Bài học

Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu đúng định lí về dấu của tam thức bậc hai, và từ dấu của $\Delta$ cùng dấu của hệ số $a$ , em lập được bảng xét dấu đầy đủ cho biểu thức $f(x) = ax^2 + bx + c$ tại mọi giá trị của $x$ .

Sau bài này, em phát biểu đúng định lí về dấu của tam thức bậc hai, và từ dấu của $\Delta$ cùng dấu của hệ số $a$, em lập được bảng xét dấu đầy đủ cho biểu thức $f(x) = ax^2 + bx + c$ tại mọi giá trị của $x$.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở Course 3 của khoá này, em đã vẽ đồ thị hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ : một parabol có đỉnh tại $\left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$ , bề lõm quay lên khi $a>0$ , quay xuống khi $a<0$ , và cắt trục hoành tại đúng những điểm mà phương trình $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm (same-grade bridge — dùng lại ngay bức tranh của Course 3). Bài này đặt một câu hỏi hơi khác: tại một điểm $x$ cụ thể bất kỳ, không cần vẽ cả đồ thị, làm sao biết ngay $f(x)$ dương hay âm?

Ở Course 3 của khoá này, em đã vẽ đồ thị hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$: một parabol có đỉnh tại $\left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$, bề lõm quay lên khi $a>0$, quay xuống khi $a<0$, và cắt trục hoành tại đúng những điểm mà phương trình $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm (same-grade bridge — dùng lại ngay bức tranh của Course 3). Bài này đặt một câu hỏi hơi khác: tại một điểm $x$ cụ thể bất kỳ, không cần vẽ cả đồ thị, làm sao biết ngay $f(x)$ dương hay âm?

Khởi động

Nhìn lại đồ thị $y = x^2 - 4x + 3$ đã vẽ ở Course 3: đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm, một đoạn đồ thị nằm dưới trục hoành, hai đoạn còn lại nằm trên. Không vẽ hình, chỉ dựa vào công thức, em có đoán được đoạn nào của trục $x$ ứng với phần đồ thị nằm dưới hay không?

Kiến thức trọng tâm

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng $f(x) = ax^2+bx+c$ với $a \ne 0$ . Dấu của $f(x)$ tại một giá trị $x$ được quyết định hoàn toàn bởi hai đại lượng: biệt thức $\Delta = b^2-4ac$ và hệ số $a$ . Định lí về dấu tam thức bậc hai phát biểu như sau.

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng $f(x) = ax^2+bx+c$ với $a \ne 0$. Dấu của $f(x)$ tại một giá trị $x$ được quyết định hoàn toàn bởi hai đại lượng: biệt thức $\Delta = b^2-4ac$ và hệ số $a$. Định lí về dấu tam thức bậc hai phát biểu như sau.

Khi $\Delta < 0$ , tam thức vô nghiệm — đồ thị không cắt trục hoành, nên toàn bộ đồ thị nằm hẳn về một phía của trục $Ox$ . Kết quả là $f(x)$ cùng dấu với $a$ tại mọi $x \in \mathbb{R}$ , không có ngoại lệ nào.

Khi $\Delta < 0$, tam thức vô nghiệm — đồ thị không cắt trục hoành, nên toàn bộ đồ thị nằm hẳn về một phía của trục $Ox$. Kết quả là $f(x)$ cùng dấu với $a$ tại mọi $x \in \mathbb{R}$, không có ngoại lệ nào.

Khi $\Delta = 0$ , tam thức có nghiệm kép $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ — đúng bằng hoành độ đỉnh. Đồ thị chỉ chạm trục hoành tại một điểm duy nhất rồi lại đi lên (nếu $a>0$ ) hoặc đi xuống (nếu $a<0$ ). Vậy $f(x)$ cùng dấu với $a$ tại mọi $x \ne x_0$ , còn $f(x_0)=0$ .

Khi $\Delta = 0$, tam thức có nghiệm kép $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ — đúng bằng hoành độ đỉnh. Đồ thị chỉ chạm trục hoành tại một điểm duy nhất rồi lại đi lên (nếu $a>0$) hoặc đi xuống (nếu $a<0$). Vậy $f(x)$ cùng dấu với $a$ tại mọi $x \ne x_0$, còn $f(x_0)=0$.

