Bài học

Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và các công thức cơ bản

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính đúng khoảng cách giữa hai điểm, tìm được tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm của một tam giác khi biết tọa độ các đỉnh, đồng thời viết được tọa độ của một vectơ từ tọa độ hai điểm đầu mút.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở lớp 9 em đã làm quen với hệ trục tọa độ Oxy và cách xác định vị trí một điểm bằng cặp số $(x;y)$ (prior-grade review). Bài này dùng lại đúng cặp số đó, nhưng chuyển sang việc tính toán trên các điểm: đo khoảng cách, tìm điểm chính giữa, và biểu diễn hướng đi từ điểm này sang điểm khác bằng một vectơ.

Khởi động

Trên bản đồ thành phố, nhà em ở vị trí $A(1;2)$ (đơn vị: km theo hai trục đường chính) và trường học ở vị trí $B(5;-4)$ . Không cần đo trực tiếp ngoài thực địa, làm sao tính được quãng đường chim bay từ nhà đến trường, và xác định vị trí trạm xe buýt đặt đúng giữa hai điểm đó?

Trên bản đồ thành phố, nhà em ở vị trí $A(1;2)$ (đơn vị: km theo hai trục đường chính) và trường học ở vị trí $B(5;-4)$. Không cần đo trực tiếp ngoài thực địa, làm sao tính được quãng đường chim bay từ nhà đến trường, và xác định vị trí trạm xe buýt đặt đúng giữa hai điểm đó?

Kiến thức trọng tâm

Với hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$ , vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ bằng hiệu tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu: $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$ . Đây là cách duy nhất để biến một cặp điểm thành một vectơ có phương, chiều và độ dài cụ thể.

Với hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$, vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ bằng hiệu tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu: $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$. Đây là cách duy nhất để biến một cặp điểm thành một vectơ có phương, chiều và độ dài cụ thể.

Độ dài đoạn thẳng $AB$ chính là độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ , và ta tính nó bằng định lí Pythagore áp dụng cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông song song với hai trục tọa độ: $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$ . Hiệu hoành độ và hiệu tung độ đóng vai trò hai cạnh góc vuông, còn $AB$ là cạnh huyền.

Độ dài đoạn thẳng $AB$ chính là độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$, và ta tính nó bằng định lí Pythagore áp dụng cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông song song với hai trục tọa độ: $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$. Hiệu hoành độ và hiệu tung độ đóng vai trò hai cạnh góc vuông, còn $AB$ là cạnh huyền.

Hình dung cụ thể hơn: kẻ từ $A$ một đoạn nằm ngang đến đúng hoành độ của $B$ , rồi từ đó kẻ một đoạn thẳng đứng lên đến $B$ — hai đoạn này có độ dài lần lượt bằng $|x_B-x_A|$ và $|y_B-y_A|$ , và tạo với $AB$ một tam giác vuông tại điểm gấp khúc. Đây là lý do công thức khoảng cách luôn cho kết quả dương dù $A$ ở bên trái hay bên phải $B$ : các số hạng đều được bình phương trước khi cộng, nên thứ tự trừ không ảnh hưởng đến $AB$ (dù có ảnh hưởng đến chiều của vectơ $\overrightarrow{AB}$ ).

Hình dung cụ thể hơn: kẻ từ $A$ một đoạn nằm ngang đến đúng hoành độ của $B$, rồi từ đó kẻ một đoạn thẳng đứng lên đến $B$ — hai đoạn này có độ dài lần lượt bằng $|x_B-x_A|$ và $|y_B-y_A|$, và tạo với $AB$ một tam giác vuông tại điểm gấp khúc. Đây là lý do công thức khoảng cách luôn cho kết quả dương dù $A$ ở bên trái hay bên phải $B$: các số hạng đều được bình phương trước khi cộng, nên thứ tự trừ không ảnh hưởng đến $AB$ (dù có ảnh hưởng đến chiều của vectơ $\overrightarrow{AB}$).

Trung điểm $M$ của đoạn $AB$ có tọa độ là trung bình cộng tọa độ hai đầu mút: $M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}; \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ . Công thức này không có gì bí ẩn — trung điểm nằm chính giữa nên hoành độ và tung độ của nó cũng phải nằm chính giữa hai giá trị tương ứng.

Trung điểm $M$ của đoạn $AB$ có tọa độ là trung bình cộng tọa độ hai đầu mút: $M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}; \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$. Công thức này không có gì bí ẩn — trung điểm nằm chính giữa nên hoành độ và tung độ của nó cũng phải nằm chính giữa hai giá trị tương ứng.

Khi ba điểm $A$ , $B$ , $C$ không thẳng hàng tạo thành một tam giác, trọng tâm $G$ — giao điểm ba đường trung tuyến — có tọa độ là trung bình cộng của cả ba đỉnh: $G\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}; \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$ . Công thức trung điểm là trường hợp hai điểm; công thức trọng tâm mở rộng đúng ý tưởng đó sang ba điểm.

