Bài học

Sai số tuyệt đối, sai số tỉ đối và cách viết kết quả đo

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được sai số tuyệt đối của từng lần đo và sai số tuyệt đối trung bình từ một bảng số liệu, tính được sai số tỉ đối theo phần trăm, và viết đúng kết quả đo theo dạng giá trị trung bình cộng trừ sai số.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã phân biệt sai số hệ thống và sai số ngẫu nhiên (same-grade bridge). Bài này học cách LƯỢNG HOÁ sai số ngẫu nhiên bằng con số cụ thể, để báo cáo một kết quả đo theo đúng chuẩn khoa học.

Khởi động

Hai bạn học sinh báo cáo cùng một phép đo chiều dài bàn: bạn A ghi "120 cm", bạn B ghi "120,1 $\pm$ 0,2 cm". Cách ghi nào cung cấp nhiều thông tin hơn cho người đọc, và vì sao?

Kiến thức trọng tâm

Nếu chỉ đo một lần rồi ghi ngay kết quả đó, ta không có cách nào biết lần đo ấy may mắn gần đúng hay lệch xa giá trị thật — con số duy nhất không tự nó nói lên độ tin cậy của chính nó. Đo lặp lại nhiều lần rồi xử lí bằng thống kê là cách duy nhất để vừa ước lượng giá trị thật (qua trung bình cộng), vừa ước lượng luôn mức độ tin cậy của ước lượng đó (qua sai số) — hai thông tin tách biệt mà một phép đo đơn lẻ không thể cung cấp cùng lúc.

Khi đo một đại lượng $A$ nhiều lần, ta tính giá trị trung bình $\overline{A} = \dfrac{A_1+A_2+\dots+A_n}{n}$ . Sai số tuyệt đối của từng lần đo là khoảng cách giữa giá trị đo được và giá trị trung bình: $\Delta A_i = |\overline{A}-A_i|$ . Sai số tuyệt đối TRUNG BÌNH của cả phép đo là trung bình cộng của các sai số tuyệt đối từng lần: $\overline{\Delta A} = \dfrac{\Delta A_1+\Delta A_2+\dots+\Delta A_n}{n}$ .

Khi đo một đại lượng $A$ nhiều lần, ta tính giá trị trung bình $\overline{A} = \dfrac{A_1+A_2+\dots+A_n}{n}$. Sai số tuyệt đối của từng lần đo là khoảng cách giữa giá trị đo được và giá trị trung bình: $\Delta A_i = |\overline{A}-A_i|$. Sai số tuyệt đối TRUNG BÌNH của cả phép đo là trung bình cộng của các sai số tuyệt đối từng lần: $\overline{\Delta A} = \dfrac{\Delta A_1+\Delta A_2+\dots+\Delta A_n}{n}$.

Sai số tuyệt đối trung bình cho biết ĐỘ LỚN tuyệt đối của sự phân tán số liệu, nhưng chưa nói lên phép đo đó chính xác đến mức nào so với chính giá trị đo được — 0,02 s là rất chính xác với một phép đo bằng phút, nhưng lại thô với một phép đo bằng mili giây. Vì vậy ta tính thêm sai số tỉ đối, biểu diễn theo phần trăm của giá trị trung bình: $\delta A = \dfrac{\overline{\Delta A}}{\overline{A}}\times 100\%$ . Sai số tỉ đối càng nhỏ, phép đo càng chính xác.

Sai số tuyệt đối trung bình cho biết ĐỘ LỚN tuyệt đối của sự phân tán số liệu, nhưng chưa nói lên phép đo đó chính xác đến mức nào so với chính giá trị đo được — 0,02 s là rất chính xác với một phép đo bằng phút, nhưng lại thô với một phép đo bằng mili giây. Vì vậy ta tính thêm sai số tỉ đối, biểu diễn theo phần trăm của giá trị trung bình: $\delta A = \dfrac{\overline{\Delta A}}{\overline{A}}\times 100\%$. Sai số tỉ đối càng nhỏ, phép đo càng chính xác.

Số chữ số giữ lại trong giá trị trung bình phải khớp với chữ số có nghĩa của sai số, không được viết tuỳ tiện nhiều chữ số hơn mức sai số cho phép. Nếu sai số đã làm tròn đến hàng phần trăm ( $\overline{\Delta T}=0{,}02$ s), giá trị trung bình cũng chỉ nên giữ đến hàng phần trăm ( $\overline{T}=2{,}00$ s) — viết thêm $\overline{T}=2{,}003$ s là vô nghĩa, vì bản thân phép đo đã không đủ chính xác để phân biệt hàng phần nghìn giây.

