Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Dựng điểm đối xứng trục và bất biến khoảng cách
Mục tiêu bài học
Sau bài này em dựng được điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng chỉ bằng thước và êke, và dùng được tính chất **mọi điểm trên trục cách đều một điểm và ảnh đối xứng của nó** để giải một bài toán không cho sẵn số đo nào. Đây là bổ đề nền — phần lớn bài toán đối xứng và quỹ tích phía sau của khoá đều quay lại dùng đúng bất biến này.
Kiến thức cần có trước
Em cần nhớ ba điều: cách dựng đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng, trường hợp bằng nhau cạnh-góc-cạnh của tam giác, và định lí Pythagore. Khái niệm điểm đối xứng qua một đường thẳng đã học ở lớp 7 — bài này dùng lại đúng định nghĩa đó, không nhắc lại từ đầu.
Bài chuẩn so với bài HSG
Đề chuẩn thường cho sẵn hình vẽ và hỏi "điểm nào là ảnh đối xứng của điểm nào", nhận diện bằng mắt là xong. Bài hôm nay đi xa hơn: không hỏi điểm nào đối xứng với điểm nào, mà bắt em chứng minh một tính chất đúng cho MỌI điểm trên trục, không riêng một vị trí cụ thể — và đề không cho số đo nào để tính trực tiếp, chỉ có một đường thẳng và một phép dựng.
Khởi động
Cho đoạn thẳng $PP'$ và trung điểm $H$ của nó. Nếu $M$ là điểm sao cho $MH \perp PP'$, hai tam giác $MHP$ và $MHP'$ có bằng nhau không? Có, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh: $MH$ chung, $HP = HP'$, hai góc vuông tại $H$ bằng nhau. Suy ra $MP = MP'$ ngay lập tức. Bài học hôm nay chỉ đổi tên: $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $P$ xuống một đường thẳng $d$, còn $P'$ là điểm đối xứng của $P$ qua $d$ — đúng cấu hình vừa xét, không có gì mới về kỹ thuật.
Bài toán mở đầu
**Bài toán.** Cho đường thẳng $d$ và điểm $P$ không thuộc $d$. Gọi $P'$ là điểm đối xứng của $P$ qua $d$. Chứng minh: với mọi điểm $M$ thuộc $d$, ta có $MP = MP'$.
Đề không cho toạ độ, không cho số đo cụ thể — chỉ có một đường thẳng, một điểm và một phép dựng. Cái khó không nằm ở tính toán mà ở việc nhận ra vì sao kết luận đúng cho tất cả các vị trí của $M$ trên $d$, kể cả khi $M$ trùng $H$.
Ý tưởng mấu chốt
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $P$ xuống $d$ — đây cũng chính là điểm dùng để dựng $P'$, vì $P'$ đối xứng với $P$ qua $d$ nghĩa là $H$ là trung điểm $PP'$ và $PP' \perp d$. Với $M$ bất kỳ trên $d$, hai tam giác vuông $MHP$ và $MHP'$ có cạnh $MH$ chung, cạnh góc vuông $HP = HP'$, và góc vuông tại $H$ — bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-vuông. Từ đó $MP = MP'$.
Vì sao ý tưởng này tự nhiên? Vì $H$ đã mang sẵn hai vai trò trong đề bài — vừa là chân đường vuông góc, vừa là trung điểm của $PP'$ — nên nó tự động là đỉnh chung của hai tam giác cần so sánh. Không cần dựng thêm đường phụ nào: mọi yếu tố cho phép chứng minh cạnh-góc-vuông đã có sẵn trong chính định nghĩa của phép đối xứng trục.
Lời giải có hình
Điểm M bất kỳ trên trục d cách đều P và ảnh đối xứng P'
Bước 1
Cho đường thẳng $d$ và điểm $P$ không thuộc $d$.
Toạ độ thật dùng để kiểm chứng bất biến khoảng cách qua phép đối xứng trục.
Ví dụ
Ví dụ 1 — Dùng bất biến để tính nhanh, kết hợp Pythagore
1
Cho $d$, $P$, $P'$ đối xứng qua $d$, $H$ là chân đường vuông góc từ $P$. Biết $MH = 4$ và $HP = 3$. Tính $MP$ và $MP'$.
2
Tam giác $MHP$ vuông tại $H$ nên $MP^2 = MH^2 + HP^2 = 16 + 9 = 25$, suy ra $MP = 5$.
3
Theo bổ đề vừa chứng minh, mọi điểm trên $d$ cách đều $P$ và $P'$, nên $MP' = MP = 5$ — không cần dựng lại tam giác $MHP'$ và tính Pythagore lần hai.
4
Một khi đã biết $M$ nằm trên trục đối xứng của $P, P'$, khoảng cách đến $P'$ luôn suy ra được miễn phí từ khoảng cách đến $P$ — đây là chỗ bài toán "tiết kiệm" một phép tính, và cũng là chỗ học sinh hay quên mất, tính lại từ đầu một cách thừa thãi.