Khi $\Delta > 0$ , tam thức có hai nghiệm phân biệt $x_1 < x_2$ , tính theo công thức nghiệm quen thuộc. Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm này, nên đoạn đồ thị NẰM GIỮA hai nghiệm ở phía ngược với bề lõm, còn hai đoạn NẰM NGOÀI hai nghiệm ở phía cùng bề lõm. Cụ thể: $f(x)$ trái dấu với $a$ khi $x_1 < x < x_2$ , và $f(x)$ cùng dấu với $a$ khi $x < x_1$ hoặc $x > x_2$ .

Khi $\Delta > 0$, tam thức có hai nghiệm phân biệt $x_1 < x_2$, tính theo công thức nghiệm quen thuộc. Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm này, nên đoạn đồ thị NẰM GIỮA hai nghiệm ở phía ngược với bề lõm, còn hai đoạn NẰM NGOÀI hai nghiệm ở phía cùng bề lõm. Cụ thể: $f(x)$ trái dấu với $a$ khi $x_1 < x < x_2$, và $f(x)$ cùng dấu với $a$ khi $x < x_1$ hoặc $x > x_2$.

Vì sao ba trường hợp trên đúng? Nhìn từ đồ thị: khi $a>0$ , parabol có bề lõm quay lên, phần thấp nhất của nó nằm tại đỉnh. Nếu đỉnh đã nằm hẳn trên trục hoành (tung độ đỉnh $-\dfrac{\Delta}{4a}>0$ , tương đương $\Delta<0$ khi $a>0$ ), toàn bộ đồ thị nằm trên trục hoành, tức $f(x)>0$ với mọi $x$ . Nếu đỉnh nằm đúng trên trục hoành ( $\Delta=0$ ), đồ thị chỉ chạm trục tại một điểm. Nếu đỉnh nằm dưới trục hoành ( $\Delta>0$ ), đồ thị buộc phải cắt trục hoành tại hai điểm để rồi lại đi lên, và đoạn giữa hai điểm cắt đó chính là phần đồ thị nằm dưới trục — đúng bằng khoảng hai nghiệm. Khi $a<0$ , lập luận đối xứng hoàn toàn, chỉ đổi chiều bề lõm và đổi luôn kết luận về dấu.

Vì sao ba trường hợp trên đúng? Nhìn từ đồ thị: khi $a>0$, parabol có bề lõm quay lên, phần thấp nhất của nó nằm tại đỉnh. Nếu đỉnh đã nằm hẳn trên trục hoành (tung độ đỉnh $-\dfrac{\Delta}{4a}>0$, tương đương $\Delta<0$ khi $a>0$), toàn bộ đồ thị nằm trên trục hoành, tức $f(x)>0$ với mọi $x$. Nếu đỉnh nằm đúng trên trục hoành ($\Delta=0$), đồ thị chỉ chạm trục tại một điểm. Nếu đỉnh nằm dưới trục hoành ($\Delta>0$), đồ thị buộc phải cắt trục hoành tại hai điểm để rồi lại đi lên, và đoạn giữa hai điểm cắt đó chính là phần đồ thị nằm dưới trục — đúng bằng khoảng hai nghiệm. Khi $a<0$, lập luận đối xứng hoàn toàn, chỉ đổi chiều bề lõm và đổi luôn kết luận về dấu.

Trường hợp $\Delta=0$ còn có một cách viết gọn đáng nhớ: tam thức phân tích được thành $f(x)=a(x-x_0)^2$ với $x_0$ là nghiệm kép. Một bình phương nhân với hằng số $a$ luôn cùng dấu với $a$ , hoặc bằng $0$ khi đúng bằng $x_0$ — đây chính là lý do trực tiếp cho kết luận của định lí trong trường hợp này, không cần nhớ máy móc.

Trường hợp $\Delta=0$ còn có một cách viết gọn đáng nhớ: tam thức phân tích được thành $f(x)=a(x-x_0)^2$ với $x_0$ là nghiệm kép. Một bình phương nhân với hằng số $a$ luôn cùng dấu với $a$, hoặc bằng $0$ khi đúng bằng $x_0$ — đây chính là lý do trực tiếp cho kết luận của định lí trong trường hợp này, không cần nhớ máy móc.

Nhiều giáo viên tóm gọn trường hợp $\Delta>0$ bằng câu "trong trái, ngoài cùng": trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu $a$ , ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu $a$ . Câu ghi nhớ này chỉ đúng cho trường hợp $\Delta>0$ ; đừng áp dụng nó khi tam thức vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, vì khi đó chẳng có "trong" hay "ngoài" nghiệm nào cả.