Số chữ số giữ lại trong giá trị trung bình phải khớp với chữ số có nghĩa của sai số, không được viết tuỳ tiện nhiều chữ số hơn mức sai số cho phép. Nếu sai số đã làm tròn đến hàng phần trăm ($\overline{\Delta T}=0{,}02$ s), giá trị trung bình cũng chỉ nên giữ đến hàng phần trăm ($\overline{T}=2{,}00$ s) — viết thêm $\overline{T}=2{,}003$ s là vô nghĩa, vì bản thân phép đo đã không đủ chính xác để phân biệt hàng phần nghìn giây.

Quy tắc này áp dụng đối xứng cho cả hai chiều: một sai số làm tròn đến hàng đơn vị (ví dụ $\overline{\Delta d}=1$ mm) thì giá trị trung bình cũng chỉ nên giữ đến hàng đơn vị mi-li-mét, không cần thêm chữ số thập phân; còn một sai số nhỏ đến hàng phần trăm mi-li-mét thì giá trị trung bình cần giữ đủ số chữ số thập phân tương ứng để không làm mất thông tin đã đo được. Khớp đúng số chữ số giữa hai đại lượng này là dấu hiệu một kết quả đo được trình bày cẩn thận, đúng chuẩn khoa học.

Một kết quả đo hoàn chỉnh luôn được viết đầy đủ theo dạng $A = \overline{A} \pm \overline{\Delta A}$ , kèm đơn vị — không chỉ ghi một con số đơn lẻ. Theo quy ước, sai số tuyệt đối trung bình được làm tròn LÊN đến chữ số có nghĩa cần giữ, chứ không làm tròn theo quy tắc toán học thông thường (làm tròn gần nhất): làm tròn xuống sẽ thu hẹp khoảng sai số, khiến kết quả trông có vẻ chính xác hơn thực tế, trong khi mục đích của sai số là đảm bảo giá trị thật chắc chắn nằm trong khoảng đã báo cáo.

Một kết quả đo hoàn chỉnh luôn được viết đầy đủ theo dạng $A = \overline{A} \pm \overline{\Delta A}$, kèm đơn vị — không chỉ ghi một con số đơn lẻ. Theo quy ước, sai số tuyệt đối trung bình được làm tròn LÊN đến chữ số có nghĩa cần giữ, chứ không làm tròn theo quy tắc toán học thông thường (làm tròn gần nhất): làm tròn xuống sẽ thu hẹp khoảng sai số, khiến kết quả trông có vẻ chính xác hơn thực tế, trong khi mục đích của sai số là đảm bảo giá trị thật chắc chắn nằm trong khoảng đã báo cáo.

Sai số tỉ đối còn cho phép so sánh độ chính xác của hai phép đo khác nhau về bản chất, điều mà sai số tuyệt đối một mình không làm được. Ví dụ, một phép đo chiều dài lớp học có $\overline{\Delta A}=2$ cm nghe có vẻ kém chính xác hơn một phép đo đường kính viên bi có $\overline{\Delta A}=0{,}1$ mm — nhưng nếu chiều dài lớp học là 8 m thì sai số tỉ đối chỉ khoảng $2/800\times100\%=0{,}25\%$ , còn nếu đường kính viên bi chỉ là 2 mm thì sai số tỉ đối lên tới $0{,}1/2\times100\%=5\%$ — phép đo lớp học, dù sai số tuyệt đối lớn hơn nhiều lần, lại chính xác hơn hẳn về mặt tương đối.

Sai số tỉ đối còn cho phép so sánh độ chính xác của hai phép đo khác nhau về bản chất, điều mà sai số tuyệt đối một mình không làm được. Ví dụ, một phép đo chiều dài lớp học có $\overline{\Delta A}=2$ cm nghe có vẻ kém chính xác hơn một phép đo đường kính viên bi có $\overline{\Delta A}=0{,}1$ mm — nhưng nếu chiều dài lớp học là 8 m thì sai số tỉ đối chỉ khoảng $2/800\times100\%=0{,}25\%$, còn nếu đường kính viên bi chỉ là 2 mm thì sai số tỉ đối lên tới $0{,}1/2\times100\%=5\%$ — phép đo lớp học, dù sai số tuyệt đối lớn hơn nhiều lần, lại chính xác hơn hẳn về mặt tương đối.