Khi ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng tạo thành một tam giác, trọng tâm $G$ — giao điểm ba đường trung tuyến — có tọa độ là trung bình cộng của cả ba đỉnh: $G\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}; \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$. Công thức trung điểm là trường hợp hai điểm; công thức trọng tâm mở rộng đúng ý tưởng đó sang ba điểm.

Ba công thức này — vectơ, khoảng cách, trung điểm, trọng tâm — đều xây trên đúng một thao tác quen thuộc từ chương vectơ đầu lớp 10 (same-grade bridge): lấy hiệu tọa độ để ra vectơ, rồi dùng độ dài vectơ hoặc trung bình cộng tọa độ để suy ra các đại lượng hình học. Khác biệt duy nhất so với vectơ hình học thuần túy là bây giờ mọi phép tính đều thực hiện trực tiếp trên số, không cần vẽ hình để đo đạc — đây chính là sức mạnh của phương pháp tọa độ: biến một bài toán hình học thành một bài toán đại số.

Trong thực tế, các công thức này được dùng liên tục: hệ thống định vị GPS xác định vị trí bằng tọa độ, rồi tính khoảng cách giữa hai vị trí bằng đúng công thức trên; một đội khảo sát đất đai cắm mốc trung điểm một thửa đất cũng dùng công thức trung điểm; kỹ sư xây dựng xác định trọng tâm một mặt bằng tam giác để đặt cột chịu lực cũng theo nguyên tắc trọng tâm vừa học.

M là trung điểm AB vì tọa độ M bằng trung bình cộng tọa độ A và B.

Ví dụ

Tính độ dài đoạn AB và tọa độ trung điểm M

1
Cho $A(1;2)$ và $B(5;-4)$ . Tính độ dài đoạn thẳng $AB$ và tìm tọa độ trung điểm $M$ của $AB$ .
Cho $A(1;2)$ và $B(5;-4)$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$ và tìm tọa độ trung điểm $M$ của $AB$.
2
Ta có $\overrightarrow{AB} = (5-1; -4-2) = (4; -6)$ .
Ta có $\overrightarrow{AB} = (5-1; -4-2) = (4; -6)$.
3
Theo công thức khoảng cách, $AB = \sqrt{4^2 + (-6)^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ .
Theo công thức khoảng cách, $AB = \sqrt{4^2 + (-6)^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
4
Ta có $M\left(\dfrac{1+5}{2}; \dfrac{2+(-4)}{2}\right) = M(3;-1)$ .
Ta có $M\left(\dfrac{1+5}{2}; \dfrac{2+(-4)}{2}\right) = M(3;-1)$.
5
Khoảng cách từ $M$ đến $A$ là $\sqrt{(3-1)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ , đúng bằng một nửa $AB=2\sqrt{13}$ — hợp lý vì $M$ là trung điểm. Vậy $AB = 2\sqrt{13} \approx 7,21$ và $M(3;-1)$ .
Khoảng cách từ $M$ đến $A$ là $\sqrt{(3-1)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$, đúng bằng một nửa $AB=2\sqrt{13}$ — hợp lý vì $M$ là trung điểm. Vậy $AB = 2\sqrt{13} \approx 7,21$ và $M(3;-1)$.

G là trọng tâm vì tọa độ G bằng trung bình cộng tọa độ ba đỉnh A, B, C.

Ví dụ

Tìm trọng tâm tam giác

1
Cho tam giác $ABC$ với $A(1;2)$ , $B(5;-4)$ , $C(-3;2)$ . Tìm tọa độ trọng tâm $G$ .
Cho tam giác $ABC$ với $A(1;2)$, $B(5;-4)$, $C(-3;2)$. Tìm tọa độ trọng tâm $G$.
2
Theo công thức trọng tâm tam giác, $G\left(\dfrac{1+5+(-3)}{3}; \dfrac{2+(-4)+2}{3}\right)$ .
Theo công thức trọng tâm tam giác, $G\left(\dfrac{1+5+(-3)}{3}; \dfrac{2+(-4)+2}{3}\right)$.
3
Ta có $G\left(\dfrac{3}{3}; \dfrac{0}{3}\right) = G(1;0)$ .
Ta có $G\left(\dfrac{3}{3}; \dfrac{0}{3}\right) = G(1;0)$.
4
Trung điểm cạnh $BC$ là $M'\left(\dfrac{5-3}{2};\dfrac{-4+2}{2}\right)=M'(1;-1)$ ; trung tuyến từ $A$ đi qua $M'$ nằm trên đường thẳng đứng $x=1$ vì $A(1;2)$ và $M'(1;-1)$ cùng hoành độ $1$ . $G(1;0)$ cũng có hoành độ $1$ — nhất quán. Vậy $G(1;0)$ .
Trung điểm cạnh $BC$ là $M'\left(\dfrac{5-3}{2};\dfrac{-4+2}{2}\right)=M'(1;-1)$; trung tuyến từ $A$ đi qua $M'$ nằm trên đường thẳng đứng $x=1$ vì $A(1;2)$ và $M'(1;-1)$ cùng hoành độ $1$. $G(1;0)$ cũng có hoành độ $1$ — nhất quán. Vậy $G(1;0)$.

