Bài học

Bất phương trình tích và bất phương trình chứa nhiều tam thức

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em lập được bảng xét dấu kết hợp cho một tích (hoặc thương) của nhiều nhị thức và tam thức, rồi từ đó đọc ra tập nghiệm của bất phương trình dạng tích.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở lớp dưới, em đã biết quy tắc dấu của một tích: hai số cùng dấu nhân với nhau cho tích dương, hai số trái dấu cho tích âm (prior-grade review). Hai bài trước cho em cách xét dấu của MỘT tam thức. Bài này ghép hai điều đó lại: khi một biểu thức là tích của NHIỀU tam thức và nhị thức, làm sao xét dấu toàn bộ tích?

Khởi động

Biểu thức $(x-1)(x^2-4)$ là tích của một nhị thức và một tam thức. Tổng số nghiệm của tất cả các nhân tử là bao nhiêu, và các nghiệm đó chia trục số $Ox$ thành bao nhiêu khoảng?

Kiến thức trọng tâm

Với một tích nhiều nhân tử bậc nhất hoặc bậc hai, phương pháp chung gồm bốn bước: đưa mỗi tam thức bậc hai về dạng tích các nhân tử bậc nhất nếu có thể, rồi tìm nghiệm của TỪNG nhân tử; gom tất cả các nghiệm đó lại và sắp xếp theo thứ tự tăng dần trên một trục số duy nhất; xét dấu của biểu thức tại một điểm đại diện trong mỗi khoảng do các nghiệm tạo ra; và cuối cùng đọc lại toàn bộ bảng dấu để kết luận tập nghiệm đúng theo yêu cầu của đề.

Bước xét dấu tại một điểm đại diện dùng được vì trong cùng một khoảng, không nhân tử nào đổi dấu — nếu nó đổi dấu thì nghiệm của nhân tử đó đã nằm NGAY GIỮA khoảng, mâu thuẫn với cách khoảng được xác định (các đầu mút của khoảng chính là toàn bộ nghiệm đã gom). Vì vậy chỉ cần thử một điểm bất kỳ trong khoảng là biết dấu của cả khoảng, không cần thử mọi điểm.

Một kỹ thuật đáng nhớ: nếu một tam thức có $\Delta<0$ , nó cùng dấu với hệ số $a$ tại MỌI $x$ (theo định lí của Bài 1) — nghĩa là nhân tử này không bao giờ đổi dấu và không góp thêm nghiệm nào vào bảng xét dấu chung. Khi đó có thể bỏ hẳn nhân tử này ra khỏi bảng nếu nó luôn dương, hoặc chỉ cần đảo chiều bất phương trình đúng một lần nếu nó luôn âm — việc xét dấu tích rút gọn về xét dấu phần còn lại, đơn giản hơn hẳn.

Một kỹ thuật đáng nhớ: nếu một tam thức có $\Delta<0$, nó cùng dấu với hệ số $a$ tại MỌI $x$ (theo định lí của Bài 1) — nghĩa là nhân tử này không bao giờ đổi dấu và không góp thêm nghiệm nào vào bảng xét dấu chung. Khi đó có thể bỏ hẳn nhân tử này ra khỏi bảng nếu nó luôn dương, hoặc chỉ cần đảo chiều bất phương trình đúng một lần nếu nó luôn âm — việc xét dấu tích rút gọn về xét dấu phần còn lại, đơn giản hơn hẳn.

Đồ thị đổi dấu lần lượt tại từng nghiệm — đúng như bảng xét dấu ba nhân tử trong Ví dụ 1.

Khoảng (−2;1) trên trục số khớp đúng đoạn đồ thị nằm trên trục Ox ở hình bên trên; biểu thức còn dương trên (2;+∞), phần vượt ra ngoài đoạn trục số vẽ ở đây.