Nhiều giáo viên tóm gọn trường hợp $\Delta>0$ bằng câu "trong trái, ngoài cùng": trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu $a$, ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu $a$. Câu ghi nhớ này chỉ đúng cho trường hợp $\Delta>0$; đừng áp dụng nó khi tam thức vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, vì khi đó chẳng có "trong" hay "ngoài" nghiệm nào cả.

Đồ thị và trục số dưới đây minh hoạ đúng ví dụ sẽ giải ngay sau: $f(x)=x^2-5x+6$ . Phần đồ thị nằm dưới trục hoành và cung nối hai nghiệm trên trục số cùng thể hiện một sự thật duy nhất — khoảng mà tam thức mang dấu trái với $a$ .

Đồ thị và trục số dưới đây minh hoạ đúng ví dụ sẽ giải ngay sau: $f(x)=x^2-5x+6$. Phần đồ thị nằm dưới trục hoành và cung nối hai nghiệm trên trục số cùng thể hiện một sự thật duy nhất — khoảng mà tam thức mang dấu trái với $a$.

Đồ thị minh hoạ Ví dụ 1: phần cong nằm dưới trục Ox đúng bằng khoảng (2; 3) — nơi tam thức mang dấu trái với a.

Trục số cho thấy chính xác khoảng (2;3) mà đồ thị bên trên nằm dưới trục hoành — hai hình vẽ mô tả cùng một sự thật theo hai cách.

Ví dụ

Xét dấu tam thức có hai nghiệm phân biệt

1
Xét dấu của tam thức $f(x) = x^2-5x+6$ .
Xét dấu của tam thức $f(x) = x^2-5x+6$.
2
Ta có $a=1, b=-5, c=6$ , nên $\Delta = (-5)^2-4 \times 1 \times 6 = 25-24=1>0$ . Suy ra $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\dfrac{5\pm 1}{2}$ , tức $x_1=2$ và $x_2=3$ .
Ta có $a=1, b=-5, c=6$, nên $\Delta = (-5)^2-4 \times 1 \times 6 = 25-24=1>0$. Suy ra $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\dfrac{5\pm 1}{2}$, tức $x_1=2$ và $x_2=3$.
3
Ta có $a=1>0$ và $\Delta>0$ . Theo định lí, $f(x)$ cùng dấu với $a$ (dương) khi $x<2$ hoặc $x>3$ , và trái dấu với $a$ (âm) khi $2<x<3$ .
Ta có $a=1>0$ và $\Delta>0$. Theo định lí, $f(x)$ cùng dấu với $a$ (dương) khi $x<2$ hoặc $x>3$, và trái dấu với $a$ (âm) khi $2<x<3$.
4
Vậy $f(x)>0$ với $x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$ , $f(x)<0$ với $x\in(2;3)$ , và $f(2)=f(3)=0$ .
Vậy $f(x)>0$ với $x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$, $f(x)<0$ với $x\in(2;3)$, và $f(2)=f(3)=0$.
5
Thay $x=0$ (ngoài khoảng nghiệm): $f(0)=6>0$ , đúng như kết luận cùng dấu $a$ . Thay $x=2{,}5$ (giữa hai nghiệm): $f(2{,}5)=6{,}25-12{,}5+6=-0{,}25<0$ , đúng như kết luận trái dấu $a$ .
Thay $x=0$ (ngoài khoảng nghiệm): $f(0)=6>0$, đúng như kết luận cùng dấu $a$. Thay $x=2{,}5$ (giữa hai nghiệm): $f(2{,}5)=6{,}25-12{,}5+6=-0{,}25<0$, đúng như kết luận trái dấu $a$.

Ví dụ

Xét dấu tam thức vô nghiệm

1
Xét dấu của tam thức $f(x)=-2x^2+3x-5$ .
Xét dấu của tam thức $f(x)=-2x^2+3x-5$.
2
Ta có $a=-2, b=3, c=-5$ , nên $\Delta = 3^2-4\times(-2)\times(-5)=9-40=-31<0$ .
Ta có $a=-2, b=3, c=-5$, nên $\Delta = 3^2-4\times(-2)\times(-5)=9-40=-31<0$.
3
Vì $\Delta<0$ , tam thức vô nghiệm, và $f(x)$ cùng dấu với $a$ tại mọi $x\in\mathbb{R}$ . Ở đây $a=-2<0$ .
Vì $\Delta<0$, tam thức vô nghiệm, và $f(x)$ cùng dấu với $a$ tại mọi $x\in\mathbb{R}$. Ở đây $a=-2<0$.
4
Vậy $f(x)<0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ , không có giá trị nào của $x$ làm $f(x)\ge 0$ .
Vậy $f(x)<0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$, không có giá trị nào của $x$ làm $f(x)\ge 0$.
5
Thay $x=0$ : $f(0)=-5<0$ . Thay $x=10$ : $f(10)=-200+30-5=-175<0$ . Cả hai đều âm, phù hợp với kết luận $f(x)$ luôn âm.
Thay $x=0$: $f(0)=-5<0$. Thay $x=10$: $f(10)=-200+30-5=-175<0$. Cả hai đều âm, phù hợp với kết luận $f(x)$ luôn âm.

