Bài học

Thể tích khi quay quanh trục Ox

Sau bài học này, em thiết lập được tích phân tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$ , trục hoành, $x=a$ , $x=b$ quanh trục $Ox$ — kể cả khi cận $a,b$ phải tự tìm bằng cách giải $f(x)=0$ chứ không cho sẵn.

Sau bài học này, em thiết lập được tích phân tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, trục hoành, $x=a$, $x=b$ quanh trục $Ox$ — kể cả khi cận $a,b$ phải tự tìm bằng cách giải $f(x)=0$ chứ không cho sẵn.

Kiến thức đã học

Hai bài trước đã dạy cách tìm cận bằng cách giải $f(x)=0$ (Chương 1) hoặc $f(x)=g(x)$ (Chương 2), và cách xét dấu, chia đoạn, tính tích phân bằng Newton–Leibniz. Bài này tái sử dụng nguyên vẹn kỹ năng tìm cận — điều mới là hình phẳng không còn nằm yên trên mặt phẳng, mà quay quanh trục $Ox$ để tạo ra một khối ba chiều.

Hình dung một chiếc bát tròn xoay: nếu cắt đôi chiếc bát theo một mặt phẳng đi qua tâm, mặt cắt hiện ra là một đường cong duy nhất — cả hai bên trái phải của mặt cắt đối xứng nhau qua trục quay. Toán học mô tả điều này bằng cách lấy một hình phẳng phía trên trục hoành (nửa mặt cắt), rồi cho nó quay trọn một vòng $360^\circ$ quanh trục $Ox$ — nửa còn lại của chiếc bát tự động xuất hiện nhờ phép quay, không cần vẽ thêm.

Từ đĩa tròn đến thể tích

Tại mỗi vị trí $x\in[a;b]$ , hình phẳng có chiều cao $f(x)$ tính từ trục hoành. Khi quay quanh $Ox$ , đoạn thẳng đứng cao $f(x)$ đó quét thành một hình tròn bán kính $r=f(x)$ , diện tích $\pi r^2=\pi [f(x)]^2$ — đây chính là diện tích của một "lát cắt" mỏng vuông góc với trục $Ox$ tại vị trí $x$ . Cộng dồn (tích phân) diện tích các lát cắt mỏng đó từ $x=a$ đến $x=b$ cho thể tích toàn khối:

Tại mỗi vị trí $x\in[a;b]$, hình phẳng có chiều cao $f(x)$ tính từ trục hoành. Khi quay quanh $Ox$, đoạn thẳng đứng cao $f(x)$ đó quét thành một hình tròn bán kính $r=f(x)$, diện tích $\pi r^2=\pi [f(x)]^2$ — đây chính là diện tích của một "lát cắt" mỏng vuông góc với trục $Ox$ tại vị trí $x$. Cộng dồn (tích phân) diện tích các lát cắt mỏng đó từ $x=a$ đến $x=b$ cho thể tích toàn khối:

$V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$

$$V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$$

Vì $[f(x)]^2\ge 0$ với mọi $x$ , tích phân này không bao giờ âm — khác với diện tích hình phẳng ở hai bài trước, thể tích khối tròn xoay không cần xét dấu hay chia đoạn theo dấu của $f(x)$ . Việc còn lại chỉ là xác định đúng cận $a,b$ : nếu đề cho sẵn hai đường thẳng $x=a,x=b$ thì dùng luôn; nếu đề chỉ cho "hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$ và trục hoành" mà không cho cận, phải tự tìm cận bằng cách giải $f(x)=0$ — đúng kỹ năng đã học ở Chương 1.

Vì $[f(x)]^2\ge 0$ với mọi $x$, tích phân này không bao giờ âm — khác với diện tích hình phẳng ở hai bài trước, thể tích khối tròn xoay không cần xét dấu hay chia đoạn theo dấu của $f(x)$. Việc còn lại chỉ là xác định đúng cận $a,b$: nếu đề cho sẵn hai đường thẳng $x=a,x=b$ thì dùng luôn; nếu đề chỉ cho "hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$ và trục hoành" mà không cho cận, phải tự tìm cận bằng cách giải $f(x)=0$ — đúng kỹ năng đã học ở Chương 1.

