Bài học

Khái niệm căn bậc hai số học

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nêu đúng định nghĩa căn bậc hai số học của một số không âm, phân biệt được $\sqrt{a}$ với hai căn bậc hai (một dương, một âm) của cùng một số, và so sánh được hai căn bậc hai số học mà không cần bấm máy tính hay tính giá trị gần đúng.

Kiến thức nền cần nhớ

Từ lớp 7, em đã biết bình phương của một số: $3^2=9$ và $(-3)^2=9$ — cả hai đều cho ra 9. Bài học này đi theo chiều ngược lại: cho số 9, tìm số nào bình phương lên đúng bằng 9. Em cũng cần nhớ khái niệm số không âm (số dương hoặc bằng 0), vì chính điều kiện đó tạo nên phần "số học" trong tên gọi căn bậc hai số học. Ý tưởng "đi ngược từ kết quả về số ban đầu" này sẽ lặp lại xuyên suốt cả khóa — mỗi loại căn thức đều là phép toán ngược của một phép lũy thừa quen thuộc, chỉ khác nhau ở bậc của lũy thừa đó.

Khởi động

Một tấm bạt hình vuông có diện tích 9 m². Cạnh của tấm bạt dài bao nhiêu mét? Cạnh là một chiều dài nên phải là số dương, nhưng lại có tới hai số mà bình phương lên bằng 9 là 3 và −3. Ta chọn số nào, và vì sao chỉ được chọn một? Câu trả lời nằm ngay trong định nghĩa dưới đây.

Kiến thức trọng tâm

Với một số $a \ge 0$ , mỗi số $b$ mà $b^2=a$ được gọi là một căn bậc hai của $a$ . Số 9 có hai căn bậc hai là 3 và −3, vì $3^2=(-3)^2=9$ . Nhưng khi nói đến chiều dài một cạnh, một khoảng cách hay bất kỳ đại lượng đo được nào, câu trả lời chỉ có thể là số không âm — đó là lý do lớp 9 định nghĩa riêng căn bậc hai số học: căn bậc hai số học của số $a \ge 0$ , ký hiệu $\sqrt{a}$ , là số $x \ge 0$ sao cho $x^2=a$ . Với $a=9$ ta có $\sqrt{9}=3$ , không phải −3, dù $(-3)^2$ cũng bằng 9.

Với một số $a \ge 0$, mỗi số $b$ mà $b^2=a$ được gọi là một căn bậc hai của $a$. Số 9 có hai căn bậc hai là 3 và −3, vì $3^2=(-3)^2=9$. Nhưng khi nói đến chiều dài một cạnh, một khoảng cách hay bất kỳ đại lượng đo được nào, câu trả lời chỉ có thể là số không âm — đó là lý do lớp 9 định nghĩa riêng **căn bậc hai số học**: căn bậc hai số học của số $a \ge 0$, ký hiệu $\sqrt{a}$, là số $x \ge 0$ sao cho $x^2=a$. Với $a=9$ ta có $\sqrt{9}=3$, không phải −3, dù $(-3)^2$ cũng bằng 9.

Vì $\sqrt{a}$ luôn không âm, hai căn bậc hai số học so sánh được với nhau đúng theo thứ tự của số nằm dưới dấu căn: với $a, b \ge 0$ , nếu $a<b$ thì $\sqrt{a}<\sqrt{b}$ , và ngược lại. Nghe có vẻ hiển nhiên, nhưng tính chất này rất mạnh — nó cho phép em so sánh hai căn bậc hai mà không cần biết giá trị gần đúng của chúng, chỉ cần so sánh hai số dưới dấu căn. Chẳng hạn không cần biết $\sqrt{50}$ xấp xỉ bao nhiêu, ta vẫn khẳng định chắc chắn $\sqrt{50}>\sqrt{49}=7$ , chỉ vì $50>49$ .

Vì $\sqrt{a}$ luôn không âm, hai căn bậc hai số học so sánh được với nhau đúng theo thứ tự của số nằm dưới dấu căn: với $a, b \ge 0$, nếu $a<b$ thì $\sqrt{a}<\sqrt{b}$, và ngược lại. Nghe có vẻ hiển nhiên, nhưng tính chất này rất mạnh — nó cho phép em so sánh hai căn bậc hai mà không cần biết giá trị gần đúng của chúng, chỉ cần so sánh hai số dưới dấu căn. Chẳng hạn không cần biết $\sqrt{50}$ xấp xỉ bao nhiêu, ta vẫn khẳng định chắc chắn $\sqrt{50}>\sqrt{49}=7$, chỉ vì $50>49$.

