Đường thẳng là đường ngắn nhất: cực trị PA + PB khi A, B khác phía

Với bài toán mở đầu, biết khoảng cách theo đường chim bay từ nhà An ($A$) đến nhà Bình ($B$) là $AB = 7{,}5\text{ km}$. Tìm tổng quãng đường ngắn nhất mà hai bạn phải đi.

Vì $A$, $B$ nằm khác phía đường $d$, đoạn $AB$ cắt $d$ tại đúng một điểm $P_0$. Chọn quán tại $P_0$.

Với mọi điểm $P$ khác $P_0$ trên $d$: $A$, $P$, $B$ không thẳng hàng nên $PA+PB > AB$ (bất đẳng thức tam giác trong $\triangle APB$). Tại $P_0$: $A$, $P_0$, $B$ thẳng hàng nên $P_0A+P_0B=AB$.

Gọi $P_0 = AB \cap d$. Vì $A$, $B$ khác phía $d$ nên giao điểm này tồn tại và duy nhất. (1) Với $P_0$: $A$, $P_0$, $B$ thẳng hàng, suy ra $P_0A+P_0B=AB$. (2) Xét $P$ bất kỳ trên $d$, $P \ne P_0$: khi đó $A$, $P$, $B$ không thẳng hàng nên tạo thành $\triangle APB$, theo bất đẳng thức tam giác $PA+PB>AB$. (3) Từ (2) và (3), $P_0A+P_0B = AB < PA+PB$ với mọi $P\ne P_0$. Do đó $P_0$ là điểm cho tổng nhỏ nhất, và giá trị nhỏ nhất bằng $AB=7{,}5\text{ km}$. Vậy quán nên đặt tại giao điểm $AB\cap d$, khi đó tổng quãng đường ngắn nhất là $7{,}5\text{ km}$.

Cho đoạn thẳng $MN$ và điểm $A$ cố định (không thuộc đường thẳng $MN$). Tìm điểm $P$ trên đoạn $MN$ (không phải cả đường thẳng chứa $MN$) sao cho $PA+PB$ nhỏ nhất, với $B$ là một điểm cố định khác phía đường thẳng $MN$ so với $A$.

Theo Ví dụ 1, điểm lý tưởng vẫn là $P_0 = AB \cap MN$ (giao với cả đường thẳng chứa $MN$). Nhưng lần này $P$ bị ràng buộc phải nằm trong đoạn $MN$, chứ không phải toàn đường thẳng.

Nếu $P_0$ tính được lại rơi ra ngoài đoạn $MN$ (ngoài khoảng từ $M$ đến $N$), thì $P_0$ không phải là đáp số hợp lệ — đề bài không cho phép chọn điểm đó. Khi đó phải so sánh giá trị $MA+MB$ và $NA+NB$ tại hai đầu mút, điểm nào cho tổng nhỏ hơn thì đó là đáp số đúng trên đoạn $MN$.

Xét $P_0 = AB \cap$ (đường thẳng chứa $MN$). (1) Nếu $P_0 \in [M;N]$: theo Ví dụ 1, $P_0$ cho $PA+PB$ nhỏ nhất trên cả đường thẳng, nên cũng nhỏ nhất trên đoạn $MN$ — chọn $P=P_0$. Nếu $P_0 \notin [M;N]$: với mọi $P \in [M;N]$, hàm $f(P)=PA+PB$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $P_0$ trên toàn đường thẳng và tăng dần khi $P$ càng xa $P_0$ về hai phía; do $[M;N]$ không chứa $P_0$, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đạt tại đầu mút gần $P_0$ hơn. So sánh trực tiếp $MA+MB$ với $NA+NB$ để chọn đầu mút đúng. Vậy phải kiểm tra $P_0$ có thuộc đoạn $MN$ hay không trước khi kết luận — đây là bước học sinh thường bỏ sót.

Công thức "$P_0=AB\cap d$" chỉ đúng khi $d$ là ràng buộc không giới hạn (cả đường thẳng). Khi ràng buộc là một đoạn hữu hạn, luôn phải kiểm tra $P_0$ có nằm trong đoạn đó không — nếu không, đáp số chuyển về một đầu mút.