Bài học

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số — kể cả khi phải nhân cả hai phương trình để đưa hệ số một ẩn về đối nhau — và biết chọn phương pháp thế hay cộng đại số cho phù hợp với từng hệ cụ thể.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em phương pháp thế, hoạt động tốt khi một ẩn dễ rút khỏi một phương trình. Nhưng không phải hệ nào cũng thân thiện như vậy — có những hệ mà rút ẩn nào cũng ra phân số cồng kềnh. Em cần nhớ lại quy tắc: cộng (hoặc trừ) hai vế trái với nhau, hai vế phải với nhau, vẫn cho một đẳng thức đúng — chính tính chất quen thuộc này từ lớp 8 là nền tảng của cả bài học hôm nay.

Khởi động

Xét hệ $\{3x+2y=12; \ 5x-2y=4\}$ . Rút x hay y từ bất kỳ phương trình nào cũng ra phân số. Nhưng nhìn kỹ hệ số của y ở hai phương trình: $+2$ và $-2$ — đối nhau! Nếu cộng vế theo vế cả hai phương trình, $2y$ và $-2y$ sẽ triệt tiêu nhau ngay lập tức, để lại một phương trình chỉ còn ẩn x. Ý tưởng đó chính là toàn bộ nội dung bài học hôm nay.

Xét hệ $\{3x+2y=12; \ 5x-2y=4\}$. Rút x hay y từ bất kỳ phương trình nào cũng ra phân số. Nhưng nhìn kỹ hệ số của y ở hai phương trình: $+2$ và $-2$ — đối nhau! Nếu cộng vế theo vế cả hai phương trình, $2y$ và $-2y$ sẽ triệt tiêu nhau ngay lập tức, để lại một phương trình chỉ còn ẩn x. Ý tưởng đó chính là toàn bộ nội dung bài học hôm nay.

Kiến thức trọng tâm

Phương pháp cộng đại số khử một ẩn bằng cách cộng hoặc trừ hai phương trình vế theo vế, sao cho ẩn đó biến mất. Muốn khử được, hệ số của ẩn đó ở hai phương trình phải bằng nhau (thì trừ) hoặc đối nhau (thì cộng). Khi hệ số chưa sẵn ở một trong hai dạng đó — như ví dụ khởi động ở trên đã KHÔNG cần bước này vì hệ số y đã đối nhau sẵn — ta nhân mỗi phương trình với một số thích hợp để đưa hệ số của ẩn muốn khử về bằng nhau hoặc đối nhau, rồi mới cộng hoặc trừ.

**Phương pháp cộng đại số** khử một ẩn bằng cách cộng hoặc trừ hai phương trình vế theo vế, sao cho ẩn đó biến mất. Muốn khử được, hệ số của ẩn đó ở hai phương trình phải bằng nhau (thì trừ) hoặc đối nhau (thì cộng). Khi hệ số chưa sẵn ở một trong hai dạng đó — như ví dụ khởi động ở trên đã KHÔNG cần bước này vì hệ số y đã đối nhau sẵn — ta nhân mỗi phương trình với một số thích hợp để đưa hệ số của ẩn muốn khử về bằng nhau hoặc đối nhau, rồi mới cộng hoặc trừ.

Khi hệ số của ẩn cần khử không chia hết cho nhau, phải nhân CẢ HAI phương trình, mỗi phương trình với một số khác nhau — bội chung nhỏ nhất của hai hệ số là lựa chọn gọn nhất. Với $\{2x+3y=7; \ 3x+2y=8\}$ , hệ số của y là 3 và 2, bội chung nhỏ nhất là 6: nhân phương trình đầu với 2 (được $6y$ ), nhân phương trình sau với 3 (được $6y$ ), khi đó trừ vế theo vế sẽ khử được y.

Khi hệ số của ẩn cần khử không chia hết cho nhau, phải nhân CẢ HAI phương trình, mỗi phương trình với một số khác nhau — bội chung nhỏ nhất của hai hệ số là lựa chọn gọn nhất. Với $\{2x+3y=7; \ 3x+2y=8\}$, hệ số của y là 3 và 2, bội chung nhỏ nhất là 6: nhân phương trình đầu với 2 (được $6y$), nhân phương trình sau với 3 (được $6y$), khi đó trừ vế theo vế sẽ khử được y.

Khi hệ chứa tham số, phương pháp cộng đại số nhiều lúc còn nhanh hơn phương pháp thế — nếu hai phương trình đã có sẵn một cặp hệ số đối nhau hoặc bằng nhau (dù cho ẩn kia có tham số), cộng hoặc trừ trực tiếp sẽ khử tham số ra khỏi một phương trình ngay lập tức, không cần rút ẩn theo biểu thức chứa tham số rồi thế lại — vốn dễ nhầm dấu hơn nhiều.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Khử ẩn khi hệ số đã sẵn đối nhau

