Bài học

Parabol — nhận dạng và phương trình chính tắc

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu được định nghĩa hình học của parabol qua tiêu điểm và đường chuẩn, viết được phương trình chính tắc của parabol khi biết tham số tiêu $p$ , và xác định được tiêu điểm, đường chuẩn từ phương trình chính tắc.

Sau bài này, em phát biểu được định nghĩa hình học của parabol qua tiêu điểm và đường chuẩn, viết được phương trình chính tắc của parabol khi biết tham số tiêu $p$, và xác định được tiêu điểm, đường chuẩn từ phương trình chính tắc.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước dùng hai tiêu điểm để định nghĩa elip và hypebol (same-grade bridge). Parabol là đường conic thứ ba và cũng đơn giản nhất: chỉ cần một tiêu điểm, kết hợp với một đường thẳng cố định gọi là đường chuẩn, thay cho tiêu điểm thứ hai.

Khởi động

Một quả bóng được ném xiên lên không trung, bỏ qua sức cản không khí. Vẽ đồ thị độ cao theo thời gian, hay đúng hơn là quỹ đạo trong không gian, quả bóng vẽ nên đường gì? Vì sao mọi ăng-ten chảo vệ tinh đều có mặt cắt hình dạng giống hệt đường quỹ đạo đó?

Kiến thức trọng tâm

Parabol là tập hợp các điểm $M$ cách đều một điểm cố định $F$ (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định $\Delta$ (đường chuẩn) không đi qua $F$ : $MF = d(M,\Delta)$ . Khác với elip và hypebol dùng hai tiêu điểm, parabol chỉ cần một tiêu điểm và một đường chuẩn — sự bất đối xứng này khiến parabol chỉ có một nhánh mở về một phía, không đóng kín và không có hai nhánh riêng biệt.

Parabol là tập hợp các điểm $M$ cách đều một điểm cố định $F$ (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định $\Delta$ (đường chuẩn) không đi qua $F$: $MF = d(M,\Delta)$. Khác với elip và hypebol dùng hai tiêu điểm, parabol chỉ cần một tiêu điểm và một đường chuẩn — sự bất đối xứng này khiến parabol chỉ có một nhánh mở về một phía, không đóng kín và không có hai nhánh riêng biệt.

Khi đặt tiêu điểm trên trục hoành tại $F\left(\dfrac{p}{2};0\right)$ và đường chuẩn $\Delta: x=-\dfrac{p}{2}$ (với $p>0$ gọi là tham số tiêu), phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$ . Đỉnh của parabol là gốc tọa độ $O(0;0)$ — điểm duy nhất trên parabol cách đều $F$ và $\Delta$ theo phương ngắn nhất.

Khi đặt tiêu điểm trên trục hoành tại $F\left(\dfrac{p}{2};0\right)$ và đường chuẩn $\Delta: x=-\dfrac{p}{2}$ (với $p>0$ gọi là tham số tiêu), phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$. Đỉnh của parabol là gốc tọa độ $O(0;0)$ — điểm duy nhất trên parabol cách đều $F$ và $\Delta$ theo phương ngắn nhất.

Tham số $p$ chính là khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn (dễ thấy $F$ ở $x=p/2$ và $\Delta$ ở $x=-p/2$ , cách nhau đúng $p$ ). Vì $p$ luôn dương, parabol $y^2=2px$ chỉ trải rộng về phía $x\ge0$ — với mỗi $x>0$ có hai giá trị $y=\pm\sqrt{2px}$ đối xứng qua trục hoành, còn $x<0$ không có điểm nào thuộc parabol.

Tham số $p$ chính là khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn (dễ thấy $F$ ở $x=p/2$ và $\Delta$ ở $x=-p/2$, cách nhau đúng $p$). Vì $p$ luôn dương, parabol $y^2=2px$ chỉ trải rộng về phía $x\ge0$ — với mỗi $x>0$ có hai giá trị $y=\pm\sqrt{2px}$ đối xứng qua trục hoành, còn $x<0$ không có điểm nào thuộc parabol.

Tính chất phản xạ của parabol giải thích vì sao đường cong này xuất hiện khắp nơi trong kỹ thuật: một tia sáng (hoặc sóng) đi song song với trục đối xứng, khi phản xạ trên mặt parabol, luôn hội tụ đúng tại tiêu điểm $F$ — không phụ thuộc vào điểm nào trên parabol tia đó chạm vào. Ngược lại, một nguồn sáng đặt đúng tại $F$ phát ra các tia phản xạ trên mặt parabol đều song song với trục. Nguyên lý này là lý do gương chảo vệ tinh, gương kính thiên văn phản xạ, và đèn pha ô tô đều có mặt cắt hình parabol: đặt bộ thu (hoặc nguồn sáng) đúng tại tiêu điểm để hội tụ tối đa tín hiệu (hoặc tạo chùm sáng song song).

Mọi điểm trên parabol cách đều tiêu điểm F và đường chuẩn x = -2.

