Bài học

Không gian mẫu, biến cố và xác suất lí thuyết

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em viết được không gian mẫu của một phép thử đơn giản, xác định được một biến cố, và tính được xác suất lí thuyết của biến cố đó bằng công thức $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ .

Kiến thức nền cần nhớ

Ở lớp 6, lớp 7 em đã tính xác suất bằng cách làm thí nghiệm thật — tung đồng xu, gieo xúc xắc nhiều lần rồi lấy tỉ số giữa số lần một kết quả xuất hiện và tổng số lần thử. Cách đó gọi là xác suất thực nghiệm: muốn có số, bắt buộc phải thử.

Một chiếc xúc xắc 6 mặt còn nguyên trong hộp, chưa ai gieo lần nào. Có cách nào tính được xác suất ra mặt 6 chấm mà không cần gieo thử lần nào không? Câu trả lời nằm ở chính cấu tạo của con xúc xắc, không nằm ở một lần thử nào cả.

Kiến thức trọng tâm

Phép thử ngẫu nhiên là một hành động có thể lặp lại nhiều lần trong cùng điều kiện, mỗi lần cho ra một trong số các kết quả có thể, nhưng không thể đoán trước chắc chắn kết quả nào sẽ xảy ra ở một lần cụ thể — ví dụ gieo một con xúc xắc, tung một đồng xu, hay lấy ngẫu nhiên một viên bi từ túi.

Không gian mẫu, kí hiệu $\Omega$ , là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Gieo một con xúc xắc, $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$ , $n(\Omega)=6$ . Biến cố là một tập con của không gian mẫu, ứng với một hay nhiều kết quả cùng thoả một điều kiện nào đó — chẳng hạn biến cố "xuất hiện số chẵn" gồm các kết quả $\{2;4;6\}$ .

Không gian mẫu, kí hiệu $\Omega$, là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Gieo một con xúc xắc, $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$, $n(\Omega)=6$. Biến cố là một tập con của không gian mẫu, ứng với một hay nhiều kết quả cùng thoả một điều kiện nào đó — chẳng hạn biến cố "xuất hiện số chẵn" gồm các kết quả $\{2;4;6\}$.

Nếu mỗi kết quả trong không gian mẫu có khả năng xảy ra như nhau — gọi là các kết quả đồng khả năng — ta tính được xác suất lí thuyết của một biến cố $A$ theo công thức $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ , trong đó $n(A)$ là số kết quả thuận lợi cho $A$ , còn $n(\Omega)$ là tổng số kết quả có thể. Một con xúc xắc cân đối, một đồng xu cân đối, hay bốc ngẫu nhiên trong một túi bi giống hệt nhau về kích thước đều cho các kết quả đồng khả năng.

Nếu mỗi kết quả trong không gian mẫu có khả năng xảy ra như nhau — gọi là các kết quả đồng khả năng — ta tính được xác suất lí thuyết của một biến cố $A$ theo công thức $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$, trong đó $n(A)$ là số kết quả thuận lợi cho $A$, còn $n(\Omega)$ là tổng số kết quả có thể. Một con xúc xắc cân đối, một đồng xu cân đối, hay bốc ngẫu nhiên trong một túi bi giống hệt nhau về kích thước đều cho các kết quả đồng khả năng.

Khác với xác suất thực nghiệm — phải thực hiện phép thử nhiều lần rồi mới có số liệu để tính tỉ số — xác suất lí thuyết tính được ngay từ cấu tạo của phép thử, không cần thử một lần nào. Với xúc xắc cân đối, xác suất ra mặt 6 chấm luôn là $\dfrac{1}{6}$ , dù ta có gieo hay chưa từng gieo lần nào.

Khác với xác suất thực nghiệm — phải thực hiện phép thử nhiều lần rồi mới có số liệu để tính tỉ số — xác suất lí thuyết tính được ngay từ cấu tạo của phép thử, không cần thử một lần nào. Với xúc xắc cân đối, xác suất ra mặt 6 chấm luôn là $\dfrac{1}{6}$, dù ta có gieo hay chưa từng gieo lần nào.

Công thức $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ chỉ đúng khi các kết quả trong $\Omega$ đồng khả năng — đây là điều kiện bắt buộc, không phải mặc định. Một chiếc vòng quay chia thành 4 phần không bằng nhau, ba phần nhỏ ghi "trượt" và một phần to gấp ba lần cả ba phần kia cộng lại ghi "trúng thưởng", thì bốn phần này không đồng khả năng: xác suất kim dừng ở phần to lớn hơn hẳn xác suất dừng ở mỗi phần nhỏ, dù cả hai đều là "một phần của vòng quay". Trước khi áp dụng công thức, luôn phải kiểm tra xem các kết quả cơ bản có thật sự cân bằng về khả năng xảy ra hay không.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Xác suất ra số chẵn khi gieo xúc xắc

1
Gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối. Tính xác suất để số chấm xuất hiện là số chẵn.
2
$\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$ , $n(\Omega)=6$ . Xúc xắc cân đối nên 6 kết quả này đồng khả năng.
$\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$, $n(\Omega)=6$. Xúc xắc cân đối nên 6 kết quả này đồng khả năng.
3
Gọi $A$ là biến cố "xuất hiện số chẵn". Các kết quả thuận lợi cho $A$ là $\{2;4;6\}$ , nên $n(A)=3$ .
Gọi $A$ là biến cố "xuất hiện số chẵn". Các kết quả thuận lợi cho $A$ là $\{2;4;6\}$, nên $n(A)=3$.
4
$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ .
$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
5
Vậy xác suất để gieo được số chẵn là $\dfrac{1}{2}$ .
Vậy xác suất để gieo được số chẵn là $\dfrac{1}{2}$.

