Bài học

Ôn tập diện tích hình phẳng

Bài ôn tập này không đưa thêm công thức nào mới. Em ghép lại hai kỹ năng đã học ở Chương 1 và Chương 2 — diện tích giữa đồ thị và trục hoành, diện tích giữa hai đường cong — qua hai đề bài với số liệu mới, để tự kiểm tra xem có còn nhớ đúng quy trình tìm cận, xét dấu và chia đoạn hay không.

Kiến thức đã học

Nhắc lại quy trình chung cho mọi bài diện tích hình phẳng: (1) tìm cận bằng cách giải $f(x)=0$ (khi chỉ có một đồ thị và trục hoành) hoặc $f(x)=g(x)$ (khi có hai đồ thị); (2) xét dấu biểu thức trong trị tuyệt đối trên từng đoạn con, bằng cách thay một giá trị đại diện của đoạn đó vào biểu thức; (3) tích phân từng phần trên các đoạn đã chia rồi cộng trị tuyệt đối các kết quả lại với nhau.

Ba đề dưới đây không kiểm tra một công thức riêng lẻ, mà kiểm tra xem em có tự nhận ra được nên dùng quy trình nào cho một hàm số mới hay không. Đề đầu tiên dùng một parabol không đổi dấu — trường hợp đơn giản nhất. Đề thứ hai chuyển sang hai đường cong, buộc phải giải phương trình hoành độ giao điểm trước khi làm gì khác. Đề thứ ba quay lại một hàm và trục hoành, nhưng lần này là hàm bậc ba với ba nghiệm thay vì hai — một tình huống đề thi thật sự hay dùng để kiểm tra xem học sinh có tìm đủ mọi nghiệm hay chỉ tìm hai nghiệm ngoài cùng cho có lệ.

Ôn tập 1 — Diện tích giữa đồ thị và trục hoành

Ví dụ

Ví dụ ôn tập — Một parabol khác, cùng quy trình

1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P):y=9-x^2$ và trục hoành.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P):y=9-x^2$ và trục hoành.
2
Giải $9-x^2=0 \iff x=\pm 3$ . Vậy $a=-3$ , $b=3$ .
Giải $9-x^2=0 \iff x=\pm 3$. Vậy $a=-3$, $b=3$.
3
Xét $x=0\in(-3;3)$ : $f(0)=9>0$ , nên $f(x)\ge 0$ trên toàn bộ $[-3;3]$ — không cần chia đoạn.
Xét $x=0\in(-3;3)$: $f(0)=9>0$, nên $f(x)\ge 0$ trên toàn bộ $[-3;3]$ — không cần chia đoạn.
4
$S=\displaystyle\int_{-3}^{3}(9-x^2)\,dx=\left[9x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-3}^{3}$ . Tại $x=3$ : $27-9=18$ . Tại $x=-3$ : $-27+9=-18$ . Suy ra $S=18-(-18)=36$ .
$S=\displaystyle\int_{-3}^{3}(9-x^2)\,dx=\left[9x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-3}^{3}$. Tại $x=3$: $27-9=18$. Tại $x=-3$: $-27+9=-18$. Suy ra $S=18-(-18)=36$.
5
Vậy $S=36$ (đơn vị diện tích).
Vậy $S=36$ (đơn vị diện tích).

Parabol bề lõm xuống, nằm hoàn toàn trên trục hoành giữa hai nghiệm

x=\pm3

— không có chỗ đổi dấu, khác với ví dụ hai nghiệm bề lõm lên ở Chương 1.Parabol bề lõm xuống, nằm hoàn toàn trên trục hoành giữa hai nghiệm $x=\pm3$ — không có chỗ đổi dấu, khác với ví dụ hai nghiệm bề lõm lên ở Chương 1.

