Bài học

Ôn tập dạng bài tổng hợp thi vào lớp 10

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải trọn vẹn một bài toán rút gọn biểu thức chứa căn theo đúng cấu trúc thường gặp ở câu 1 đề tuyển sinh vào lớp 10: một phần tính giá trị số, một phần rút gọn biểu thức chứa ẩn, và một câu hỏi phụ dùng ngay kết quả rút gọn.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này tiếp tục không đưa kiến thức mới, mà ghép toàn bộ năm bài trước vào đúng cấu trúc một đề thi thật: câu 1a thường là tính giá trị một biểu thức số (không có ẩn), câu 1b là rút gọn một biểu thức chứa ẩn kèm điều kiện xác định, và câu 1c hỏi thêm một yêu cầu dựa trên kết quả câu 1b — tìm x, so sánh, hoặc tìm giá trị nguyên. Ghi nhớ lại toàn bộ năm bài trước — không có kỹ thuật mới nào xuất hiện ở đây, chỉ có cách chúng được sắp xếp lại thành một bài toán liền mạch.

Khởi động

Một đề thi thật không bao giờ hỏi riêng lẻ "tính căn bậc hai của..." hay "áp dụng quy tắc...". Đề luôn ghép nhiều bước lại thành một bài toán liền mạch. Em đã sẵn sàng để tự nhận ra mình cần dùng công cụ nào ở mỗi bước, không còn tiêu đề nào nhắc trước nữa chưa? Đây chính là điều bài ôn tập cuối cùng của khóa sẽ kiểm tra, và cũng là điều một đề thi thật sự sẽ kiểm tra ở em.

Kiến thức trọng tâm

Với một biểu thức số thuần túy (không có ẩn), việc còn lại chỉ là chọn đúng thứ tự áp dụng các quy tắc đã học — khai phương tích/thương trước để đưa từng căn thức về dạng gọn nhất, rồi mới cộng trừ. Với một biểu thức chứa ẩn, luôn tìm ĐKXĐ trước tiên; điều kiện đó không chỉ để biểu thức có nghĩa, mà còn quyết định cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở bước rút gọn tiếp theo.

Câu hỏi phụ đi sau bước rút gọn thường không cần công cụ mới: nếu biểu thức đã rút gọn về dạng đơn giản như một căn thức hay một phân thức, tìm x để biểu thức bằng một giá trị cho trước chỉ là giải một phương trình ngắn, miễn là luôn đối chiếu nghiệm tìm được với ĐKXĐ đã đặt từ đầu — một nghiệm không thoả ĐKXĐ phải bị loại, dù phép tính ra nó không có gì sai.

Một dạng câu hỏi phụ khác, không kém phổ biến, là sắp xếp hoặc so sánh nhiều số chứa căn cùng lúc — kết hợp lại đúng kỹ năng so sánh đã học ở Bài 1 và Bài 5, chỉ khác là bây giờ mỗi số phải được TÍNH RA trước (bằng quy tắc nhân/chia hoặc căn bậc ba) rồi mới so sánh, thay vì so sánh trực tiếp hai căn cùng bậc như trước đây.

Thứ tự tăng dần:

\sqrt[3]{-8} < \sqrt9 < \sqrt{50}:\sqrt2

.Thứ tự tăng dần: $\sqrt[3]{-8} < \sqrt9 < \sqrt{50}:\sqrt2$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính giá trị một biểu thức số tổng hợp (câu 1a)

1
Không dùng máy tính, tính giá trị của $M=\sqrt{12}\cdot\sqrt3+\sqrt{50}:\sqrt2-\sqrt[3]{-27}$ .
Không dùng máy tính, tính giá trị của $M=\sqrt{12}\cdot\sqrt3+\sqrt{50}:\sqrt2-\sqrt[3]{-27}$.
2
$\sqrt{12}\cdot\sqrt3=\sqrt{12\times3}=\sqrt{36}=6$ . (1)
$\sqrt{12}\cdot\sqrt3=\sqrt{12\times3}=\sqrt{36}=6$. (1)
3
$\sqrt{50}:\sqrt2=\sqrt{50:2}=\sqrt{25}=5$ . (2)
$\sqrt{50}:\sqrt2=\sqrt{50:2}=\sqrt{25}=5$. (2)
4
$\sqrt[3]{-27}=-3$ (vì $(-3)^3=-27$ ). (3)
$\sqrt[3]{-27}=-3$ (vì $(-3)^3=-27$). (3)
5
$M=6+5-(-3)=6+5+3=14$ .
$M=6+5-(-3)=6+5+3=14$.
6
$M=14$ .
$M=14$.