Ví dụ mẫu

Ví dụ

Ví dụ 1 — Cận cho sẵn

1
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=\sqrt{x}$ , trục hoành, $x=0$ , $x=4$ quanh trục $Ox$ .
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=\sqrt{x}$, trục hoành, $x=0$, $x=4$ quanh trục $Ox$.
2
Với $x\in[0;4]$ , biểu thức $\sqrt{x}$ luôn xác định (TMĐK), nên có thể áp dụng công thức trực tiếp trên đoạn này.
Với $x\in[0;4]$, biểu thức $\sqrt{x}$ luôn xác định (TMĐK), nên có thể áp dụng công thức trực tiếp trên đoạn này.
3
$V=\pi\displaystyle\int_0^4 \big(\sqrt{x}\big)^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx$ — bình phương triệt tiêu căn bậc hai, đưa về một tích phân đa thức đơn giản.
$V=\pi\displaystyle\int_0^4 \big(\sqrt{x}\big)^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx$ — bình phương triệt tiêu căn bậc hai, đưa về một tích phân đa thức đơn giản.
4
$\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4=\pi\cdot \dfrac{16}{2}=8\pi$ .
$\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4=\pi\cdot \dfrac{16}{2}=8\pi$.
5
Vậy $V=8\pi$ (đơn vị thể tích), xấp xỉ $25{,}13$ khi lấy $\pi\approx 3{,}1416$ .
Vậy $V=8\pi$ (đơn vị thể tích), xấp xỉ $25{,}13$ khi lấy $\pi\approx 3{,}1416$.

Hình phẳng dưới

y=\sqrt{x}

trên

[0;4]

khi quay quanh

Ox

tạo ra khối có bán kính tại mỗi

x

là

\sqrt{x}

, lớn nhất bằng

2

tại

x=4

.Hình phẳng dưới $y=\sqrt{x}$ trên $[0;4]$ khi quay quanh $Ox$ tạo ra khối có bán kính tại mỗi $x$ là $\sqrt{x}$, lớn nhất bằng $2$ tại $x=4$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Cận phải tự tìm bằng cách giải f(x) = 0

1
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $(P):y=4x-x^2$ và trục hoành quanh trục $Ox$ .
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $(P):y=4x-x^2$ và trục hoành quanh trục $Ox$.
2
Đề không cho sẵn $a,b$ , nên trước hết giải $4x-x^2=0 \iff x(4-x)=0 \iff x=0$ hoặc $x=4$ . Vậy $a=0$ , $b=4$ — hình phẳng khép kín tự nhiên nằm giữa hai nghiệm này.
Đề không cho sẵn $a,b$, nên trước hết giải $4x-x^2=0 \iff x(4-x)=0 \iff x=0$ hoặc $x=4$. Vậy $a=0$, $b=4$ — hình phẳng khép kín tự nhiên nằm giữa hai nghiệm này.
3
$V=\pi\displaystyle\int_0^4 (4x-x^2)^2\,dx$ . Khai triển $(4x-x^2)^2=16x^2-8x^3+x^4$ trước khi lấy nguyên hàm, để tránh nhầm khi tích phân một biểu thức bình phương của tổng.
$V=\pi\displaystyle\int_0^4 (4x-x^2)^2\,dx$. Khai triển $(4x-x^2)^2=16x^2-8x^3+x^4$ trước khi lấy nguyên hàm, để tránh nhầm khi tích phân một biểu thức bình phương của tổng.
4
$\pi\displaystyle\int_0^4 (16x^2-8x^3+x^4)\,dx=\pi\left[\dfrac{16x^3}{3}-2x^4+\dfrac{x^5}{5}\right]_0^4$ . Tại $x=4$ : $\dfrac{16\cdot 64}{3}-2\cdot 256+\dfrac{1024}{5}=\dfrac{1024}{3}-512+\dfrac{1024}{5}$ . Quy đồng mẫu 15: $\dfrac{5120}{15}-\dfrac{7680}{15}+\dfrac{3072}{15}=\dfrac{512}{15}$ .
$\pi\displaystyle\int_0^4 (16x^2-8x^3+x^4)\,dx=\pi\left[\dfrac{16x^3}{3}-2x^4+\dfrac{x^5}{5}\right]_0^4$. Tại $x=4$: $\dfrac{16\cdot 64}{3}-2\cdot 256+\dfrac{1024}{5}=\dfrac{1024}{3}-512+\dfrac{1024}{5}$. Quy đồng mẫu 15: $\dfrac{5120}{15}-\dfrac{7680}{15}+\dfrac{3072}{15}=\dfrac{512}{15}$.
5
Vậy $V=\dfrac{512\pi}{15}$ (đơn vị thể tích), xấp xỉ $107{,}23$ .
Vậy $V=\dfrac{512\pi}{15}$ (đơn vị thể tích), xấp xỉ $107{,}23$.

Hai nghiệm

x=0

và

x=4

của

4x-x^2=0

là cận của tích phân — phải tự tìm vì đề không cho sẵn hai đường thẳng đứng.Hai nghiệm $x=0$ và $x=4$ của $4x-x^2=0$ là cận của tích phân — phải tự tìm vì đề không cho sẵn hai đường thẳng đứng.