Ví dụ

Xác suất lấy bi trong túi có màu khác số lượng

1
Một túi có 3 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh, kích thước và khối lượng giống hệt nhau. Lấy ngẫu nhiên 1 viên. Tính xác suất lấy được bi đỏ.
2
Vì các viên bi giống hệt nhau về kích thước, mỗi viên có khả năng được lấy như nhau. Không gian mẫu gồm 5 kết quả cơ bản (5 viên bi), $n(\Omega)=5$ .
Vì các viên bi giống hệt nhau về kích thước, mỗi viên có khả năng được lấy như nhau. Không gian mẫu gồm 5 kết quả cơ bản (5 viên bi), $n(\Omega)=5$.
3
Gọi $B$ là biến cố "lấy được bi đỏ". Có 3 viên bi đỏ trong túi nên $n(B)=3$ .
Gọi $B$ là biến cố "lấy được bi đỏ". Có 3 viên bi đỏ trong túi nên $n(B)=3$.
4
$P(B)=\dfrac{n(B)}{n(\Omega)}=\dfrac{3}{5}$ .
$P(B)=\dfrac{n(B)}{n(\Omega)}=\dfrac{3}{5}$.
5
Vậy xác suất lấy được bi đỏ là $\dfrac{3}{5}$ , tức 60%.
Vậy xác suất lấy được bi đỏ là $\dfrac{3}{5}$, tức 60%.

Ví dụ

Xác suất liên quan đến bội số (dạng thi)

1
Một hộp có 10 tấm thẻ giống nhau, đánh số từ 1 đến 10. Lấy ngẫu nhiên 1 tấm thẻ. Tính xác suất lấy được tấm thẻ mang số là bội của 3.
2
Các tấm thẻ giống hệt nhau nên đồng khả năng. $\Omega=\{1;2;\ldots;10\}$ , $n(\Omega)=10$ .
Các tấm thẻ giống hệt nhau nên đồng khả năng. $\Omega=\{1;2;\ldots;10\}$, $n(\Omega)=10$.
3
Gọi $C$ là biến cố "số ghi trên thẻ là bội của 3". Trong khoảng từ 1 đến 10, các bội của 3 là $\{3;6;9\}$ , nên $n(C)=3$ .
Gọi $C$ là biến cố "số ghi trên thẻ là bội của 3". Trong khoảng từ 1 đến 10, các bội của 3 là $\{3;6;9\}$, nên $n(C)=3$.
4
$P(C)=\dfrac{n(C)}{n(\Omega)}=\dfrac{3}{10}$ .
$P(C)=\dfrac{n(C)}{n(\Omega)}=\dfrac{3}{10}$.
5
Vậy xác suất lấy được tấm thẻ mang số là bội của 3 là $\dfrac{3}{10}$ .
Vậy xác suất lấy được tấm thẻ mang số là bội của 3 là $\dfrac{3}{10}$.

Ba ví dụ trên đều làm theo đúng năm bước ở sơ đồ trên: xác định phép thử, liệt kê không gian mẫu, xác định biến cố, đếm kết quả thuận lợi, rồi lập tỉ số. Ví dụ thứ ba còn cho thấy xác suất lí thuyết không chỉ dùng cho xúc xắc hay đồng xu, mà áp dụng được cho bất kì phép thử nào có các kết quả đồng khả năng, kể cả khi biến cố gắn với một kiến thức khác — ở đây là khái niệm bội số đã học từ lớp 6.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Bẫy phổ biến nhất: đếm theo "loại" thay vì đếm từng kết quả cơ bản. Với túi 1 bi đỏ và 3 bi xanh, nhiều bạn nói "chỉ có 2 màu nên $P(\text{đỏ})=P(\text{xanh})=\dfrac{1}{2}$ " — sai, vì hai màu không có số lượng bằng nhau. Không gian mẫu đúng phải đếm từng viên bi: $n(\Omega)=4$ , nên $P(\text{đỏ})=\dfrac{1}{4}$ và $P(\text{xanh})=\dfrac{3}{4}$ .

Bẫy phổ biến nhất: đếm theo "loại" thay vì đếm từng kết quả cơ bản. Với túi 1 bi đỏ và 3 bi xanh, nhiều bạn nói "chỉ có 2 màu nên $P(\text{đỏ})=P(\text{xanh})=\dfrac{1}{2}$" — sai, vì hai màu không có số lượng bằng nhau. Không gian mẫu đúng phải đếm từng viên bi: $n(\Omega)=4$, nên $P(\text{đỏ})=\dfrac{1}{4}$ và $P(\text{xanh})=\dfrac{3}{4}$.

Kiểm tra nhanh

Xác suất lí thuyết cho một con số cố định, tính được ngay từ cấu tạo của phép thử khi các kết quả đồng khả năng — không cần thử nghiệm. Điều quan trọng nhất khi tính là đếm đúng không gian mẫu theo từng kết quả cơ bản, chứ không đếm theo "loại" hay "nhóm", vì các nhóm không phải lúc nào cũng có số lượng bằng nhau.

Nhưng nếu đem con xúc xắc đó ra gieo thật 100 lần, kết quả thực tế có trùng khớp hoàn toàn với con số lí thuyết không? Bài tiếp theo trả lời câu hỏi đó, đặt xác suất thực nghiệm cạnh xác suất lí thuyết vừa học.