Bài học

Đọc đồ thị nhiều giai đoạn và tính quãng đường bằng diện tích

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em đọc được đồ thị vận tốc - thời gian gồm nhiều giai đoạn chuyển động khác nhau, tính được quãng đường tổng cộng bằng cách chia đồ thị thành các hình đơn giản và cộng diện tích, và đọc được tung độ gốc của đồ thị là vận tốc ban đầu.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã học độ dốc và diện tích cho biết gì trên MỘT đoạn thẳng của đồ thị v-t (same-grade bridge). Bài này áp dụng đúng nguyên tắc đó cho một đồ thị có NHIỀU đoạn thẳng nối tiếp nhau.

Khởi động

Một xe máy khởi hành: trong 4 s đầu tăng tốc đều từ 0 lên 8 m/s, sau đó giữ nguyên 8 m/s trong 6 s tiếp theo, rồi phanh đều trong 2 s cuối để dừng hẳn. Đồ thị v-t của xe sẽ có hình dạng gì, và có thể tính tổng quãng đường xe đã đi bằng đúng công thức "diện tích tam giác" như bài trước không?

Kiến thức trọng tâm

Trong thực tế, một chuyển động thường trải qua nhiều giai đoạn khác nhau — tăng tốc, giữ tốc độ không đổi, giảm tốc — nên đồ thị v-t không phải một đường thẳng duy nhất mà là nhiều đoạn thẳng nối tiếp nhau, mỗi đoạn ứng với một giai đoạn. Nguyên tắc đọc đồ thị của bài trước — độ dốc là gia tốc, diện tích là quãng đường — vẫn áp dụng đúng cho TỪNG đoạn thẳng riêng lẻ.

Vì tổng quãng đường của cả hành trình bằng tổng diện tích của toàn bộ vùng dưới đồ thị, ta có thể chia vùng đó thành các hình hình học đơn giản ứng với từng giai đoạn: tam giác ứng với đoạn tăng hoặc giảm tốc từ vận tốc 0, hình chữ nhật ứng với đoạn tốc độ không đổi, hình thang ứng với đoạn tăng hoặc giảm tốc mà vận tốc đầu đoạn khác 0 — rồi cộng diện tích các hình lại.

Ngoài độ dốc và diện tích, một điểm đặc biệt khác của đồ thị v-t là giao điểm với trục tung, ứng với $t=0$ : giá trị này chính là vận tốc ban đầu của vật, tức vận tốc tại thời điểm bắt đầu quan sát. Nếu đồ thị bắt đầu từ gốc toạ độ, vật xuất phát từ trạng thái đứng yên ( $v_0=0$ ); nếu đồ thị cắt trục tung tại một giá trị khác 0, vật đã có sẵn vận tốc đó ngay khi bắt đầu.

Ngoài độ dốc và diện tích, một điểm đặc biệt khác của đồ thị v-t là giao điểm với trục tung, ứng với $t=0$: giá trị này chính là vận tốc ban đầu của vật, tức vận tốc tại thời điểm bắt đầu quan sát. Nếu đồ thị bắt đầu từ gốc toạ độ, vật xuất phát từ trạng thái đứng yên ($v_0=0$); nếu đồ thị cắt trục tung tại một giá trị khác 0, vật đã có sẵn vận tốc đó ngay khi bắt đầu.

Minh hoạ bằng đúng bảng số liệu của xe máy ở trên: $t=0,1,2,3,4$ s cho $v=0,2,4,6,8$ m/s — mỗi giây $v$ tăng thêm đúng 2 m/s, một nhịp độ đều. Từ $t=4$ đến $t=10$ s, $v$ giữ nguyên 8 m/s ở mọi mốc — nhịp độ đổi từ "tăng 2 mỗi giây" sang "không đổi", đánh dấu ranh giới đầu tiên tại $t=4$ s. Từ $t=10$ đến $t=12$ s, $v$ giảm dần về 0 — nhịp độ lại đổi lần nữa, đánh dấu ranh giới thứ hai tại $t=10$ s. Chỉ cần rà theo cột $v$ trong bảng và tìm nơi nhịp độ thay đổi giá trị mỗi giây thay đổi, ta xác định được cả ba giai đoạn mà không cần vẽ đồ thị trước.