Ví dụ

Tìm tiêu điểm và đường chuẩn từ phương trình chính tắc

1
Cho parabol $(P): y^2=8x$ . Tìm tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của $(P)$ .
Cho parabol $(P): y^2=8x$. Tìm tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của $(P)$.
2
So sánh với dạng $y^2=2px$ , ta có $2p=8 \Rightarrow p=4$ .
So sánh với dạng $y^2=2px$, ta có $2p=8 \Rightarrow p=4$.
3
Tiêu điểm $F\left(\dfrac{p}{2};0\right)=F(2;0)$ .
Tiêu điểm $F\left(\dfrac{p}{2};0\right)=F(2;0)$.
4
Đường chuẩn $\Delta: x=-\dfrac{p}{2}=-2$ .
Đường chuẩn $\Delta: x=-\dfrac{p}{2}=-2$.
5
Lấy điểm $M(2;4)$ trên parabol (vì $4^2=16=8\cdot2$ , TMĐK). Khoảng cách $MF=\sqrt{(2-2)^2+(4-0)^2}=4$ . Khoảng cách từ $M$ đến đường chuẩn $x=-2$ là $|2-(-2)|=4$ . Hai khoảng cách bằng nhau (TMĐK định nghĩa parabol). Vậy $F(2;0)$ và $\Delta: x=-2$ .
Lấy điểm $M(2;4)$ trên parabol (vì $4^2=16=8\cdot2$, TMĐK). Khoảng cách $MF=\sqrt{(2-2)^2+(4-0)^2}=4$. Khoảng cách từ $M$ đến đường chuẩn $x=-2$ là $|2-(-2)|=4$. Hai khoảng cách bằng nhau (TMĐK định nghĩa parabol). Vậy $F(2;0)$ và $\Delta: x=-2$.

Ví dụ

Viết phương trình parabol từ tiêu điểm cho trước (dạng thi)

1
Viết phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm $F(3;0)$ .
Viết phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm $F(3;0)$.
2
Từ $F\left(\dfrac{p}{2};0\right)=F(3;0)$ , suy ra $\dfrac{p}{2}=3 \Rightarrow p=6$ .
Từ $F\left(\dfrac{p}{2};0\right)=F(3;0)$, suy ra $\dfrac{p}{2}=3 \Rightarrow p=6$.
3
Theo dạng chính tắc $y^2=2px$ , ta có $y^2=2(6)x=12x$ .
Theo dạng chính tắc $y^2=2px$, ta có $y^2=2(6)x=12x$.
4
Đường chuẩn tương ứng là $x=-\dfrac{p}{2}=-3$ . Lấy điểm $M(3;6)$ trên parabol (vì $6^2=36=12\cdot3$ , TMĐK): $MF=\sqrt{(3-3)^2+(6-0)^2}=6$ , khoảng cách đến đường chuẩn $=|3-(-3)|=6$ , hai giá trị bằng nhau (TMĐK). Vậy phương trình là $y^2=12x$ .
Đường chuẩn tương ứng là $x=-\dfrac{p}{2}=-3$. Lấy điểm $M(3;6)$ trên parabol (vì $6^2=36=12\cdot3$, TMĐK): $MF=\sqrt{(3-3)^2+(6-0)^2}=6$, khoảng cách đến đường chuẩn $=|3-(-3)|=6$, hai giá trị bằng nhau (TMĐK). Vậy phương trình là $y^2=12x$.

Quỹ đạo vật ném xiên ở phần khởi động cũng là một parabol, nhưng nằm ngang khác hướng: chọn trục hoành là phương ngang và trục tung là độ cao, phương trình quỹ đạo (bỏ qua sức cản không khí) có dạng $y = ax - bx^2$ với $a,b>0$ — vẫn là một parabol, chỉ mở xuống thay vì mở sang phải như dạng chính tắc vừa học. Chương trình lớp 10 tập trung vào dạng chính tắc $y^2=2px$ (trục đối xứng nằm ngang, đỉnh tại gốc); dạng $y=ax^2+bx+c$ quen thuộc từ hàm số bậc hai lớp 9 chính là một phép quay và tịnh tiến của cùng một đường parabol.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là quên hệ số $2$ khi tìm tiêu điểm: từ $y^2=2px$ , tiêu điểm là $\left(\dfrac{p}{2};0\right)$ chứ không phải $(p;0)$ . Một sai lầm khác là nhầm dấu đường chuẩn — với $p>0$ , parabol mở về phía dương của trục hoành, nên đường chuẩn luôn nằm ở phía âm ( $x=-p/2$ ), không phải phía dương. Một lỗi thứ ba là quên rằng với mỗi $x>0$ luôn có hai điểm đối xứng $(x;\sqrt{2px})$ và $(x;-\sqrt{2px})$ cùng thuộc parabol, nên khi đề chỉ cho một điều kiện về $y$ dương, đừng vội loại bỏ nghiệm âm nếu đề không yêu cầu.

