Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Tứ giác nội tiếp
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em nhận biết được một tứ giác có nội tiếp được một đường tròn hay không bằng dấu hiệu tổng hai góc đối diện, và tính được góc còn thiếu của một tứ giác nội tiếp khi biết ba góc kia.
Kiến thức nền cần nhớ
Em cần nhớ tổng bốn góc trong một tứ giác bất kỳ luôn bằng 360°, và định lí góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn (Bài 1 của chương này). Ba bài trước xét góc tại MỘT đỉnh trên đường tròn; bài này xét bốn đỉnh cùng lúc, và tìm ra một ràng buộc rất đặc biệt mà chỉ tứ giác nội tiếp mới có, còn tứ giác thường thì không.
Khởi động
Vẽ một tứ giác ABCD bất kỳ, đo hai góc đối diện A và C rồi cộng lại — kết quả gần như chắc chắn không phải một số "đẹp". Bây giờ vẽ bốn điểm A, B, C, D CÙNG NẰM trên một đường tròn (theo đúng thứ tự đó), nối thành tứ giác, rồi đo lại góc A cộng góc C. Điều gì đặc biệt xảy ra, và tại sao chỉ khi bốn đỉnh cùng thuộc một đường tròn thì điều đó mới đúng?
Kiến thức trọng tâm
**Tứ giác nội tiếp** (đường tròn) là tứ giác có cả bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. **Định lí:** trong một tứ giác nội tiếp, **tổng hai góc đối diện bằng 180°** ($\widehat{A}+\widehat{C}=180°$ và $\widehat{B}+\widehat{D}=180°$). Lí do nằm ngay ở định lí góc nội tiếp: góc A và góc C là hai góc nội tiếp chắn hai cung BCD và BAD — hai cung này gộp lại vừa đúng cả đường tròn (360°), nên tổng hai góc nội tiếp chắn chúng bằng nửa của 360°, tức 180°.
**Dấu hiệu nhận biết** dùng tính chất này theo chiều ngược: một tứ giác có TỔNG HAI GÓC ĐỐI DIỆN bằng 180° thì nội tiếp được một đường tròn. Đây là công cụ chính để CHỨNG MINH bốn điểm cùng thuộc một đường tròn trong bài toán tổng hợp — thay vì phải chỉ ra một tâm chung, chỉ cần tính hai góc đối diện và cộng lại. Một dấu hiệu tương đương khác cũng hay dùng: nếu một góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện, tứ giác đó cũng nội tiếp được — vì góc ngoài tại một đỉnh luôn bù với góc trong CÙNG đỉnh, nên nó tự động bằng góc đối diện khi tổng hai góc đối bằng 180°.
Một cách rất hiệu quả để tạo ra hai góc đối bằng 180° trong bài toán: nếu hai đỉnh B và D cùng "nhìn" đoạn AC dưới một góc vuông (tức góc ABC = góc ADC = 90°), thì hai góc đối B và D của tứ giác ABCD đã tự động cộng lại 180°, nên ABCD nội tiếp được — và khi đó AC chính là đường kính của đường tròn đó (hệ quả góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, dùng theo chiều ngược). Cách kết hợp hai góc vuông như vậy xuất hiện rất thường xuyên trong đề thi tuyển sinh 10, đặc biệt ở những bài có tiếp tuyến hoặc đường cao vuông góc.
Lời giải có hình
Tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối diện bằng 180°
Bước 1
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), bốn đỉnh theo đúng thứ tự trên đường tròn.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Tìm góc còn thiếu của một tứ giác nội tiếp
1
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có $\widehat{A}=85°$, $\widehat{B}=100°$, $\widehat{C}=95°$. Tính $\widehat{D}$.
2
Cách 1 (kiểm tra dữ kiện): $\widehat{A}+\widehat{C}=85°+95°=180°$, đúng với định lí, dữ kiện đề bài hợp lệ.
Chứng minh một tứ giác nội tiếp từ hai góc vuông cùng nhìn một cạnh
1
Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H (E trên AC, F trên AB). Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp được một đường tròn.
2
BE là đường cao nên $BE\perp AC$, suy ra $\widehat{BEC}=90°$. CF là đường cao nên $CF\perp AB$, suy ra $\widehat{BFC}=90°$.
3
Hai điểm E và F cùng nhìn đoạn BC dưới một góc vuông, tức cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
4
Vậy bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC, tức tứ giác BFEC nội tiếp được một đường tròn.
Ví dụ
Bài toán tổng hợp: kết hợp tứ giác nội tiếp với tam giác cân
1
Tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O), biết $\widehat{M}=\widehat{P}$ (hai góc đối diện bằng nhau) và $\widehat{N}=70°$. Tính $\widehat{M}$ và $\widehat{Q}$.
$\widehat{M}+\widehat{P}=180°$. Kết hợp với giả thiết $\widehat{M}=\widehat{P}$: (1) $2\widehat{M}=180°$. (2)
4
Từ (1) và (2): $\widehat{M}=180°:2=90°$, suy ra $\widehat{P}=90°$.