Cũng cần phân biệt rõ hai câu hỏi nghe có vẻ giống nhau. "Căn bậc hai số học của 9 là bao nhiêu" chỉ có một đáp số — 3. Còn "phương trình $x^2=9$ có nghiệm nào" lại có hai đáp số — $x=3$ và $x=-3$ . Ký hiệu $\sqrt{\ }$ chỉ trả lời câu hỏi thứ nhất; nó không bao giờ mang nghĩa "cả hai căn bậc hai" cùng lúc, dù đây là chỗ rất nhiều bạn nhầm lẫn khi mới học.

Cũng cần phân biệt rõ hai câu hỏi nghe có vẻ giống nhau. "Căn bậc hai số học của 9 là bao nhiêu" chỉ có một đáp số — 3. Còn "phương trình $x^2=9$ có nghiệm nào\" lại có hai đáp số — $x=3$ và $x=-3$. Ký hiệu $\sqrt{\ }$ chỉ trả lời câu hỏi thứ nhất; nó không bao giờ mang nghĩa \"cả hai căn bậc hai" cùng lúc, dù đây là chỗ rất nhiều bạn nhầm lẫn khi mới học.

\sqrt2

nằm gần 1,4 còn

\sqrt3

nằm gần 1,7 — đúng thứ tự

\sqrt2 < \sqrt3

vì

2 < 3

.$\sqrt2$ nằm gần 1,4 còn $\sqrt3$ nằm gần 1,7 — đúng thứ tự $\sqrt2 < \sqrt3$ vì $2 < 3$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính hai căn bậc hai số học đơn giản

1
Tính $\sqrt{16}$ và $\sqrt{0,25}$ .
Tính $\sqrt{16}$ và $\sqrt{0,25}$.
2
Ta cần số $x \ge 0$ sao cho $x^2=16$ . Vì $4^2=16$ và $4 \ge 0$ nên $\sqrt{16}=4$ .
Ta cần số $x \ge 0$ sao cho $x^2=16$. Vì $4^2=16$ và $4 \ge 0$ nên $\sqrt{16}=4$.
3
Ta cần $x \ge 0$ sao cho $x^2=0,25$ . Vì $0,5^2=0,25$ và $0,5 \ge 0$ nên $\sqrt{0,25}=0,5$ .
Ta cần $x \ge 0$ sao cho $x^2=0,25$. Vì $0,5^2=0,25$ và $0,5 \ge 0$ nên $\sqrt{0,25}=0,5$.
4
Vậy $\sqrt{16}=4$ và $\sqrt{0,25}=0,5$ .
Vậy $\sqrt{16}=4$ và $\sqrt{0,25}=0,5$.

Ví dụ

So sánh hai căn bậc hai không cần tính giá trị gần đúng

1
So sánh $\sqrt3$ và $\sqrt2$ .
So sánh $\sqrt3$ và $\sqrt2$.
2
Ta có $3>2\ge0$ . Theo tính chất so sánh hai căn bậc hai số học, số dưới dấu căn lớn hơn thì căn bậc hai số học cũng lớn hơn.
Ta có $3>2\ge0$. Theo tính chất so sánh hai căn bậc hai số học, số dưới dấu căn lớn hơn thì căn bậc hai số học cũng lớn hơn.
3
Vậy $\sqrt3 > \sqrt2$ .
Vậy $\sqrt3 > \sqrt2$.