1
Giải hệ $\{3x+2y=12; \ 5x-2y=4\}$ .
Giải hệ $\{3x+2y=12; \ 5x-2y=4\}$.
2
Hệ số của y là $+2$ và $-2$ , đối nhau. Cộng hai phương trình: $(3x+5x)+(2y-2y)=12+4 \iff 8x=16$ .
Hệ số của y là $+2$ và $-2$, đối nhau. Cộng hai phương trình: $(3x+5x)+(2y-2y)=12+4 \iff 8x=16$.
3
$8x=16 \iff x=2$ .
$8x=16 \iff x=2$.
4
Thay $x=2$ vào $3x+2y=12$ : $6+2y=12 \iff 2y=6 \iff y=3$ .
Thay $x=2$ vào $3x+2y=12$: $6+2y=12 \iff 2y=6 \iff y=3$.
5
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(2;3)$ (thử lại: $5(2)-2(3)=4$ đúng).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(2;3)$ (thử lại: $5(2)-2(3)=4$ đúng).

Ví dụ

Khử ẩn khi phải nhân cả hai phương trình

1
Giải hệ $\{2x+3y=7; \ 3x+2y=8\}$ .
Giải hệ $\{2x+3y=7; \ 3x+2y=8\}$.
2
Bội chung nhỏ nhất của 3 và 2 là 6. Nhân phương trình đầu với 2: $4x+6y=14$ . Nhân phương trình sau với 3: $9x+6y=24$ .
Bội chung nhỏ nhất của 3 và 2 là 6. Nhân phương trình đầu với 2: $4x+6y=14$. Nhân phương trình sau với 3: $9x+6y=24$.
3
$(9x+6y)-(4x+6y)=24-14 \iff 5x=10$ .
$(9x+6y)-(4x+6y)=24-14 \iff 5x=10$.
4
$5x=10 \iff x=2$ .
$5x=10 \iff x=2$.
5
Thay $x=2$ vào $2x+3y=7$ : $4+3y=7 \iff 3y=3 \iff y=1$ .
Thay $x=2$ vào $2x+3y=7$: $4+3y=7 \iff 3y=3 \iff y=1$.
6
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(2;1)$ (thử lại: $3(2)+2(1)=8$ đúng).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(2;1)$ (thử lại: $3(2)+2(1)=8$ đúng).

Ví dụ

Giải hệ chứa tham số bằng cộng đại số rồi áp dụng điều kiện

1
Cho hệ $\{mx+y=2; \ x-y=1\}$ . Tìm m để hệ có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn $x>0$ .
Cho hệ $\{mx+y=2; \ x-y=1\}$. Tìm m để hệ có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn $x>0$.
2
$(mx+y)+(x-y)=2+1 \iff (m+1)x=3$ .
$(mx+y)+(x-y)=2+1 \iff (m+1)x=3$.
3
Với $m\ne-1$ : $x=3/(m+1)$ . (1)
Với $m\ne-1$: $x=3/(m+1)$. (1)
4
Từ $x-y=1$ : $y=x-1=3/(m+1)-1=(2-m)/(m+1)$ .
Từ $x-y=1$: $y=x-1=3/(m+1)-1=(2-m)/(m+1)$.
5
$3/(m+1)>0$ . Vì tử số 3 dương, cần mẫu số dương: $m+1>0 \iff m>-1$ .
$3/(m+1)>0$. Vì tử số 3 dương, cần mẫu số dương: $m+1>0 \iff m>-1$.
6
Vậy $m>-1$ (điều kiện này đã bao hàm luôn $m\ne-1$ , nên không cần ghi thêm).
Vậy $m>-1$ (điều kiện này đã bao hàm luôn $m\ne-1$, nên không cần ghi thêm).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Khi nhân một phương trình với một số để đổi hệ số, rất nhiều bạn chỉ nhân vế trái mà quên nhân cả vế phải — làm vậy phá vỡ luôn đẳng thức ban đầu, dẫn đến sai từ bước đó trở đi. Một lỗi khác: khi hệ số cần khử đã cùng dấu (ví dụ đều dương) mà lại đem CỘNG thay vì TRỪ hai phương trình, ẩn đó không hề mất đi mà còn nhân đôi lên — luôn kiểm tra dấu hệ số trước khi quyết định cộng hay trừ.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Phương pháp cộng đại số: chọn ẩn muốn khử, đưa hệ số của ẩn đó về bằng nhau hoặc đối nhau bằng cách nhân (nếu cần), rồi trừ hoặc cộng vế theo vế. Hệ có hệ số một ẩn sẵn bằng nhau hoặc đối nhau thì cộng đại số nhanh hơn hẳn phương pháp thế; hệ có một phương trình dễ rút ẩn thì phương pháp thế lại gọn hơn — chọn phương pháp theo chính hình dạng của hệ số, không có công thức cố định nào bắt buộc phải dùng cách nào.

Cả hai phương pháp giải hệ đến đây đã đủ dùng cho mọi hệ số cụ thể. Nhưng phần lớn đề thi không cho sẵn một hệ phương trình — đề bài kể một tình huống bằng lời, và việc đầu tiên, khó nhất, là tự đặt ẩn rồi lập ra hệ đó. Chương tiếp theo dạy đúng kỹ năng này qua các bài toán tìm số, tuổi và chữ số quen thuộc.