Trong một bảng số liệu thô, ranh giới giữa các giai đoạn không luôn hiện rõ như trên một đồ thị đã vẽ sẵn. Dấu hiệu để nhận ra một giai đoạn mới bắt đầu là nơi TỐC ĐỘ THAY ĐỔI GIÁ TRỊ VỚI CÙNG MỘT NHỊP ĐỘ MỚI: nếu $v$ tăng đều 2 m/s sau mỗi giây trong vài mốc liên tiếp, rồi đột ngột giữ nguyên không đổi ở các mốc sau, đó là ranh giới giữa giai đoạn tăng tốc và giai đoạn tốc độ không đổi. Đọc đúng ranh giới này trước khi tính diện tích là bước bắt buộc, vì tính nhầm một mốc thời gian sẽ làm sai toàn bộ phép chia hình học tiếp theo.

Một điểm cần lưu ý khi giai đoạn cuối là phanh về 0: gia tốc của giai đoạn này mang giá trị ÂM (vận tốc giảm dần theo thời gian), nhưng diện tích dưới đồ thị — và do đó quãng đường — vẫn luôn là một số DƯƠNG, vì diện tích hình học không mang dấu. Học sinh dễ nhầm khi thấy gia tốc âm rồi trừ luôn quãng đường giai đoạn đó khỏi tổng, thay vì cộng bình thường như hai giai đoạn kia — miễn là vật vẫn chuyển động cùng một chiều trong suốt hành trình, mọi quãng đường từng giai đoạn đều được cộng dồn.

Hai đoạn thẳng đứng tại t=4s và t=10s chia đồ thị thành ba hình: tam giác, hình chữ nhật và tam giác.

Ví dụ

Tính tổng quãng đường qua ba giai đoạn chuyển động

1
Xe máy tăng tốc đều từ 0 lên 8 m/s trong 4 s đầu, giữ nguyên 8 m/s trong 6 s tiếp theo, rồi phanh đều về 0 trong 2 s cuối. Tính quãng đường xe đi được trong mỗi giai đoạn và tổng quãng đường cả hành trình.
2
Đồ thị đoạn này là một tam giác vuông có đáy 4 s, chiều cao 8 m/s. $s_1 = \dfrac{1}{2}\times4\times8=16$ m. (1)
Đồ thị đoạn này là một tam giác vuông có đáy 4 s, chiều cao 8 m/s. $s_1 = \dfrac{1}{2}\times4\times8=16$ m. (1)
3
Đồ thị đoạn này là hình chữ nhật có đáy 6 s, chiều cao 8 m/s. $s_2 = 6\times8=48$ m. (2)
Đồ thị đoạn này là hình chữ nhật có đáy 6 s, chiều cao 8 m/s. $s_2 = 6\times8=48$ m. (2)
4
Đồ thị đoạn này là tam giác vuông có đáy 2 s, chiều cao 8 m/s. $s_3=\dfrac{1}{2}\times2\times8=8$ m. (3)
Đồ thị đoạn này là tam giác vuông có đáy 2 s, chiều cao 8 m/s. $s_3=\dfrac{1}{2}\times2\times8=8$ m. (3)
5
Cộng (1), (2), (3): $s = s_1+s_2+s_3 = 16+48+8=72$ m.
Cộng (1), (2), (3): $s = s_1+s_2+s_3 = 16+48+8=72$ m.
6
Tổng thời gian ba giai đoạn là $4+6+2=12$ s, khớp với đồ thị vẽ từ $t=0$ đến $t=12$ s; quãng đường trung bình mỗi giây xấp xỉ $72/12=6$ m/s, một giá trị hợp lí vì nằm giữa 0 và 8 m/s (tốc độ lớn nhất đạt được) — kết quả đáng tin.
Tổng thời gian ba giai đoạn là $4+6+2=12$ s, khớp với đồ thị vẽ từ $t=0$ đến $t=12$ s; quãng đường trung bình mỗi giây xấp xỉ $72/12=6$ m/s, một giá trị hợp lí vì nằm giữa 0 và 8 m/s (tốc độ lớn nhất đạt được) — kết quả đáng tin.