Sai lầm phổ biến nhất là quên hệ số $2$ khi tìm tiêu điểm: từ $y^2=2px$, tiêu điểm là $\left(\dfrac{p}{2};0\right)$ chứ không phải $(p;0)$. Một sai lầm khác là nhầm dấu đường chuẩn — với $p>0$, parabol mở về phía dương của trục hoành, nên đường chuẩn luôn nằm ở phía âm ($x=-p/2$), không phải phía dương. Một lỗi thứ ba là quên rằng với mỗi $x>0$ luôn có hai điểm đối xứng $(x;\sqrt{2px})$ và $(x;-\sqrt{2px})$ cùng thuộc parabol, nên khi đề chỉ cho một điều kiện về $y$ dương, đừng vội loại bỏ nghiệm âm nếu đề không yêu cầu.

So với elip và hypebol, parabol là trường hợp "biên" thú vị: có thể xem parabol như giới hạn của một elip khi một tiêu điểm dịch chuyển ra xa vô cùng trong khi tiêu điểm còn lại và tâm sai giữ nguyên theo một tỉ lệ đặc biệt ( $e=1$ đúng bằng ranh giới giữa elip $e<1$ và hypebol $e>1$ ). Vì lý do này, ba đường conic thường được trình bày như một họ liên tục: elip, parabol, hypebol lần lượt ứng với tâm sai nhỏ hơn, bằng, và lớn hơn $1$ — dù ở chương trình phổ thông mỗi đường được định nghĩa độc lập bằng chính tiêu điểm và (với parabol) đường chuẩn của nó, không cần đến khái niệm giới hạn.

So với elip và hypebol, parabol là trường hợp "biên" thú vị: có thể xem parabol như giới hạn của một elip khi một tiêu điểm dịch chuyển ra xa vô cùng trong khi tiêu điểm còn lại và tâm sai giữ nguyên theo một tỉ lệ đặc biệt ($e=1$ đúng bằng ranh giới giữa elip $e<1$ và hypebol $e>1$). Vì lý do này, ba đường conic thường được trình bày như một họ liên tục: elip, parabol, hypebol lần lượt ứng với tâm sai nhỏ hơn, bằng, và lớn hơn $1$ — dù ở chương trình phổ thông mỗi đường được định nghĩa độc lập bằng chính tiêu điểm và (với parabol) đường chuẩn của nó, không cần đến khái niệm giới hạn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Parabol $y^2=2px$ ( $p>0$ ): tiêu điểm $F\left(\dfrac{p}{2};0\right)$ , đường chuẩn $x=-\dfrac{p}{2}$ , đỉnh $O(0;0)$ , định nghĩa $MF=d(M,\Delta)$ . Nhận dạng nhanh: một biến bậc hai → parabol; hai biến bậc hai cùng dấu → tròn/elip; khác dấu → hypebol.

Parabol $y^2=2px$ ($p>0$): tiêu điểm $F\left(\dfrac{p}{2};0\right)$, đường chuẩn $x=-\dfrac{p}{2}$, đỉnh $O(0;0)$, định nghĩa $MF=d(M,\Delta)$. Nhận dạng nhanh: một biến bậc hai → parabol; hai biến bậc hai cùng dấu → tròn/elip; khác dấu → hypebol.

Ba đường conic — elip, hypebol, parabol — cùng với đường tròn ở bài trước, tạo thành trọn bộ các đường bậc hai cơ bản trong mặt phẳng tọa độ. Bài ôn tập tổng hợp cuối chương sẽ luyện lại cả năm loại phương trình này, kể cả kỹ năng nhận dạng nhanh một phương trình bậc hai thuộc loại nào chỉ từ hình dạng của nó.

Một mẹo nhận dạng nhanh đáng ghi nhớ trước khi kết thúc bài: nếu phương trình chỉ có một biến bậc hai (chỉ $y^2$ , không có $x^2$ , hoặc ngược lại) thì đó là parabol; nếu cả hai biến đều xuất hiện bậc hai với cùng dấu, đó là đường tròn (khi hệ số bằng nhau) hoặc elip (khi hệ số khác nhau); nếu hai biến bậc hai xuất hiện với dấu trái nhau, đó là hypebol. Chỉ cần liếc qua dấu và số lượng biến bậc hai, em đã có thể phân loại đường conic trước khi tính bất kỳ con số cụ thể nào.

Một mẹo nhận dạng nhanh đáng ghi nhớ trước khi kết thúc bài: nếu phương trình chỉ có một biến bậc hai (chỉ $y^2$, không có $x^2$, hoặc ngược lại) thì đó là parabol; nếu cả hai biến đều xuất hiện bậc hai với cùng dấu, đó là đường tròn (khi hệ số bằng nhau) hoặc elip (khi hệ số khác nhau); nếu hai biến bậc hai xuất hiện với dấu trái nhau, đó là hypebol. Chỉ cần liếc qua dấu và số lượng biến bậc hai, em đã có thể phân loại đường conic trước khi tính bất kỳ con số cụ thể nào.