Ví dụ

So sánh cạnh hai hình vuông khi chỉ biết diện tích

1
Một hình vuông có diện tích 45 cm², một hình vuông khác có diện tích 50 cm². Không tính giá trị gần đúng của căn bậc hai, hãy so sánh độ dài cạnh của hai hình vuông.
2
Cạnh của một hình vuông diện tích $S$ là số không âm mà bình phương bằng $S$ , tức cạnh $=\sqrt{S}$ . Gọi $a_1, a_2$ lần lượt là cạnh hai hình vuông, ta có $a_1=\sqrt{45}$ , $a_2=\sqrt{50}$ .
Cạnh của một hình vuông diện tích $S$ là số không âm mà bình phương bằng $S$, tức cạnh $=\sqrt{S}$. Gọi $a_1, a_2$ lần lượt là cạnh hai hình vuông, ta có $a_1=\sqrt{45}$, $a_2=\sqrt{50}$.
3
Vì $45<50$ , theo tính chất so sánh căn bậc hai số học ta có $\sqrt{45}<\sqrt{50}$ , tức $a_1<a_2$ .
Vì $45<50$, theo tính chất so sánh căn bậc hai số học ta có $\sqrt{45}<\sqrt{50}$, tức $a_1<a_2$.
4
Vậy cạnh hình vuông thứ nhất ngắn hơn cạnh hình vuông thứ hai, dù ta chưa hề tính giá trị gần đúng của hai căn thức — chỉ cần so sánh hai diện tích.

Ví dụ

Sắp xếp ba số theo thứ tự tăng dần

1
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: $\sqrt7$ , 3, $\sqrt8$ .
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: $\sqrt7$, 3, $\sqrt8$.
2
Viết $3=\sqrt9$ (vì $3\ge0$ , $3^2=9$ ) để cả ba số đều mang dạng căn bậc hai số học, dễ so sánh cùng một kiểu.
Viết $3=\sqrt9$ (vì $3\ge0$, $3^2=9$) để cả ba số đều mang dạng căn bậc hai số học, dễ so sánh cùng một kiểu.
3
$7<8<9$ , mà cả ba số đều không âm, nên theo tính chất so sánh: $\sqrt7<\sqrt8<\sqrt9$ .
$7<8<9$, mà cả ba số đều không âm, nên theo tính chất so sánh: $\sqrt7<\sqrt8<\sqrt9$.
4
Vậy thứ tự tăng dần là $\sqrt7<\sqrt8<3$ (vì $\sqrt9=3$ ).
Vậy thứ tự tăng dần là $\sqrt7<\sqrt8<3$ (vì $\sqrt9=3$).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn viết $\sqrt9=\pm3$ vì nhớ 9 có hai căn bậc hai. Nhưng ký hiệu $\sqrt{\ }$ luôn chỉ MỘT giá trị — giá trị không âm. Khi đề bài cần cả hai căn bậc hai (chẳng hạn giải $x^2=9$ ), phải viết $x=\pm\sqrt9=\pm3$ ; còn bản thân $\sqrt9$ chỉ là 3, không có dấu $\pm$ đứng trước.

Nhiều bạn viết $\sqrt9=\pm3$ vì nhớ 9 có hai căn bậc hai. Nhưng ký hiệu $\sqrt{\ }$ luôn chỉ MỘT giá trị — giá trị không âm. Khi đề bài cần cả hai căn bậc hai (chẳng hạn giải $x^2=9$), phải viết $x=\pm\sqrt9=\pm3$; còn bản thân $\sqrt9$ chỉ là 3, không có dấu $\pm$ đứng trước.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Căn bậc hai số học của $a\ge0$ là số không âm $\sqrt a$ mà $(\sqrt a)^2=a$ ; số dưới dấu căn càng lớn thì căn bậc hai số học càng lớn. Muốn so sánh một số nguyên với một căn thức, hãy đưa số nguyên về dạng căn bậc hai trước.

Căn bậc hai số học của $a\ge0$ là số không âm $\sqrt a$ mà $(\sqrt a)^2=a$; số dưới dấu căn càng lớn thì căn bậc hai số học càng lớn. Muốn so sánh một số nguyên với một căn thức, hãy đưa số nguyên về dạng căn bậc hai trước.

Định nghĩa $\sqrt a$ ở trên mới dùng cho một số cụ thể không âm. Bài sau trả lời câu hỏi tiếp theo: với một biểu thức chứa ẩn như $\sqrt{2x-3}$ , khi nào biểu thức đó thật sự có nghĩa? Em sẽ thấy điều kiện $a\ge0$ hôm nay chính là nền tảng của toàn bộ bài học tiếp theo.

Định nghĩa $\sqrt a$ ở trên mới dùng cho một số cụ thể không âm. Bài sau trả lời câu hỏi tiếp theo: với một biểu thức chứa ẩn như $\sqrt{2x-3}$, khi nào biểu thức đó thật sự có nghĩa? Em sẽ thấy điều kiện $a\ge0$ hôm nay chính là nền tảng của toàn bộ bài học tiếp theo.