Ví dụ

Tính chu vi tam giác ABC (bài toán tổng hợp)

1
Vẫn với tam giác $ABC$ ở ví dụ trên ( $A(1;2)$ , $B(5;-4)$ , $C(-3;2)$ ), tính chu vi tam giác, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Vẫn với tam giác $ABC$ ở ví dụ trên ($A(1;2)$, $B(5;-4)$, $C(-3;2)$), tính chu vi tam giác, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
2
Ta có $AB=\sqrt{4^2+(-6)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ (đã tính ở ví dụ trước). Tương tự, $BC=\sqrt{(-3-5)^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ , và $CA=\sqrt{(1-(-3))^2+(2-2)^2}=\sqrt{16+0}=4$ .
Ta có $AB=\sqrt{4^2+(-6)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ (đã tính ở ví dụ trước). Tương tự, $BC=\sqrt{(-3-5)^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$, và $CA=\sqrt{(1-(-3))^2+(2-2)^2}=\sqrt{16+0}=4$.
3
Chu vi $P = AB+BC+CA = 2\sqrt{13}+10+4 = 2\sqrt{13}+14$ .
Chu vi $P = AB+BC+CA = 2\sqrt{13}+10+4 = 2\sqrt{13}+14$.
4
Ta có $\sqrt{13}\approx 3{,}61$ nên $2\sqrt{13}\approx 7{,}21$ ; hai cạnh $BC=10$ và $CA=4$ là số nguyên, hợp lý để kiểm tra chéo bằng bất đẳng thức tam giác: $AB+CA\approx 11{,}21 > BC=10$ (TMĐK tam giác tồn tại). Vậy chu vi $P\approx 21{,}21$ (đơn vị độ dài theo hệ trục đã cho).
Ta có $\sqrt{13}\approx 3{,}61$ nên $2\sqrt{13}\approx 7{,}21$; hai cạnh $BC=10$ và $CA=4$ là số nguyên, hợp lý để kiểm tra chéo bằng bất đẳng thức tam giác: $AB+CA\approx 11{,}21 > BC=10$ (TMĐK tam giác tồn tại). Vậy chu vi $P\approx 21{,}21$ (đơn vị độ dài theo hệ trục đã cho).

Ba cạnh vừa tính còn cho em thêm một thông tin miễn phí: so sánh bình phương các cạnh để nhận dạng tam giác mà không cần đo góc trực tiếp. Với $AB^2=52$ , $BC^2=100$ , $CA^2=16$ , ta có $CA^2+AB^2=16+52=68 \ne 100=BC^2$ , nên tam giác $ABC$ không vuông tại $A$ ; ba cạnh cũng có ba độ dài khác nhau ( $4$ , $2\sqrt{13}\approx7{,}21$ , $10$ ) nên đây là tam giác thường (không cân, không vuông). Kỹ thuật so sánh tổng bình phương hai cạnh với bình phương cạnh còn lại — thực chất là định lí Pythagore đảo — sẽ còn xuất hiện nhiều lần trong các bài toán tọa độ ở những bài sau.

Ba cạnh vừa tính còn cho em thêm một thông tin miễn phí: so sánh bình phương các cạnh để nhận dạng tam giác mà không cần đo góc trực tiếp. Với $AB^2=52$, $BC^2=100$, $CA^2=16$, ta có $CA^2+AB^2=16+52=68 \ne 100=BC^2$, nên tam giác $ABC$ không vuông tại $A$; ba cạnh cũng có ba độ dài khác nhau ($4$, $2\sqrt{13}\approx7{,}21$, $10$) nên đây là tam giác thường (không cân, không vuông). Kỹ thuật so sánh tổng bình phương hai cạnh với bình phương cạnh còn lại — thực chất là định lí Pythagore đảo — sẽ còn xuất hiện nhiều lần trong các bài toán tọa độ ở những bài sau.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến là cộng nhầm tọa độ theo kiểu $\overrightarrow{AB}=(x_A-x_B;y_A-y_B)$ — đảo ngược thứ tự điểm đầu và điểm cuối, dẫn đến vectơ ngược hướng (dù độ dài tính ra vẫn đúng vì bình phương triệt tiêu dấu). Một sai lầm khác là quên chia cho $3$ khi tính trọng tâm, nhầm sang công thức trung điểm chỉ chia cho $2$ .

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Vectơ $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$ ; độ dài $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ ; trung điểm chia tọa độ cho $2$ , trọng tâm chia tọa độ cho $3$ .

Vectơ $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$; độ dài $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$; trung điểm chia tọa độ cho $2$, trọng tâm chia tọa độ cho $3$.

Bài tiếp theo dùng chính những điểm này để viết phương trình của một đường thẳng — công cụ mô tả toàn bộ một con đường thẳng chứ không chỉ một đoạn hữu hạn.