Ví dụ

Đọc tung độ gốc và tính quãng đường với vận tốc ban đầu khác 0 (dạng đề kiểm tra)

1
Một ô tô đang chạy với vận tốc 6 m/s thì tăng tốc đều lên 14 m/s trong 4 s, sau đó phanh đều để dừng hẳn trong 3 s tiếp theo. Đọc tung độ gốc của đồ thị v-t, tính gia tốc giai đoạn tăng tốc, và tính tổng quãng đường cả hai giai đoạn.
2
Tại $t=0$ , đồ thị cắt trục tung ở giá trị 6 m/s — đây là vận tốc ban đầu của ô tô, cho biết xe không xuất phát từ trạng thái đứng yên mà đã có sẵn vận tốc 6 m/s.
Tại $t=0$, đồ thị cắt trục tung ở giá trị 6 m/s — đây là vận tốc ban đầu của ô tô, cho biết xe không xuất phát từ trạng thái đứng yên mà đã có sẵn vận tốc 6 m/s.
3
$a = \dfrac{14-6}{4}=2$ m/s².
$a = \dfrac{14-6}{4}=2$ m/s².
4
Đoạn đồ thị này là một hình thang có hai đáy 6 m/s và 14 m/s, chiều cao theo trục hoành 4 s. $s_1 = \dfrac{6+14}{2}\times4=40$ m. (1)
Đoạn đồ thị này là một hình thang có hai đáy 6 m/s và 14 m/s, chiều cao theo trục hoành 4 s. $s_1 = \dfrac{6+14}{2}\times4=40$ m. (1)
5
Đoạn này là tam giác vuông có đáy 3 s, chiều cao 14 m/s (vận tốc lúc bắt đầu phanh). $s_2=\dfrac{1}{2}\times3\times14=21$ m. (2)
Đoạn này là tam giác vuông có đáy 3 s, chiều cao 14 m/s (vận tốc lúc bắt đầu phanh). $s_2=\dfrac{1}{2}\times3\times14=21$ m. (2)
6
Cộng (1) và (2): $s=s_1+s_2=40+21=61$ m.
Cộng (1) và (2): $s=s_1+s_2=40+21=61$ m.
7
Vận tốc trung bình giai đoạn tăng tốc bằng trung bình cộng vận tốc đầu và cuối vì gia tốc không đổi: $(6+14)/2=10$ m/s, nhân với 4 s được đúng 40 m — khớp với (1), xác nhận cách tính diện tích hình thang là đúng.
Vận tốc trung bình giai đoạn tăng tốc bằng trung bình cộng vận tốc đầu và cuối vì gia tốc không đổi: $(6+14)/2=10$ m/s, nhân với 4 s được đúng 40 m — khớp với (1), xác nhận cách tính diện tích hình thang là đúng.

Sai lầm thường gặp

Khi đồ thị v-t không xuất phát từ gốc toạ độ (vận tốc ban đầu khác 0), nhiều học sinh vẫn áp dụng công thức diện tích TAM GIÁC cho giai đoạn đó — sai, vì hình khi đó là HÌNH THANG, có hai đáy khác nhau là vận tốc đầu và vận tốc cuối giai đoạn. Chỉ dùng công thức tam giác khi một đầu đoạn có vận tốc bằng 0.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Diện tích dưới đồ thị v-t của từng giai đoạn — tam giác khi vận tốc đầu bằng 0, hình chữ nhật khi vận tốc không đổi, hình thang khi cả hai vận tốc đầu-cuối khác 0 — cộng lại cho tổng quãng đường cả hành trình. Tung độ gốc là vận tốc tại thời điểm bắt đầu quan sát.

Kĩ năng đọc và vẽ đồ thị độ dịch chuyển - thời gian, vận tốc - thời gian vừa học ở khoá Mở đầu này chính là công cụ mà khoá Động học chất điểm tiếp theo sẽ dùng để mô tả chính xác chuyển động thẳng của các vật thật.