Ví dụ

Bất phương trình tích ba nhân tử

1
Giải bất phương trình $(x-1)(x^2-4)>0$ .
Giải bất phương trình $(x-1)(x^2-4)>0$.
2
Ta có $x^2-4=(x-2)(x+2)$ , nên biểu thức viết lại thành $(x-1)(x-2)(x+2)$ , có ba nghiệm phân biệt $-2,1,2$ .
Ta có $x^2-4=(x-2)(x+2)$, nên biểu thức viết lại thành $(x-1)(x-2)(x+2)$, có ba nghiệm phân biệt $-2,1,2$.
3
Sắp ba nghiệm theo thứ tự $-2<1<2$ , chia trục số thành bốn khoảng. Thử $x=-3$ : $(-4)(-5)(-1)=-20<0$ . Thử $x=0$ : $(-1)(-2)(2)=4>0$ . Thử $x=1{,}5$ : $(0{,}5)(-0{,}5)(3{,}5)=-0{,}875<0$ . Thử $x=3$ : $(2)(1)(5)=10>0$ .
Sắp ba nghiệm theo thứ tự $-2<1<2$, chia trục số thành bốn khoảng. Thử $x=-3$: $(-4)(-5)(-1)=-20<0$. Thử $x=0$: $(-1)(-2)(2)=4>0$. Thử $x=1{,}5$: $(0{,}5)(-0{,}5)(3{,}5)=-0{,}875<0$. Thử $x=3$: $(2)(1)(5)=10>0$.
4
Biểu thức dương trên $(-2;1)$ và trên $(2;+\infty)$ . Vậy tập nghiệm là $S=(-2;1)\cup(2;+\infty)$ .
Biểu thức dương trên $(-2;1)$ và trên $(2;+\infty)$. Vậy tập nghiệm là $S=(-2;1)\cup(2;+\infty)$.
5
$x=0\in(-2;1)$ : $(0-1)(0-4)=(-1)(-4)=4>0$ , khớp. $x=3\in(2;+\infty)$ : $(3-1)(9-4)=2\times5=10>0$ , khớp.
$x=0\in(-2;1)$: $(0-1)(0-4)=(-1)(-4)=4>0$, khớp. $x=3\in(2;+\infty)$: $(3-1)(9-4)=2\times5=10>0$, khớp.

Ví dụ

Nhân tử luôn dương — rút gọn bài toán

1
Giải bất phương trình $(x^2+1)(x-3)\le0$ .
Giải bất phương trình $(x^2+1)(x-3)\le0$.
2
$x^2+1$ có $a=1>0,\Delta=0-4=-4<0$ , nên $x^2+1>0$ với mọi $x$ : nhân tử này không góp nghiệm nào và không đổi dấu.
$x^2+1$ có $a=1>0,\Delta=0-4=-4<0$, nên $x^2+1>0$ với mọi $x$: nhân tử này không góp nghiệm nào và không đổi dấu.
3
Vì $x^2+1$ luôn dương, dấu của cả tích chỉ phụ thuộc dấu của nhân tử còn lại: $(x^2+1)(x-3)\le0 \iff x-3\le0 \iff x\le3$ .
Vì $x^2+1$ luôn dương, dấu của cả tích chỉ phụ thuộc dấu của nhân tử còn lại: $(x^2+1)(x-3)\le0 \iff x-3\le0 \iff x\le3$.
4
Vậy $S=(-\infty;3]$ .
Vậy $S=(-\infty;3]$.
5
$x=3$ : $(9+1)(0)=0$ , thỏa $\le0$ , đúng biên. $x=4$ : $(17)(1)=17>0$ , không thỏa, đúng vì $4\notin S$ .
$x=3$: $(9+1)(0)=0$, thỏa $\le0$, đúng biên. $x=4$: $(17)(1)=17>0$, không thỏa, đúng vì $4\notin S$.

Một quan sát hữu ích khi mọi nghiệm đều là nghiệm đơn (như trong cả hai ví dụ trên): dấu của tích ĐỔI qua mỗi nghiệm khi đi từ khoảng này sang khoảng liền kề, vì đúng một nhân tử đổi dấu tại đó, còn các nhân tử khác giữ nguyên dấu trong lân cận đó. Nhờ vậy, sau khi biết dấu ở một khoảng bất kỳ (thường là khoảng ngoài cùng bên phải, nơi mọi nhân tử dương), em có thể suy luận dấu ở các khoảng còn lại bằng cách đổi dấu liên tiếp từ phải sang trái, không cần thử điểm ở mọi khoảng. Dù vậy, thử điểm trực tiếp — như đã làm ở hai ví dụ trên — vẫn là cách chắc chắn nhất để tránh nhầm lẫn, đặc biệt khi bài có nhân tử luôn dương xen giữa.

Phương pháp này không giới hạn ở ba hay bốn nhân tử — nó áp dụng cho tích của BAO NHIÊU nhân tử cũng được, miễn em tìm đúng và đủ nghiệm của từng nhân tử trước khi lập bảng. Điều duy nhất thay đổi khi số nhân tử tăng lên là số khoảng cần xét cũng tăng theo (đúng bằng số nghiệm phân biệt cộng $1$ ), chứ bản chất từng bước — phân tích, gom nghiệm, thử điểm, đọc bảng — vẫn y hệt. Đây cũng là lý do phương pháp xét dấu tích quan trọng hơn hẳn việc chỉ biết giải riêng lẻ từng loại bất phương trình: nó là công cụ DUY NHẤT cần nhớ cho mọi bài toán dạng tích, dù đề bài có hai, ba hay năm nhân tử.

Phương pháp này không giới hạn ở ba hay bốn nhân tử — nó áp dụng cho tích của BAO NHIÊU nhân tử cũng được, miễn em tìm đúng và đủ nghiệm của từng nhân tử trước khi lập bảng. Điều duy nhất thay đổi khi số nhân tử tăng lên là số khoảng cần xét cũng tăng theo (đúng bằng số nghiệm phân biệt cộng $1$), chứ bản chất từng bước — phân tích, gom nghiệm, thử điểm, đọc bảng — vẫn y hệt. Đây cũng là lý do phương pháp xét dấu tích quan trọng hơn hẳn việc chỉ biết giải riêng lẻ từng loại bất phương trình: nó là công cụ DUY NHẤT cần nhớ cho mọi bài toán dạng tích, dù đề bài có hai, ba hay năm nhân tử.

