỉ một. Nếu vẽ riêng từng giới hạn thì được hai nửa mặt phẳng khác nhau; số lượng áo, quần thực tế xưởng có thể may nằm ở đâu trên hình?

Kiến thức trọng tâm

Một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một tập hợp gồm từ hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn trở lên. Một cặp $(x_0;y_0)$ là nghiệm của hệ nếu nó là nghiệm của đồng thời tất cả các bất phương trình trong hệ. Vì miền nghiệm của mỗi bất phương trình là một nửa mặt phẳng, miền nghiệm của cả hệ chính là phần giao nhau của tất cả các nửa mặt phẳng đó — phần mặt phẳng thỏa mãn mọi điều kiện cùng lúc.

Khi phần giao này bị giới hạn bởi nhiều đường thẳng biên, nó thường có dạng một đa giác (nếu bị chặn) hoặc một miền không bị chặn. Các đỉnh của đa giác này là những điểm đặc biệt: tại đó, hai đường thẳng biên cắt nhau. Để tìm một đỉnh, ta giải hệ hai phương trình của hai đường thẳng biên tương ứng — đúng kỹ thuật em đã học ở lớp 9. Nhưng không phải giao điểm của hai đường thẳng biên bất kỳ cũng là đỉnh của miền nghiệm: sau khi tìm được giao điểm, phải thay tọa độ vào tất cả các bất phương trình còn lại trong hệ để kiểm tra nó có thật sự nằm trong miền nghiệm hay không. Bỏ qua bước kiểm tra này là sai lầm phổ biến nhất khi tìm đỉnh của một hệ có từ ba bất phương trình trở lên.

Một tính chất quan trọng của miền nghiệm này là nó luôn lồi: nối hai điểm bất kỳ trong miền nghiệm bằng một đoạn thẳng, đoạn thẳng đó nằm trọn trong miền, không bao giờ đi ra ngoài rồi quay lại. Tính lồi có được vì miền nghiệm là giao của các nửa mặt phẳng, mà mỗi nửa mặt phẳng tự nó đã là một miền lồi, và giao của các miền lồi luôn là một miền lồi. Đây chính là lý do bài học sau có thể khẳng định chắc chắn: giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm bậc nhất trên miền này luôn đạt được tại một đỉnh, chứ không phải ở một điểm nào đó nằm sâu bên trong miền.

Ví dụ

Tìm miền nghiệm và các đỉnh của hệ

\{x\ge0; y\ge0; x+y\le4\}

Tìm miền nghiệm và các đỉnh của hệ $\{x\ge0; y\ge0; x+y\le4\}$

1
Tìm miền nghiệm và các đỉnh của hệ bất phương trình $\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\\x+y\le4\end{cases}$ .
Tìm miền nghiệm và các đỉnh của hệ bất phương trình $\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\\x+y\le4\end{cases}$.
2
Ta có ba đường thẳng biên: trục $Oy$ ( $x=0$ ), trục $Ox$ ( $y=0$ ), và $\Delta: x+y=4$ (qua $(4;0)$ và $(0;4)$ ). Thay điểm thử $(1;1)$ vào $x+y$ được $2\le4$ , đúng, nên miền nghiệm của $x+y\le4$ là nửa mặt phẳng chứa $(1;1)$ .
Ta có ba đường thẳng biên: trục $Oy$ ($x=0$), trục $Ox$ ($y=0$), và $\Delta: x+y=4$ (qua $(4;0)$ và $(0;4)$). Thay điểm thử $(1;1)$ vào $x+y$ được $2\le4$, đúng, nên miền nghiệm của $x+y\le4$ là nửa mặt phẳng chứa $(1;1)$.
3
Xét ba cặp đường biên kề nhau. Cặp $x=0$ và $y=0$ cho giao điểm $(0;0)$ . Cặp $y=0$ và $x+y=4$ : thế $y=0$ vào $x+y=4$ được $x=4$ , cho điểm $(4;0)$ . Cặp $x=0$ và $x+y=4$ : thế $x=0$ được $y=4$ , cho điểm $(0;4)$ .
Xét ba cặp đường biên kề nhau. Cặp $x=0$ và $y=0$ cho giao điểm $(0;0)$. Cặp $y=0$ và $x+y=4$: thế $y=0$ vào $x+y=4$ được $x=4$, cho điểm $(4;0)$. Cặp $x=0$ và $x+y=4$: thế $x=0$ được $y=4$, cho điểm $(0;4)$.
4
Cả ba điểm $(0;0), (4;0), (0;4)$ đều có $x\ge0$ và $y\ge0$ , đồng thời tổng tọa độ đều $\le4$ — mỗi điểm đều thỏa mãn hai bất phương trình mà nó không trực tiếp nằm trên biên. Vậy cả ba đều là đỉnh thật sự của miền nghiệm.
Cả ba điểm $(0;0), (4;0), (0;4)$ đều có $x\ge0$ và $y\ge0$, đồng thời tổng tọa độ đều $\le4$ — mỗi điểm đều thỏa mãn hai bất phương trình mà nó không trực tiếp nằm trên biên. Vậy cả ba đều là đỉnh thật sự của miền nghiệm.
5
Miền nghiệm của hệ là tam giác có ba đỉnh $(0;0), (4;0), (0;4)$ , kể cả biên vì cả ba bất phương trình đều mang dấu $\ge$ hoặc $\le$ .
Miền nghiệm của hệ là tam giác có ba đỉnh $(0;0), (4;0), (0;4)$, kể cả biên vì cả ba bất phương trình đều mang dấu $\ge$ hoặc $\le$.