Ôn tập 2 — Diện tích giữa hai đường cong

Ví dụ

Ví dụ ôn tập — Một parabol và một đường thẳng khác

1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P):y=6-x^2$ và đường thẳng $(d):y=x$ .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P):y=6-x^2$ và đường thẳng $(d):y=x$.
2
Giải $6-x^2=x \iff x^2+x-6=0$ . Phân tích $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$ , được $x=-3$ hoặc $x=2$ . Vậy $a=-3$ , $b=2$ .
Giải $6-x^2=x \iff x^2+x-6=0$. Phân tích $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$, được $x=-3$ hoặc $x=2$. Vậy $a=-3$, $b=2$.
3
Đặt $h(x)=(6-x^2)-x$ . Xét $x=0\in(-3;2)$ : $h(0)=6>0$ , nên $(P)$ nằm trên $(d)$ trên toàn bộ $(-3;2)$ — không đổi dấu.
Đặt $h(x)=(6-x^2)-x$. Xét $x=0\in(-3;2)$: $h(0)=6>0$, nên $(P)$ nằm trên $(d)$ trên toàn bộ $(-3;2)$ — không đổi dấu.
4
$S=\displaystyle\int_{-3}^{2}(6-x^2-x)\,dx=\left[6x-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\right]_{-3}^{2}$ . Tại $x=2$ : $12-\dfrac{8}{3}-2=10-\dfrac{8}{3}=\dfrac{22}{3}$ . Tại $x=-3$ : $-18+9-\dfrac{9}{2}=-9-\dfrac{9}{2}=-\dfrac{27}{2}$ . Suy ra $S=\dfrac{22}{3}-\left(-\dfrac{27}{2}\right)=\dfrac{44}{6}+\dfrac{81}{6}=\dfrac{125}{6}$ .
$S=\displaystyle\int_{-3}^{2}(6-x^2-x)\,dx=\left[6x-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\right]_{-3}^{2}$. Tại $x=2$: $12-\dfrac{8}{3}-2=10-\dfrac{8}{3}=\dfrac{22}{3}$. Tại $x=-3$: $-18+9-\dfrac{9}{2}=-9-\dfrac{9}{2}=-\dfrac{27}{2}$. Suy ra $S=\dfrac{22}{3}-\left(-\dfrac{27}{2}\right)=\dfrac{44}{6}+\dfrac{81}{6}=\dfrac{125}{6}$.
5
Bề rộng đoạn là $2-(-3)=5$ đơn vị; $\dfrac{125}{6}\approx 20{,}83$ trên bề rộng 5 cho "chiều cao trung bình" khoảng $4{,}17$ — hợp lý vì $h(x)$ đạt giá trị lớn nhất $h(-0{,}5)=6{,}25$ tại đỉnh của parabol $h$ .
Bề rộng đoạn là $2-(-3)=5$ đơn vị; $\dfrac{125}{6}\approx 20{,}83$ trên bề rộng 5 cho "chiều cao trung bình" khoảng $4{,}17$ — hợp lý vì $h(x)$ đạt giá trị lớn nhất $h(-0{,}5)=6{,}25$ tại đỉnh của parabol $h$.
6
Vậy $S=\dfrac{125}{6}$ (đơn vị diện tích).
Vậy $S=\dfrac{125}{6}$ (đơn vị diện tích).

Giao điểm

A(-3;-3)

và

B(2;2)

được kiểm tra thoả cả

y=6-x^2

và

y=x

— đúng quy trình tìm cận đã học ở Chương 2.Giao điểm $A(-3;-3)$ và $B(2;2)$ được kiểm tra thoả cả $y=6-x^2$ và $y=x$ — đúng quy trình tìm cận đã học ở Chương 2.

Ôn tập 3 — Củng cố kỹ năng chia đoạn với một hàm bậc ba

Hai đề ôn tập trên đều dùng hàm bậc hai, không đổi dấu trên đoạn xét. Đề tiếp theo quay lại đúng kỹ năng chia đoạn đã học ở Ví dụ 2, Chương 1 — nhưng với một hàm bậc ba, nơi việc tìm đủ mọi nghiệm trước khi xét dấu quan trọng hơn bao giờ hết.

Ví dụ

Ví dụ ôn tập bổ sung — Hàm bậc ba đổi dấu hai lần

1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C):y=x^3-4x$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=-2$ , $x=2$ .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C):y=x^3-4x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-2$, $x=2$.
2
Giải $x^3-4x=0 \iff x(x^2-4)=0 \iff x=0$ hoặc $x=\pm 2$ . Cả ba nghiệm đều nằm trong $[-2;2]$ (hai nghiệm $\pm2$ trùng đúng hai đầu mút) — mốc chia thực sự nằm giữa chỉ có $x=0$ , nên $[-2;2]$ tách thành $[-2;0]$ và $[0;2]$ .
Giải $x^3-4x=0 \iff x(x^2-4)=0 \iff x=0$ hoặc $x=\pm 2$. Cả ba nghiệm đều nằm trong $[-2;2]$ (hai nghiệm $\pm2$ trùng đúng hai đầu mút) — mốc chia thực sự nằm giữa chỉ có $x=0$, nên $[-2;2]$ tách thành $[-2;0]$ và $[0;2]$.
3
Trên $[-2;0]$ , thử $x=-1$ : $f(-1)=-1+4=3>0$ . Trên $[0;2]$ , thử $x=1$ : $f(1)=1-4=-3<0$ . Hàm đổi dấu đúng tại $x=0$ , khớp với dự đoán.
Trên $[-2;0]$, thử $x=-1$: $f(-1)=-1+4=3>0$. Trên $[0;2]$, thử $x=1$: $f(1)=1-4=-3<0$. Hàm đổi dấu đúng tại $x=0$, khớp với dự đoán.
4
Gọi $F(x)=\dfrac{x^4}{4}-2x^2$ . Ta có $F(-2)=4-8=-4$ , $F(0)=0$ , $F(2)=4-8=-4$ . Suy ra $\left|\displaystyle\int_{-2}^{0} f\,dx\right|=|F(0)-F(-2)|=|0-(-4)|=4$ và $\left|\displaystyle\int_{0}^{2} f\,dx\right|=|F(2)-F(0)|=|-4-0|=4$ .
Gọi $F(x)=\dfrac{x^4}{4}-2x^2$. Ta có $F(-2)=4-8=-4$, $F(0)=0$, $F(2)=4-8=-4$. Suy ra $\left|\displaystyle\int_{-2}^{0} f\,dx\right|=|F(0)-F(-2)|=|0-(-4)|=4$ và $\left|\displaystyle\int_{0}^{2} f\,dx\right|=|F(2)-F(0)|=|-4-0|=4$.
5
$f(x)=x^3-4x$ là hàm lẻ, nên hai phần diện tích trên $[-2;0]$ và $[0;2]$ phải bằng nhau qua phép đối xứng tâm — đúng như $4=4$ vừa tính, cùng kiểu kiểm tra đã dùng ở Chương 2, Ví dụ 2.
$f(x)=x^3-4x$ là hàm lẻ, nên hai phần diện tích trên $[-2;0]$ và $[0;2]$ phải bằng nhau qua phép đối xứng tâm — đúng như $4=4$ vừa tính, cùng kiểu kiểm tra đã dùng ở Chương 2, Ví dụ 2.
6
Vậy $S=4+4=8$ (đơn vị diện tích).
Vậy $S=4+4=8$ (đơn vị diện tích).