5
Vậy $\widehat{M}=90°$ và $\widehat{Q}=110°$.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Sai lầm thường gặp
Dấu hiệu tổng hai góc đối diện bằng 180° chỉ áp dụng đúng cho CẶP GÓC ĐỐI DIỆN (A với C, hoặc B với D) — không áp dụng cho hai góc KỀ NHAU (A với B). Một lỗi khác cũng hay gặp: khi chứng minh hai điểm cùng nhìn một đoạn dưới góc vuông để suy ra tứ giác nội tiếp, phải kiểm tra HAI điểm đó nằm CÙNG PHÍA của đoạn thẳng — nếu khác phía, tứ giác vẫn nội tiếp được nhưng theo một cấu hình khác, và góc ngoài/góc trong có thể đổi vai trò cho nhau.
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối diện bằng 180° — dùng cả hai chiều: biết tứ giác nội tiếp để tính góc còn thiếu, hoặc biết tổng 180° để CHỨNG MINH tứ giác nội tiếp. Hai điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới góc vuông (và cùng phía) luôn nằm trên đường tròn đường kính đoạn thẳng đó — một cách tạo tứ giác nội tiếp rất hay dùng.
Sáu bài học vừa qua trang bị cho em đầy đủ công cụ về đường tròn — dây, tiếp tuyến, góc, tứ giác nội tiếp. Chương ôn tập tiếp theo sẽ ghép các công cụ này lại trong những bài toán tổng hợp, đúng cấu trúc câu hình học của đề thi tuyển sinh vào lớp 10.
Vẽ một tứ giác ABCD bất kỳ, đo hai góc đối diện A và C rồi cộng lại — kết quả gần như chắc chắn không phải một số "đẹp". Bây giờ vẽ bốn điểm A, B, C, D CÙNG NẰM trên một đường tròn (theo đúng thứ tự đó), nối thành tứ giác, rồi đo lại góc A cộng góc C. Điều gì đặc biệt xảy ra, và tại sao chỉ khi bốn đỉnh cùng thuộc một đường tròn thì điều đó mới đúng?
Tứ giác nội tiếp (đường tròn) là tứ giác có cả bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Định lí: trong một tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối diện bằng 180° (A+C=180° và B+D=180°). Lí do nằm ngay ở định lí góc nội tiếp: góc A và góc C là hai góc nội tiếp chắn hai cung BCD và BAD — hai cung này gộp lại vừa đúng cả đường tròn (360°), nên tổng hai góc nội tiếp chắn chúng bằng nửa của 360°, tức 180°.
Dấu hiệu nhận biết dùng tính chất này theo chiều ngược: một tứ giác có TỔNG HAI GÓC ĐỐI DIỆN bằng 180° thì nội tiếp được một đường tròn. Đây là công cụ chính để CHỨNG MINH bốn điểm cùng thuộc một đường tròn trong bài toán tổng hợp — thay vì phải chỉ ra một tâm chung, chỉ cần tính hai góc đối diện và cộng lại. Một dấu hiệu tương đương khác cũng hay dùng: nếu một góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện, tứ giác đó cũng nội tiếp được — vì góc ngoài tại một đỉnh luôn bù với góc trong CÙNG đỉnh, nên nó tự động bằng góc đối diện khi tổng hai góc đối bằng 180°.
Một cách rất hiệu quả để tạo ra hai góc đối bằng 180° trong bài toán: nếu hai đỉnh B và D cùng "nhìn" đoạn AC dưới một góc vuông (tức góc ABC = góc ADC = 90°), thì hai góc đối B và D của tứ giác ABCD đã tự động cộng lại 180°, nên ABCD nội tiếp được — và khi đó AC chính là đường kính của đường tròn đó (hệ quả góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, dùng theo chiều ngược). Cách kết hợp hai góc vuông như vậy xuất hiện rất thường xuyên trong đề thi tuyển sinh 10, đặc biệt ở những bài có tiếp tuyến hoặc đường cao vuông góc.
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có A=85°, B=100°, C=95°. Tính D.
Cách 1 (kiểm tra dữ kiện): A+C=85°+95°=180°, đúng với định lí, dữ kiện đề bài hợp lệ.
B+D=180°⇒D=180°−100°=80°.
Vậy D=80°.
BE là đường cao nên BE⊥AC, suy ra BEC=90°. CF là đường cao nên CF⊥AB, suy ra BFC=90°.
Tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O), biết M=P (hai góc đối diện bằng nhau) và N=70°. Tính M và Q.
N+Q=180°⇒Q=180°−70°=110°.
M+P=180°. Kết hợp với giả thiết M=P: (1) 2M=180°. (2)
Từ (1) và (2): M=180°:2=90°, suy ra P=90°.
Vậy M=90° và Q=110°.
Dấu hiệu tổng hai góc đối diện bằng 180° chỉ áp dụng đúng cho CẶP GÓC ĐỐI DIỆN (A với C, hoặc B với D) — không áp dụng cho hai góc KỀ NHAU (A với B). Một lỗi khác cũng hay gặp: khi chứng minh hai điểm cùng nhìn một đoạn dưới góc vuông để suy ra tứ giác nội tiếp, phải kiểm tra HAI điểm đó nằm CÙNG PHÍA của đoạn thẳng — nếu khác phía, tứ giác vẫn nội tiếp được nhưng theo một cấu hình khác, và góc ngoài/góc trong có thể đổi vai trò cho nhau.