Miền nghiệm là tam giác OAB, các đỉnh tìm được bằng cách giải từng cặp đường biên.

Ví dụ

Tìm các đỉnh của hệ

\{x\ge0; y\ge0; x+y\le6; x\le4\}

Tìm các đỉnh của hệ $\{x\ge0; y\ge0; x+y\le6; x\le4\}$

1
Tìm miền nghiệm và các đỉnh của hệ $\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\\x+y\le6\\x\le4\end{cases}$ .
Tìm miền nghiệm và các đỉnh của hệ $\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\\x+y\le6\\x\le4\end{cases}$.
2
Hệ có bốn đường biên: $x=0$ , $y=0$ , $x+y=6$ , $x=4$ . Xét các cặp đường biên kề nhau: $(x=0, y=0)$ cho $(0;0)$ ; $(y=0, x+y=6)$ cho $(6;0)$ ; $(x+y=6, x=4)$ : thế $x=4$ được $y=2$ , cho $(4;2)$ ; $(x=4, y=0)$ cho $(4;0)$ ; $(x=0, x+y=6)$ cho $(0;6)$ .
Hệ có bốn đường biên: $x=0$, $y=0$, $x+y=6$, $x=4$. Xét các cặp đường biên kề nhau: $(x=0, y=0)$ cho $(0;0)$; $(y=0, x+y=6)$ cho $(6;0)$; $(x+y=6, x=4)$: thế $x=4$ được $y=2$, cho $(4;2)$; $(x=4, y=0)$ cho $(4;0)$; $(x=0, x+y=6)$ cho $(0;6)$.
3
Ta có $(6;0)$ : thay vào $x\le4$ được $6\le4$ , sai — $(6;0)$ không thuộc miền nghiệm nên bị loại, dù nó là giao điểm hợp lệ của $y=0$ và $x+y=6$ . Bốn điểm còn lại đều thỏa mãn các bất phương trình còn lại: $(0;0)$ , $(4;0)$ , $(4;2)$ , $(0;6)$ .
Ta có $(6;0)$: thay vào $x\le4$ được $6\le4$, sai — $(6;0)$ không thuộc miền nghiệm nên bị loại, dù nó là giao điểm hợp lệ của $y=0$ và $x+y=6$. Bốn điểm còn lại đều thỏa mãn các bất phương trình còn lại: $(0;0)$, $(4;0)$, $(4;2)$, $(0;6)$.
4
Miền nghiệm là tứ giác có bốn đỉnh $(0;0), (4;0), (4;2), (0;6)$ . Ví dụ này cho thấy vì sao bước kiểm tra ở trên không thể bỏ qua: nếu chỉ giải hệ hai đường thẳng mà không kiểm tra lại, ta sẽ nhầm $(6;0)$ — một điểm nằm ngoài miền nghiệm — thành một đỉnh thật.
Miền nghiệm là tứ giác có bốn đỉnh $(0;0), (4;0), (4;2), (0;6)$. Ví dụ này cho thấy vì sao bước kiểm tra ở trên không thể bỏ qua: nếu chỉ giải hệ hai đường thẳng mà không kiểm tra lại, ta sẽ nhầm $(6;0)$ — một điểm nằm ngoài miền nghiệm — thành một đỉnh thật.

Đường thẳng x=4 cắt bớt một góc của tam giác ban đầu, biến nó thành tứ giác bốn đỉnh.

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: khi hệ có từ ba đường biên trở lên, nhiều bạn giải xong một cặp phương trình là kết luận ngay đó là đỉnh, mà quên thay tọa độ vào các bất phương trình còn lại. Ví dụ $(6;0)$ ở trên là nghiệm đúng của $y=0$ và $x+y=6$ , nhưng lại vi phạm $x\le4$ — nó không phải đỉnh của miền nghiệm. Luôn kiểm tra một giao điểm với TẤT CẢ các bất phương trình chưa dùng đến trước khi công nhận nó là đỉnh.

Sai lầm thường gặp: khi hệ có từ ba đường biên trở lên, nhiều bạn giải xong một cặp phương trình là kết luận ngay đó là đỉnh, mà quên thay tọa độ vào các bất phương trình còn lại. Ví dụ $(6;0)$ ở trên là nghiệm đúng của $y=0$ và $x+y=6$, nhưng lại vi phạm $x\le4$ — nó không phải đỉnh của miền nghiệm. Luôn kiểm tra một giao điểm với TẤT CẢ các bất phương trình chưa dùng đến trước khi công nhận nó là đỉnh.

Tóm lại, miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là phần giao của các nửa mặt phẳng tương ứng, và các đỉnh của miền đa giác đó tìm được bằng cách giải hệ hai phương trình đường biên — nhưng mỗi giao điểm tìm được đều phải kiểm tra lại với các bất phương trình còn lại trước khi công nhận là đỉnh thật.

Bây giờ em đã biết vẽ miền nghiệm và tìm đúng các đỉnh của nó. Bài tiếp theo trả lời một câu hỏi thực tế hơn: trong tất cả các điểm của miền nghiệm — có thể là vô số điểm — điểm nào cho một đại lượng nào đó (như lợi nhuận) lớn nhất hoặc nhỏ nhất? Câu trả lời hóa ra chỉ nằm ở các đỉnh mà em vừa học cách tìm.