Bài học

Ôn tập dạng bài tổng hợp thi vào lớp 10

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải trọn vẹn một câu 2 đề tuyển sinh 10 mô phỏng thật — từ đọc đề, lập hệ, chọn phương pháp giải, đến áp dụng thêm một điều kiện phụ và trả lời đúng câu hỏi — trên các dạng toán số lượng - đơn giá, tham số kết hợp điều kiện, và toán tuổi.

Kiến thức nền cần nhớ

Toàn bộ kiến thức cần dùng đã có sẵn trong năm bài trước: lập hệ từ đề bài lời văn, giải hệ bằng thế hoặc cộng đại số, và xử lý tham số kết hợp điều kiện phụ. Bài này không dạy kỹ thuật mới, mà luyện đúng cường độ và cấu trúc của một câu hỏi thi thật — thường gồm nhiều dữ kiện đan xen, đôi khi có thêm một câu hỏi phụ dùng lại chính nghiệm vừa tìm được.

Khởi động

Một câu 2 đề tuyển sinh 10 hiếm khi cho sẵn một hệ phương trình để giải ngay — nó luôn bắt đầu bằng một tình huống: một cửa hàng, một chuyến đi, một gia đình. Việc đầu tiên không phải là tính toán, mà là đọc chậm lại và tự hỏi: đại lượng nào đang chưa biết, và đề bài cho đúng bao nhiêu dữ kiện độc lập để lập hệ?

Kiến thức trọng tâm

Một câu 2 hoàn chỉnh luôn có đúng cấu trúc: đọc đề để xác định đại lượng cần tìm, đặt ẩn và điều kiện, lập hệ từ hai dữ kiện độc lập, giải hệ bằng phương pháp phù hợp, đối chiếu điều kiện, rồi trả lời đúng câu hỏi — và nếu đề có câu hỏi phụ, dùng LẠI nghiệm vừa tìm được để trả lời tiếp, không lập một hệ mới từ đầu.

Với các đề có tham số kết hợp điều kiện phụ, thứ tự làm việc luôn là: giải hệ tổng quát theo tham số trước (biểu diễn x, y qua m), rồi mới thay biểu thức đó vào điều kiện phụ để tìm ra giá trị tham số thỏa mãn. Với các bài lời văn nhiều dữ kiện, mẹo hay dùng là VIẾT RA từng dữ kiện thành một câu ngắn trước khi dịch nó thành phương trình — tránh bỏ sót một điều kiện ẩn giấu trong câu chữ (ví dụ "4 năm trước" nghĩa là trừ 4 ở CẢ HAI tuổi, không chỉ một).

Không phải mọi lỗi sai đều nằm ở kỹ thuật giải — phần lớn lỗi ở mức câu 2 nằm ở bước đọc đề và bước kết luận: hiểu sai một dữ kiện khi lập hệ, hoặc giải hệ đúng nhưng quên đối chiếu điều kiện nên trả lời một cặp số vô lý (âm, không nguyên khi đề cần số nguyên). Luyện tập ở mức này chính là luyện sự cẩn trọng đó, không chỉ luyện kỹ thuật đại số vốn đã vững từ các bài trước.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Toán mua hàng hai loại, hai đơn giá

1
Một cửa hàng bán gạo tẻ giá 18 nghìn đồng/kg và gạo nếp giá 25 nghìn đồng/kg. Một khách hàng mua tổng cộng 12 kg gạo hai loại hết 251 nghìn đồng. Hỏi khách mua bao nhiêu kg mỗi loại?
2
Gọi số kg gạo tẻ là x, gạo nếp là y (kg; $x,y>0$ ).
Gọi số kg gạo tẻ là x, gạo nếp là y (kg; $x,y>0$).
3
Tổng khối lượng: $x+y=12$ . Tổng số tiền: $18x+25y=251$ .
Tổng khối lượng: $x+y=12$. Tổng số tiền: $18x+25y=251$.
4
Từ $x+y=12$ : $y=12-x$ . Thế vào $18x+25y=251$ : $18x+25(12-x)=251 \iff -7x=-49 \iff x=7$ . Suy ra $y=5$ .
Từ $x+y=12$: $y=12-x$. Thế vào $18x+25y=251$: $18x+25(12-x)=251 \iff -7x=-49 \iff x=7$. Suy ra $y=5$.
5
$x=7>0, y=5>0$ : thỏa điều kiện.
$x=7>0, y=5>0$: thỏa điều kiện.
6
Vậy khách mua 7 kg gạo tẻ và 5 kg gạo nếp.