Ba nghiệm

x=-2,0,2

của

x^3-4x=0

: hai nghiệm ngoài cùng trùng với cận đề cho, còn nghiệm

x=0

ở giữa mới là mốc thực sự cần chia đoạn.Ba nghiệm $x=-2,0,2$ của $x^3-4x=0$: hai nghiệm ngoài cùng trùng với cận đề cho, còn nghiệm $x=0$ ở giữa mới là mốc thực sự cần chia đoạn.

Bẫy hay gặp khi ôn tập

Sai lầm thường gặp khi ôn tập: thấy đề cho sẵn $x=-2$ và $x=2$ giống hệt cận ở một số ví dụ trước, rồi mặc định hàm không đổi dấu trên đoạn đó và tích phân một mạch. Số liệu giống nhau không có nghĩa hành vi của hàm giống nhau — với hàm bậc ba $x^3-4x$ , luôn phải tự giải lại $f(x)=0$ để tìm hết nghiệm nằm trong đoạn, không được suy đoán từ những bài đã làm trước đó.

Sai lầm thường gặp khi ôn tập: thấy đề cho sẵn $x=-2$ và $x=2$ giống hệt cận ở một số ví dụ trước, rồi mặc định hàm không đổi dấu trên đoạn đó và tích phân một mạch. Số liệu giống nhau không có nghĩa hành vi của hàm giống nhau — với hàm bậc ba $x^3-4x$, luôn phải tự giải lại $f(x)=0$ để tìm hết nghiệm nằm trong đoạn, không được suy đoán từ những bài đã làm trước đó.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Cả ba đề ôn tập trên dùng đúng ba bước đã học: tìm cận (giải $f(x)=0$ hoặc $f(x)=g(x)$ ), xét dấu trên từng đoạn con, rồi tích phân từng phần và cộng trị tuyệt đối. Số liệu thay đổi — hệ số, dạng hàm, bậc của đa thức — nhưng quy trình ba bước thì không đổi, kể cả khi chuyển từ hàm bậc hai (Ôn tập 1, 2) sang hàm bậc ba (Ôn tập 3), nơi có nhiều nghiệm hơn cần tìm.

Cả ba đề ôn tập trên dùng đúng ba bước đã học: tìm cận (giải $f(x)=0$ hoặc $f(x)=g(x)$), xét dấu trên từng đoạn con, rồi tích phân từng phần và cộng trị tuyệt đối. Số liệu thay đổi — hệ số, dạng hàm, bậc của đa thức — nhưng quy trình ba bước thì không đổi, kể cả khi chuyển từ hàm bậc hai (Ôn tập 1, 2) sang hàm bậc ba (Ôn tập 3), nơi có nhiều nghiệm hơn cần tìm.

Đây chính là điều đề thi tốt nghiệp THPT thật sự kiểm tra: khả năng áp dụng một quy trình đã học vào một tình huống với số liệu mới, chứ không phải khả năng ghi nhớ đáp số của một bài toán cụ thể đã gặp trong lúc ôn tập. Một học sinh nhớ đúng công thức nhưng quên bước tìm-đủ-nghiệm sẽ mất điểm ở chính chỗ dễ nhất — không phải vì đề khó, mà vì bỏ bước.

Bài ôn tập cuối cùng chuyển sang thể tích khối tròn xoay và bài toán thực tế — hai ứng dụng còn lại của tích phân trong chương trình lớp 12.