Bài học

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được số đo góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung xuất phát từ tiếp điểm, dựa vào số đo cung bị chắn, và so sánh được góc đó với góc nội tiếp cùng chắn cung tương ứng.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nắm chắc hai điều: khái niệm tiếp tuyến và tiếp điểm (Bài 3, chương 3), và định lí góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn (bài trước). Bài này ghép hai mảnh kiến thức đó lại: thay một cạnh của góc nội tiếp — vốn là một dây — bằng một TIA TIẾP TUYẾN xuất phát từ đúng tiếp điểm. Về hình dạng, góc mới trông như một "góc nội tiếp suy biến", với đỉnh góc trùng luôn một đầu mút của cung bị chắn.

Khởi động

Vẽ đường tròn (O), lấy điểm A trên đường tròn, vẽ tia tiếp tuyến At tại A và một dây AB. Góc tAB tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung trông rất giống một góc nội tiếp — chỉ khác ở chỗ một cạnh không còn là dây mà là tiếp tuyến. Liệu góc này có vẫn giữ được quy luật "bằng nửa số đo cung bị chắn" như góc nội tiếp, hay tuân theo một công thức hoàn toàn khác?

Kiến thức trọng tâm

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh tại tiếp điểm, một cạnh là tia tiếp tuyến, cạnh còn lại chứa dây cung xuất phát từ đúng tiếp điểm đó. Định lí: số đo góc này bằng nửa số đo cung bị chắn — cung nằm bên trong góc, tính từ tiếp điểm đến đầu mút kia của dây, về phía cạnh góc đang xét. Công thức giống hệt góc nội tiếp, chỉ khác cách xác định "cung bị chắn" vì một cạnh của góc bây giờ là tiếp tuyến chứ không phải dây.

**Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung** là góc có đỉnh tại tiếp điểm, một cạnh là tia tiếp tuyến, cạnh còn lại chứa dây cung xuất phát từ đúng tiếp điểm đó. Định lí: **số đo góc này bằng nửa số đo cung bị chắn** — cung nằm bên trong góc, tính từ tiếp điểm đến đầu mút kia của dây, về phía cạnh góc đang xét. Công thức giống hệt góc nội tiếp, chỉ khác cách xác định "cung bị chắn" vì một cạnh của góc bây giờ là tiếp tuyến chứ không phải dây.

Vì công thức tính giống nhau, hệ quả cũng tương tự: góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó — nếu C là một điểm bất kỳ trên cung đối diện (cung không chứa tiếp điểm hoặc nằm phía bên kia dây), thì góc nội tiếp ACB (với B là đầu kia của dây) bằng đúng góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung tại A. Đây gọi là tính chất "góc trong cung xen kẽ" (alternate segment): tiếp tuyến "đóng vai" một dây đã co lại thành một điểm, và góc nó tạo với dây AB vẫn "nhìn" đúng như một điểm C ở xa vô cùng trên cung liền kề nhìn về AB.

Vì công thức tính giống nhau, hệ quả cũng tương tự: **góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó** — nếu C là một điểm bất kỳ trên cung đối diện (cung không chứa tiếp điểm hoặc nằm phía bên kia dây), thì góc nội tiếp ACB (với B là đầu kia của dây) bằng đúng góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung tại A. Đây gọi là tính chất "góc trong cung xen kẽ" (alternate segment): tiếp tuyến "đóng vai" một dây đã co lại thành một điểm, và góc nó tạo với dây AB vẫn "nhìn" đúng như một điểm C ở xa vô cùng trên cung liền kề nhìn về AB.

Vì một dây tạo với tiếp tuyến tại một đầu mút của nó tới HAI góc (bù nhau, cộng lại 180°, tùy chọn phía nào của dây), mỗi góc trong hai góc đó chắn một trong hai cung AB khác nhau (cung nhỏ và cung lớn). Khi làm bài, luôn phải xác định rõ đang xét góc nào (phía nào của dây) tương ứng với cung nào, tránh nhầm giữa hai giá trị bù nhau.

Lời giải có hình

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Bước 1

Cho đường tròn (O), dây AB, và tia tiếp tuyến At của (O) tại A.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung từ số đo cung

1
Đường tròn (O), tiếp tuyến At tại A, dây AB sao cho cung AB nằm trong góc tAB có số đo 110°. Tính số đo góc tAB.
2
Số đo góc tAB bằng nửa số đo cung AB bị chắn (nằm trong góc đó).
3
$\widehat{tAB}=110°:2=55°$ .
$\widehat{tAB}=110°:2=55°$.
4
Vậy góc tAB bằng 55°.

Ví dụ

So sánh góc tạo bởi tiếp tuyến-dây với góc nội tiếp cùng chắn cung

1
Đường tròn (O), tiếp tuyến At tại A, dây AB. C là điểm trên cung AB không chứa tia At (cung đối diện), với góc nội tiếp ACB = 62°. Tính góc tAB.
2
Góc tạo bởi tiếp tuyến At và dây AB bằng góc nội tiếp ACB cùng chắn cung AB (ở phía đối diện).
3
Vậy góc tAB = 62°, bằng đúng góc ACB.

Ví dụ

Bài toán kết hợp tiếp tuyến-dây và tam giác cân

1
Đường tròn (O), tiếp tuyến At tại A, dây AB với OA = OB (hiển nhiên, cùng là bán kính). Biết góc tAB = 65°, tính số đo góc AOB (góc ở tâm chắn cung AB nằm trong góc tAB) và số đo góc ABO của tam giác cân OAB.
2
Cung AB (nằm trong góc tAB) có số đo gấp đôi góc tAB: $\text{cung }AB = 2\times65°=130°$ .
Cung AB (nằm trong góc tAB) có số đo gấp đôi góc tAB: $\text{cung }AB = 2\times65°=130°$.
3
Số đo cung AB bằng đúng số đo góc ở tâm chắn nó, nên $\widehat{AOB}=130°$ .
Số đo cung AB bằng đúng số đo góc ở tâm chắn nó, nên $\widehat{AOB}=130°$.
4
Tam giác OAB cân tại O (vì $OA=OB=$ bán kính) nên hai góc đáy bằng nhau: $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=\dfrac{180°-130°}{2}=25°$ .
Tam giác OAB cân tại O (vì $OA=OB=$ bán kính) nên hai góc đáy bằng nhau: $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=\dfrac{180°-130°}{2}=25°$.
5
Vậy $\widehat{AOB}=130°$ và $\widehat{ABO}=25°$ .
Vậy $\widehat{AOB}=130°$ và $\widehat{ABO}=25°$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Một dây AB tạo với tiếp tuyến tại A đến HAI góc bù nhau (cộng lại 180°), ứng với hai cung khác nhau của đường tròn — cung nhỏ và cung lớn AB. Nhầm giữa hai góc này là lỗi phổ biến nhất: luôn phải xác định rõ đang xét cạnh nào của tia tiếp tuyến (hai tia đối nhau xuất phát từ A) để biết cung nào thực sự nằm "bên trong" góc đang tính, trước khi áp dụng công thức nửa cung.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung nằm bên trong góc đó, và bằng góc nội tiếp cùng chắn cung ấy ở phía đối diện. Một dây luôn tạo hai góc bù nhau với tiếp tuyến tại một đầu mút — cần xác định rõ đang xét góc và cung nào trước khi tính.

Từ tam giác nội tiếp đường tròn, bài sau mở rộng lên TỨ GIÁC — bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn. Bốn góc của một tứ giác như vậy có ràng buộc gì đặc biệt mà một tứ giác bất kỳ không có?