Bẫy hay gặp

Sai lầm thường gặp: khai triển sai $(4x-x^2)^2$ thành $16x^2-x^4$ (bỏ sót số hạng chéo $-8x^3$ ), hoặc nhầm quên bình phương mà tích phân thẳng $\pi\int_0^4(4x-x^2)\,dx$ — công thức thể tích luôn có $[f(x)]^2$ bên trong tích phân, không phải $f(x)$ đơn thuần, vì mỗi lát cắt là một hình tròn diện tích $\pi r^2$ chứ không phải một đoạn thẳng dài $r$ .

Sai lầm thường gặp: khai triển sai $(4x-x^2)^2$ thành $16x^2-x^4$ (bỏ sót số hạng chéo $-8x^3$), hoặc nhầm quên bình phương mà tích phân thẳng $\pi\int_0^4(4x-x^2)\,dx$ — công thức thể tích luôn có $[f(x)]^2$ bên trong tích phân, không phải $f(x)$ đơn thuần, vì mỗi lát cắt là một hình tròn diện tích $\pi r^2$ chứ không phải một đoạn thẳng dài $r$.

Kiểm tra kết quả bằng công thức hình học đã biết

Trước khi luyện tập, đáng chú ý một cách kiểm tra nhanh mà không cần tính lại toàn bộ tích phân: khi $f(x)$ có dạng đặc biệt, khối tròn xoay tạo thành trùng với một hình đã học ở lớp dưới, và ta có thể đối chiếu hai kết quả. Nếu $f(x)=r$ là hằng số trên $[0;h]$ (đồ thị là đường thẳng song song trục hoành), khối tạo thành là một hình trụ bán kính $r$ , chiều cao $h$ : $V=\pi\int_0^h r^2\,dx=\pi r^2 h$ — đúng bằng công thức thể tích hình trụ. Nếu $f(x)=kx$ là hàm bậc nhất qua gốc toạ độ trên $[0;h]$ (đồ thị là đoạn thẳng xiên qua gốc), khối tạo thành là một hình nón bán kính đáy $r=kh$ , chiều cao $h$ : $V=\pi\int_0^h (kx)^2\,dx=\pi k^2\dfrac{h^3}{3}=\dfrac{1}{3}\pi (kh)^2 h=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ — đúng bằng công thức thể tích hình nón. Hai trường hợp riêng này không phải để học thuộc thêm công thức mới, mà để có một cách tự kiểm tra bài làm khi đường sinh của khối tròn xoay tình cờ là một đoạn thẳng.

Trước khi luyện tập, đáng chú ý một cách kiểm tra nhanh mà không cần tính lại toàn bộ tích phân: khi $f(x)$ có dạng đặc biệt, khối tròn xoay tạo thành trùng với một hình đã học ở lớp dưới, và ta có thể đối chiếu hai kết quả. Nếu $f(x)=r$ là hằng số trên $[0;h]$ (đồ thị là đường thẳng song song trục hoành), khối tạo thành là một hình trụ bán kính $r$, chiều cao $h$: $V=\pi\int_0^h r^2\,dx=\pi r^2 h$ — đúng bằng công thức thể tích hình trụ. Nếu $f(x)=kx$ là hàm bậc nhất qua gốc toạ độ trên $[0;h]$ (đồ thị là đoạn thẳng xiên qua gốc), khối tạo thành là một hình nón bán kính đáy $r=kh$, chiều cao $h$: $V=\pi\int_0^h (kx)^2\,dx=\pi k^2\dfrac{h^3}{3}=\dfrac{1}{3}\pi (kh)^2 h=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ — đúng bằng công thức thể tích hình nón. Hai trường hợp riêng này không phải để học thuộc thêm công thức mới, mà để có một cách tự kiểm tra bài làm khi đường sinh của khối tròn xoay tình cờ là một đoạn thẳng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Hai ví dụ trên khác nhau đúng một chỗ: Ví dụ 1 có cận cho sẵn, còn Ví dụ 2 phải tự tìm cận bằng cách giải $f(x)=0$ trước khi tích phân. Bỏ sót bước tìm cận — hoặc quên bình phương $f(x)$ trước khi nhân $\pi$ — là hai lỗi thường gặp nhất khi tính thể tích khối tròn xoay.

Bài tiếp theo đặt công thức này vào một tình huống thực tế: mặt cắt dọc của một chiếc bình, chiếc ly hay chiếc phễu chính là đồ thị của một hàm số, và việc tính thể tích chất lỏng bình chứa được quy về đúng bài toán thể tích khối tròn xoay vừa học.