Ví dụ

Hệ chứa tham số, có câu hỏi phụ dùng lại nghiệm

1
Cho hệ $\{2x-y=m+1; \ x+y=5\}$ . a) Giải hệ khi $m=3$ . b) Tìm m để nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn $2x+y=9$ .
Cho hệ $\{2x-y=m+1; \ x+y=5\}$. a) Giải hệ khi $m=3$. b) Tìm m để nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn $2x+y=9$.
2
Với $m=3$ : $\{2x-y=4; \ x+y=5\}$ . Cộng vế theo vế: $3x=9 \iff x=3$ . Thay vào $x+y=5$ : $y=2$ .
Với $m=3$: $\{2x-y=4; \ x+y=5\}$. Cộng vế theo vế: $3x=9 \iff x=3$. Thay vào $x+y=5$: $y=2$.
3
Vậy khi $m=3$ , hệ có nghiệm $(x;y)=(3;2)$ .
Vậy khi $m=3$, hệ có nghiệm $(x;y)=(3;2)$.
4
Từ $x+y=5$ : $y=5-x$ . Thế vào $2x-y=m+1$ : $2x-(5-x)=m+1 \iff 3x=m+6 \iff x=(m+6)/3$ . (1)
Từ $x+y=5$: $y=5-x$. Thế vào $2x-y=m+1$: $2x-(5-x)=m+1 \iff 3x=m+6 \iff x=(m+6)/3$. (1)
5
$2x+y=2x+(5-x)=x+5$ . Điều kiện $2x+y=9 \iff x+5=9 \iff x=4$ .
$2x+y=2x+(5-x)=x+5$. Điều kiện $2x+y=9 \iff x+5=9 \iff x=4$.
6
$(m+6)/3=4 \iff m+6=12 \iff m=6$ . Khi đó $y=5-4=1$ .
$(m+6)/3=4 \iff m+6=12 \iff m=6$. Khi đó $y=5-4=1$.
7
Vậy $m=6$ , nghiệm tương ứng là $(x;y)=(4;1)$ (thử lại: $2(4)-1=7=m+1$ đúng vì $m=6$ ; $2(4)+1=9$ đúng).
Vậy $m=6$, nghiệm tương ứng là $(x;y)=(4;1)$ (thử lại: $2(4)-1=7=m+1$ đúng vì $m=6$; $2(4)+1=9$ đúng).

Ví dụ

Toán tuổi với mốc thời gian trong quá khứ

1
Tổng số tuổi của hai anh em hiện nay là 20. Biết 4 năm trước, tuổi anh gấp 3 lần tuổi em. Tính tuổi hiện nay của mỗi người.
2
Gọi tuổi anh hiện nay là x, tuổi em hiện nay là y (đơn vị tuổi; $x>y>4$ , vì 4 năm trước tuổi em phải dương).
Gọi tuổi anh hiện nay là x, tuổi em hiện nay là y (đơn vị tuổi; $x>y>4$, vì 4 năm trước tuổi em phải dương).
3
Tổng tuổi hiện nay: $x+y=20$ . 4 năm trước anh gấp 3 lần em: $x-4=3(y-4) \iff x-3y=-8$ .
Tổng tuổi hiện nay: $x+y=20$. 4 năm trước anh gấp 3 lần em: $x-4=3(y-4) \iff x-3y=-8$.
4
Từ $x+y=20$ : $x=20-y$ . Thế vào $x-3y=-8$ : $(20-y)-3y=-8 \iff -4y=-28 \iff y=7$ . Suy ra $x=13$ .
Từ $x+y=20$: $x=20-y$. Thế vào $x-3y=-8$: $(20-y)-3y=-8 \iff -4y=-28 \iff y=7$. Suy ra $x=13$.
5
$x=13>y=7>4$ : thỏa điều kiện.
$x=13>y=7>4$: thỏa điều kiện.
6
Vậy tuổi anh hiện nay là 13, tuổi em hiện nay là 7 (4 năm trước: anh 9, em 3, và $9=3\times3$ , đúng như đề cho).
Vậy tuổi anh hiện nay là 13, tuổi em hiện nay là 7 (4 năm trước: anh 9, em 3, và $9=3\times3$, đúng như đề cho).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Ở những câu có phần (a) và (b) như ví dụ tham số phía trên, nhiều bạn giải phần (b) bằng cách quay lại thay số của phần (a), thay vì giải hệ TỔNG QUÁT theo tham số như phần (b) thực sự yêu cầu — hai giá trị tham số của hai phần thường KHÁC nhau. Một lỗi khác ở toán tuổi "mấy năm trước": quên đặt điều kiện tuổi ở thời điểm quá khứ đó vẫn phải dương, khiến nghiệm tìm được có thể ra một độ tuổi âm mà không hề bị phát hiện.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một câu 2 hoàn chỉnh: đọc đề tách từng dữ kiện, đặt ẩn và điều kiện, lập hệ, giải bằng phương pháp phù hợp, đối chiếu điều kiện, trả lời đúng câu hỏi — kể cả câu hỏi phụ dùng lại nghiệm vừa tìm. Với tham số, luôn giải tổng quát trước khi áp dụng điều kiện; với mốc thời gian trong quá khứ, đặt điều kiện tuổi ở thời điểm đó vẫn phải dương.

Đến đây, khóa học đã đi trọn vòng: từ nhận biết một hệ qua vị trí hai đường thẳng, đến giải hệ bằng cả hai phương pháp, và lập hệ cho mọi dạng toán thực tế thi tuyển sinh 10 thường gặp. Công cụ hệ phương trình bậc nhất hai ẩn này sẽ còn xuất hiện trở lại — dưới một hình hài khác — ngay ở khóa học kế tiếp về bất phương trình bậc nhất một ẩn, nơi một hệ HAI BẤT phương trình cũng cần được kết hợp lại đúng như cách em vừa luyện ở đây.