Ví dụ

Xét dấu tam thức có nghiệm kép

1
Xét dấu của tam thức $f(x)=x^2-4x+4$ .
Xét dấu của tam thức $f(x)=x^2-4x+4$.
2
Ta có $a=1,b=-4,c=4$ , nên $\Delta=(-4)^2-4\times1\times4=16-16=0$ .
Ta có $a=1,b=-4,c=4$, nên $\Delta=(-4)^2-4\times1\times4=16-16=0$.
3
Vì $\Delta=0$ , tam thức có nghiệm kép $x_0=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2$ . Với $a=1>0$ , $f(x)$ cùng dấu với $a$ (dương) tại mọi $x\ne 2$ .
Vì $\Delta=0$, tam thức có nghiệm kép $x_0=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2$. Với $a=1>0$, $f(x)$ cùng dấu với $a$ (dương) tại mọi $x\ne 2$.
4
Vậy $f(x)>0$ với mọi $x\ne2$ , và $f(2)=0$ . Thực chất $f(x)=(x-2)^2$ , một bình phương nên không bao giờ âm — khớp hoàn toàn với định lí.
Vậy $f(x)>0$ với mọi $x\ne2$, và $f(2)=0$. Thực chất $f(x)=(x-2)^2$, một bình phương nên không bao giờ âm — khớp hoàn toàn với định lí.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là chỉ nhìn dấu của $\Delta$ mà quên xét thêm dấu của $a$ : khi $\Delta<0$ , nhiều em vội kết luận $f(x)>0$ với mọi $x$ mà không kiểm tra $a$ dương hay âm — như ở Ví dụ 2, $\Delta<0$ nhưng $f(x)$ lại luôn ÂM vì $a<0$ . Sai lầm khác là áp dụng câu "trong trái, ngoài cùng" ngay cả khi $\Delta\le0$ , trong khi câu ghi nhớ này chỉ có nghĩa khi tam thức có hai nghiệm phân biệt.

Sai lầm phổ biến nhất là chỉ nhìn dấu của $\Delta$ mà quên xét thêm dấu của $a$: khi $\Delta<0$, nhiều em vội kết luận $f(x)>0$ với mọi $x$ mà không kiểm tra $a$ dương hay âm — như ở Ví dụ 2, $\Delta<0$ nhưng $f(x)$ lại luôn ÂM vì $a<0$. Sai lầm khác là áp dụng câu "trong trái, ngoài cùng" ngay cả khi $\Delta\le0$, trong khi câu ghi nhớ này chỉ có nghĩa khi tam thức có hai nghiệm phân biệt.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Định lí dấu tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$ : nếu $\Delta<0$ , $f(x)$ cùng dấu $a$ với mọi $x$ ; nếu $\Delta=0$ , $f(x)$ cùng dấu $a$ với mọi $x\ne x_0=-\dfrac{b}{2a}$ ; nếu $\Delta>0$ với hai nghiệm $x_1<x_2$ , $f(x)$ trái dấu $a$ khi $x_1<x<x_2$ và cùng dấu $a$ khi $x<x_1$ hoặc $x>x_2$ .

Định lí dấu tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$: nếu $\Delta<0$, $f(x)$ cùng dấu $a$ với mọi $x$; nếu $\Delta=0$, $f(x)$ cùng dấu $a$ với mọi $x\ne x_0=-\dfrac{b}{2a}$; nếu $\Delta>0$ với hai nghiệm $x_1<x_2$, $f(x)$ trái dấu $a$ khi $x_1<x<x_2$ và cùng dấu $a$ khi $x<x_1$ hoặc $x>x_2$.

Bài tiếp theo dùng đúng bảng xét dấu này để giải bất phương trình bậc hai — tức là tìm tập hợp mọi $x$ làm $f(x)$ mang một dấu cho trước, thay vì chỉ xét dấu tại một điểm.