5
Tam giác $MHP$ vuông tại $H$ (vì $PH \perp d$ và $M \in d$). Theo định lí Pythagore: $MP^2 = MH^2 + HP^2 = 4^2 + 3^2 = 25$, suy ra $MP = 5$. (1)
Vì $M \in d$ và $P'$ đối xứng với $P$ qua $d$, theo bổ đề đã chứng minh ở phần lý thuyết: $MP' = MP$. (2)
Từ (1) và (2): $MP' = 5$.
Vậy $MP = MP' = 5$.
Ví dụ
Ví dụ 2 — Chiều đảo: điểm cách đều P, P' có bắt buộc nằm trên d?
1
Bài toán gốc chứng minh: $M \in d \Rightarrow MP = MP'$. Chiều ngược lại có đúng không: nếu một điểm $N$ (chưa biết vị trí) thoả $NP = NP'$, $N$ có bắt buộc nằm trên $d$?
2
$NP = NP'$ nghĩa là $N$ cách đều hai đầu mút của đoạn $PP'$, tức $N$ nằm trên đường trung trực của $PP'$. Mặt khác $d$ đi qua trung điểm $H$ của $PP'$ và $d \perp PP'$ — đúng định nghĩa đường trung trực của $PP'$. Vậy $d$ chính là đường trung trực của $PP'$.
3
Vì đường trung trực của một đoạn thẳng là duy nhất, $N$ cách đều $P, P'$ khi và chỉ khi $N \in d$. Chiều đảo đúng — nhưng lý do không phải "hiển nhiên", mà vì $d$ trùng khít với đường trung trực của $PP'$.
4
Tập hợp mọi điểm cách đều hai điểm cố định là một hình cụ thể (đường trung trực) — đây chính là ý tưởng "quỹ tích" mà khoá học sẽ đào sâu ở chương sau: $d$ không chỉ là trục đối xứng, nó còn là quỹ tích các điểm cách đều $P$ và $P'$.
5
Giả sử $N$ thoả $NP = NP'$. Khi đó $N$ cách đều hai đầu mút $P, P'$ nên $N$ thuộc đường trung trực của đoạn $PP'$. (1)
Mặt khác, theo cách dựng, $d$ đi qua trung điểm $H$ của $PP'$ và $d \perp PP'$, nên $d$ chính là đường trung trực của $PP'$. (2)
Từ (1) và (2), và vì đường trung trực của một đoạn thẳng là duy nhất, suy ra $N \in d$.
Vậy $NP = NP' \iff N \in d$: chiều đảo đúng.
Sai lầm phổ biến
(1) Quên $H$ phải là chân đường VUÔNG GÓC — nếu lấy một đoạn xiên từ $P$ xuống $d$ rồi gọi điểm đó là điểm đối xứng thì $HP \ne HP'$ và toàn bộ lập luận sụp đổ; (2) coi "mọi điểm trên $d$ cách đều $P, P'$" và "mọi điểm cách đều $P, P'$ đều nằm trên $d$" là một mệnh đề duy nhất hiển nhiên — đây là hai chiều khác nhau, chiều thứ hai cần chứng minh riêng như Ví dụ 2.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Thử thách
Tổng kết
Khi một điểm nằm trên trục đối xứng của hai điểm khác, khoảng cách đến điểm này luôn suy ra được từ khoảng cách đến điểm kia — không cần đo lại. Và bản thân trục đối xứng chính là quỹ tích các điểm cách đều hai điểm đó: một đường thẳng, không hơn không kém.
Bài tiếp theo dùng đúng bổ đề này để giải một bài toán khác hẳn về hình thức: tìm điểm trên một đường thẳng sao cho tổng khoảng cách đến hai điểm cho trước là nhỏ nhất. Câu hỏi ở phần Thử thách vừa rồi đã hé lộ đúng chìa khoá — chỉ còn việc trình bày nó thành một lời giải hoàn chỉnh.
Sau bài này em dựng được điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng chỉ bằng thước và êke, và dùng được tính chất mọi điểm trên trục cách đều một điểm và ảnh đối xứng của nó để giải một bài toán không cho sẵn số đo nào. Đây là bổ đề nền — phần lớn bài toán đối xứng và quỹ tích phía sau của khoá đều quay lại dùng đúng bất biến này.
Đề chuẩn thường cho sẵn hình vẽ và hỏi "điểm nào là ảnh đối xứng của điểm nào", nhận diện bằng mắt là xong. Bài hôm nay đi xa hơn: không hỏi điểm nào đối xứng với điểm nào, mà bắt em chứng minh một tính chất đúng cho MỌI điểm trên trục, không riêng một vị trí cụ thể — và đề không cho số đo nào để tính trực tiếp, chỉ có một đường thẳng và một phép dựng.