Ví dụ

Tìm ĐKXĐ và rút gọn một biểu thức chứa ẩn (câu 1b)

1
Cho biểu thức $N=\dfrac{\sqrt{x^2-6x+9}}{\sqrt{x-3}}$ . Tìm điều kiện xác định và rút gọn N.
Cho biểu thức $N=\dfrac{\sqrt{x^2-6x+9}}{\sqrt{x-3}}$. Tìm điều kiện xác định và rút gọn N.
2
N có nghĩa khi mẫu $\sqrt{x-3}$ xác định và khác 0, tức $x-3>0 \iff x>3$ . (Tử $x^2-6x+9=(x-3)^2\ge0$ với mọi x nên không thêm ràng buộc.)
N có nghĩa khi mẫu $\sqrt{x-3}$ xác định và khác 0, tức $x-3>0 \iff x>3$. (Tử $x^2-6x+9=(x-3)^2\ge0$ với mọi x nên không thêm ràng buộc.)
3
$x^2-6x+9=(x-3)^2$ , nên tử $=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$ .
$x^2-6x+9=(x-3)^2$, nên tử $=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$.
4
Vì $x>3$ nên $x-3>0$ , do đó $|x-3|=x-3$ . (1)
Vì $x>3$ nên $x-3>0$, do đó $|x-3|=x-3$. (1)
5
Từ (1): $N=\dfrac{x-3}{\sqrt{x-3}}$ . Đặt $t=x-3>0$ , ta có $N=\dfrac{t}{\sqrt t}=\sqrt t$ (vì $\dfrac{t}{\sqrt t}=\dfrac{\sqrt t\cdot\sqrt t}{\sqrt t}=\sqrt t$ ).
Từ (1): $N=\dfrac{x-3}{\sqrt{x-3}}$. Đặt $t=x-3>0$, ta có $N=\dfrac{t}{\sqrt t}=\sqrt t$ (vì $\dfrac{t}{\sqrt t}=\dfrac{\sqrt t\cdot\sqrt t}{\sqrt t}=\sqrt t$).
6
Vậy với $x>3$ , $N=\sqrt{x-3}$ .
Vậy với $x>3$, $N=\sqrt{x-3}$.

Ví dụ

Dùng kết quả rút gọn để trả lời câu hỏi phụ (câu 1c)

1
Với $N=\sqrt{x-3}$ (điều kiện $x>3$ ) ở ví dụ trên, tìm x để $N=4$ .
Với $N=\sqrt{x-3}$ (điều kiện $x>3$) ở ví dụ trên, tìm x để $N=4$.
2
$N=4 \iff \sqrt{x-3}=4$ .
$N=4 \iff \sqrt{x-3}=4$.
3
$\sqrt{x-3}=4 \iff x-3=4^2=16 \iff x=19$ .
$\sqrt{x-3}=4 \iff x-3=4^2=16 \iff x=19$.
4
$x=19$ có thỏa $x>3$ hay không? Có ( $19>3$ , TMĐK).
$x=19$ có thỏa $x>3$ hay không? Có ($19>3$, TMĐK).
5
Vậy $x=19$ .
Vậy $x=19$.

Ví dụ

Sắp xếp các số chứa căn thức theo thứ tự tăng dần

1
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: $\sqrt{50}:\sqrt2$ , $\sqrt[3]{-8}$ , $\sqrt9$ .
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: $\sqrt{50}:\sqrt2$, $\sqrt[3]{-8}$, $\sqrt9$.
2
$\sqrt{50}:\sqrt2=\sqrt{25}=5$ ; $\sqrt[3]{-8}=-2$ ; $\sqrt9=3$ .
$\sqrt{50}:\sqrt2=\sqrt{25}=5$; $\sqrt[3]{-8}=-2$; $\sqrt9=3$.
3
$-2<3<5$ .
$-2<3<5$.
4
Vậy thứ tự tăng dần là $\sqrt[3]{-8}<\sqrt9<\sqrt{50}:\sqrt2$ .
Vậy thứ tự tăng dần là $\sqrt[3]{-8}<\sqrt9<\sqrt{50}:\sqrt2$.

Bốn ví dụ trên tái hiện đúng một câu hỏi tuyển sinh vào lớp 10 trọn vẹn: tính giá trị số, rút gọn có điều kiện, câu hỏi phụ dùng kết quả rút gọn, và một dạng câu hỏi phụ khác — sắp xếp thứ tự. Luyện thành thạo cả bốn bước này là mục tiêu cuối cùng của toàn bộ khóa học.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Ở câu hỏi phụ, nhiều bạn giải ra x nhưng quên đối chiếu lại với điều kiện xác định đã đặt từ đầu bài. Một nghiệm tính đúng về mặt đại số vẫn có thể bị loại nếu nó không thỏa ĐKXĐ — đề thi luôn chấm cả bước đối chiếu này, không chỉ đáp số cuối. Một lỗi khác: khi sắp xếp nhiều số chứa căn, tính sai một số trong nhóm sẽ làm sai cả thứ tự cuối cùng — luôn kiểm tra lại từng giá trị đã tính trước khi so sánh.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một bài tổng hợp đề tuyển sinh luôn theo cấu trúc: tính giá trị số, tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức chứa ẩn, rồi dùng kết quả rút gọn để trả lời câu hỏi phụ — luôn đối chiếu nghiệm với ĐKXĐ trước khi kết luận. Với dạng sắp xếp, tính từng giá trị ra số cụ thể trước rồi mới so sánh.

Khóa học tiếp theo — Biến đổi căn thức bậc hai — sẽ trang bị thêm bộ công cụ đưa thừa số ra vào dấu căn và trục căn thức ở mẫu, để giải trọn vẹn những biểu thức phức tạp hơn nữa mà bài rút gọn hôm nay mới chỉ chạm tới.