Ví dụ

Bất phương trình tích với bốn nhân tử

1
Giải bất phương trình $(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)<0$ .
Giải bất phương trình $(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)<0$.
2
Bốn nhân tử bậc nhất cho bốn nghiệm phân biệt: $-4,-2,1,3$ .
Bốn nhân tử bậc nhất cho bốn nghiệm phân biệt: $-4,-2,1,3$.
3
Sắp theo thứ tự $-4<-2<1<3$ , chia trục số thành năm khoảng. Thử $x=-5$ : $(-6)(-3)(-8)(-1)=144>0$ . Thử $x=-3$ : $(-4)(-1)(-6)(1)=-24<0$ . Thử $x=0$ : $(-1)(2)(-3)(4)=24>0$ . Thử $x=2$ : $(1)(4)(-1)(6)=-24<0$ . Thử $x=4$ : $(3)(6)(1)(8)=144>0$ .
Sắp theo thứ tự $-4<-2<1<3$, chia trục số thành năm khoảng. Thử $x=-5$: $(-6)(-3)(-8)(-1)=144>0$. Thử $x=-3$: $(-4)(-1)(-6)(1)=-24<0$. Thử $x=0$: $(-1)(2)(-3)(4)=24>0$. Thử $x=2$: $(1)(4)(-1)(6)=-24<0$. Thử $x=4$: $(3)(6)(1)(8)=144>0$.
4
Biểu thức âm trên $(-4;-2)$ và trên $(1;3)$ — đúng như quy luật đổi dấu liên tiếp vừa nêu, vì bốn nghiệm đều là nghiệm đơn. Vậy $S=(-4;-2)\cup(1;3)$ .
Biểu thức âm trên $(-4;-2)$ và trên $(1;3)$ — đúng như quy luật đổi dấu liên tiếp vừa nêu, vì bốn nghiệm đều là nghiệm đơn. Vậy $S=(-4;-2)\cup(1;3)$.
5
$x=-3\in(-4;-2)$ : giá trị $-24<0$ , khớp. $x=2\in(1;3)$ : giá trị $-24<0$ , khớp. Hai khoảng còn lại ( $x<-4$ , $-2<x<1$ , $x>3$ ) đều cho giá trị dương, đúng như bảng dấu và đúng như quy luật đổi dấu liên tiếp qua bốn nghiệm đơn.
$x=-3\in(-4;-2)$: giá trị $-24<0$, khớp. $x=2\in(1;3)$: giá trị $-24<0$, khớp. Hai khoảng còn lại ($x<-4$, $-2<x<1$, $x>3$) đều cho giá trị dương, đúng như bảng dấu và đúng như quy luật đổi dấu liên tiếp qua bốn nghiệm đơn.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp nhất là quên phân tích $x^2-4$ thành $(x-2)(x+2)$ rồi lập bảng thiếu một nghiệm — dẫn tới bảng dấu chỉ có hai khoảng thay vì bốn. Sai lầm khác là không nhận ra nhân tử luôn dương (như $x^2+1$ ) nên vẫn cố tính $\Delta$ và tìm nghiệm cho nó — mất công mà không cần thiết, chỉ cần khẳng định nó luôn dương rồi bỏ qua trong bảng dấu.

Sai lầm hay gặp nhất là quên phân tích $x^2-4$ thành $(x-2)(x+2)$ rồi lập bảng thiếu một nghiệm — dẫn tới bảng dấu chỉ có hai khoảng thay vì bốn. Sai lầm khác là không nhận ra nhân tử luôn dương (như $x^2+1$) nên vẫn cố tính $\Delta$ và tìm nghiệm cho nó — mất công mà không cần thiết, chỉ cần khẳng định nó luôn dương rồi bỏ qua trong bảng dấu.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Bất phương trình tích: phân tích mọi tam thức thành nhân tử, gom hết nghiệm lên một trục số, xét dấu tại một điểm đại diện mỗi khoảng, rồi đọc tập nghiệm theo dấu đề bài. Nhân tử có $\Delta<0$ không đổi dấu — bỏ qua nó khỏi bảng (nếu luôn dương) hoặc đảo chiều bất phương trình một lần (nếu luôn âm).

Bài tiếp theo xử lý trường hợp biểu thức là một THƯƠNG thay vì tích — về bản chất vẫn cùng một bảng xét dấu, cùng một cách thử điểm đại diện, chỉ thêm đúng một ràng buộc mới: những giá trị làm mẫu số triệt tiêu không bao giờ được phép xuất hiện trong tập nghiệm, bất kể dấu bất phương trình yêu cầu gì.