Cho đoạn thẳng PP′ và trung điểm H của nó. Nếu M là điểm sao cho MH⊥PP′, hai tam giác MHP và MHP′ có bằng nhau không? Có, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh: MH chung, HP=HP′, hai góc vuông tại H bằng nhau. Suy ra MP=MP′ ngay lập tức. Bài học hôm nay chỉ đổi tên: H là chân đường vuông góc hạ từ P xuống một đường thẳng d, còn P′ là điểm đối xứng của P qua d — đúng cấu hình vừa xét, không có gì mới về kỹ thuật.
Bài toán. Cho đường thẳng d và điểm P không thuộc d. Gọi P′ là điểm đối xứng của P qua d. Chứng minh: với mọi điểm M thuộc d, ta có MP=MP′.
Đề không cho toạ độ, không cho số đo cụ thể — chỉ có một đường thẳng, một điểm và một phép dựng. Cái khó không nằm ở tính toán mà ở việc nhận ra vì sao kết luận đúng cho tất cả các vị trí của M trên d, kể cả khi M trùng H.
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ P xuống d — đây cũng chính là điểm dùng để dựng P′, vì P′ đối xứng với P qua d nghĩa là H là trung điểm PP′ và PP′⊥d. Với M bất kỳ trên d, hai tam giác vuông MHP và MHP′ có cạnh MH chung, cạnh góc vuông HP=HP′, và góc vuông tại H — bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-vuông. Từ đó MP=MP′.
Vì sao ý tưởng này tự nhiên? Vì H đã mang sẵn hai vai trò trong đề bài — vừa là chân đường vuông góc, vừa là trung điểm của PP′ — nên nó tự động là đỉnh chung của hai tam giác cần so sánh. Không cần dựng thêm đường phụ nào: mọi yếu tố cho phép chứng minh cạnh-góc-vuông đã có sẵn trong chính định nghĩa của phép đối xứng trục.
Cho đường thẳng d và điểm P không thuộc d.
Cho d, P, P′ đối xứng qua d, H là chân đường vuông góc từ P. Biết MH=4 và HP=3. Tính MP và MP′.
Tam giác MHP vuông tại H nên MP2=MH2+HP2=16+9=25, suy ra MP=5.
Theo bổ đề vừa chứng minh, mọi điểm trên d cách đều P và P′, nên MP′=MP=5 — không cần dựng lại tam giác MHP′ và tính Pythagore lần hai.
Một khi đã biết M nằm trên trục đối xứng của P,P′, khoảng cách đến P′ luôn suy ra được miễn phí từ khoảng cách đến P — đây là chỗ bài toán "tiết kiệm" một phép tính, và cũng là chỗ học sinh hay quên mất, tính lại từ đầu một cách thừa thãi.
Tam giác MHP vuông tại H (vì PH⊥d và M∈d). Theo định lí Pythagore: MP2=MH2+HP2=42+32=25, suy ra MP=5. (1)
Vì M∈d và P′ đối xứng với P qua d, theo bổ đề đã chứng minh ở phần lý thuyết: MP′=MP. (2)
Từ (1) và (2): MP′=5.
Vậy MP=MP′=5.
Bài toán gốc chứng minh: M∈d⇒MP=MP′. Chiều ngược lại có đúng không: nếu một điểm N (chưa biết vị trí) thoả NP=NP′, N có bắt buộc nằm trên d?
NP=NP′ nghĩa là N cách đều hai đầu mút của đoạn PP′, tức N nằm trên đường trung trực của PP′. Mặt khác d đi qua trung điểm H của PP′ và d⊥PP′ — đúng định nghĩa đường trung trực của PP′. Vậy d chính là đường trung trực của PP′.
Vì đường trung trực của một đoạn thẳng là duy nhất, N cách đều P,P′ khi và chỉ khi N∈d. Chiều đảo đúng — nhưng lý do không phải "hiển nhiên", mà vì d trùng khít với đường trung trực của PP′.
Tập hợp mọi điểm cách đều hai điểm cố định là một hình cụ thể (đường trung trực) — đây chính là ý tưởng "quỹ tích" mà khoá học sẽ đào sâu ở chương sau: d không chỉ là trục đối xứng, nó còn là quỹ tích các điểm cách đều P và P′.
Giả sử N thoả NP=NP′. Khi đó N cách đều hai đầu mút P,P′ nên N thuộc đường trung trực của đoạn PP′. (1)
Mặt khác, theo cách dựng, d đi qua trung điểm H của PP′ và d⊥PP′, nên d chính là đường trung trực của PP′. (2)
Từ (1) và (2), và vì đường trung trực của một đoạn thẳng là duy nhất, suy ra N∈d.
Vậy NP=NP′⟺N∈d: chiều đảo đúng.
(1) Quên H phải là chân đường VUÔNG GÓC — nếu lấy một đoạn xiên từ P xuống d rồi gọi điểm đó là điểm đối xứng thì HP=HP′ và toàn bộ lập luận sụp đổ; (2) coi "mọi điểm trên d cách đều P,P′" và "mọi điểm cách đều P,P′ đều nằm trên d" là một mệnh đề duy nhất hiển nhiên — đây là hai chiều khác nhau, chiều thứ hai cần chứng minh riêng như Ví dụ 2.