Sáu lần đo dao động từ 10,1 mm đến 10,4 mm quanh giá trị trung bình 10,27 mm — mức tản này cho ra sai số tuyệt đối trung bình 0,08 mm.

Ví dụ

Tính sai số và viết kết quả đo chu kì con lắc

1
5 lần đo chu kì $T$ của một con lắc bằng đồng hồ bấm giây: 2,01 s; 1,98 s; 2,02 s; 1,99 s; 2,00 s. Tính giá trị trung bình, sai số tuyệt đối từng lần, sai số tuyệt đối trung bình, và viết kết quả đo hoàn chỉnh.
5 lần đo chu kì $T$ của một con lắc bằng đồng hồ bấm giây: 2,01 s; 1,98 s; 2,02 s; 1,99 s; 2,00 s. Tính giá trị trung bình, sai số tuyệt đối từng lần, sai số tuyệt đối trung bình, và viết kết quả đo hoàn chỉnh.
2
$\overline{T} = \dfrac{2{,}01+1{,}98+2{,}02+1{,}99+2{,}00}{5} = \dfrac{10{,}00}{5} = 2{,}00$ s.
$\overline{T} = \dfrac{2{,}01+1{,}98+2{,}02+1{,}99+2{,}00}{5} = \dfrac{10{,}00}{5} = 2{,}00$ s.
3
$\Delta T_i = |\overline{T}-T_i|$ : $\Delta T_1=0{,}01$ ; $\Delta T_2=0{,}02$ ; $\Delta T_3=0{,}02$ ; $\Delta T_4=0{,}01$ ; $\Delta T_5=0{,}00$ (đơn vị giây). (1)
$\Delta T_i = |\overline{T}-T_i|$: $\Delta T_1=0{,}01$; $\Delta T_2=0{,}02$; $\Delta T_3=0{,}02$; $\Delta T_4=0{,}01$; $\Delta T_5=0{,}00$ (đơn vị giây). (1)
4
$\overline{\Delta T} = \dfrac{0{,}01+0{,}02+0{,}02+0{,}01+0{,}00}{5} = \dfrac{0{,}06}{5} = 0{,}012$ s. Theo quy ước, sai số được làm tròn LÊN đến chữ số có nghĩa gần nhất, nên $\overline{\Delta T} \approx 0{,}02$ s. (2)
$\overline{\Delta T} = \dfrac{0{,}01+0{,}02+0{,}02+0{,}01+0{,}00}{5} = \dfrac{0{,}06}{5} = 0{,}012$ s. Theo quy ước, sai số được làm tròn LÊN đến chữ số có nghĩa gần nhất, nên $\overline{\Delta T} \approx 0{,}02$ s. (2)
5
Kết hợp (1) và (2): $T = \overline{T} \pm \overline{\Delta T} = 2{,}00 \pm 0{,}02$ s.
Kết hợp (1) và (2): $T = \overline{T} \pm \overline{\Delta T} = 2{,}00 \pm 0{,}02$ s.
6
Cả 5 giá trị đo được (2,01; 1,98; 2,02; 1,99; 2,00) đều nằm trong khoảng $[2{,}00-0{,}02;\ 2{,}00+0{,}02] = [1{,}98;\ 2{,}02]$ s — khoảng sai số vừa viết bao trùm đúng toàn bộ số liệu gốc, xác nhận kết quả hợp lí. Vậy chu kì con lắc là $T = 2{,}00 \pm 0{,}02$ s.
Cả 5 giá trị đo được (2,01; 1,98; 2,02; 1,99; 2,00) đều nằm trong khoảng $[2{,}00-0{,}02;\ 2{,}00+0{,}02] = [1{,}98;\ 2{,}02]$ s — khoảng sai số vừa viết bao trùm đúng toàn bộ số liệu gốc, xác nhận kết quả hợp lí. Vậy chu kì con lắc là $T = 2{,}00 \pm 0{,}02$ s.

Ví dụ

Sai số tỉ đối khi đo đường kính viên bi bằng thước kẹp (dạng đề kiểm tra)

1
Dùng thước kẹp đo đường kính một viên bi sắt 6 lần, thu được (đơn vị mm): 10,2; 10,4; 10,1; 10,3; 10,3; 10,3. Tính đường kính trung bình, sai số tuyệt đối trung bình, sai số tỉ đối, và viết kết quả đo kèm đơn vị.
2
$\overline{d} = \dfrac{10{,}2+10{,}4+10{,}1+10{,}3+10{,}3+10{,}3}{6} = \dfrac{61{,}6}{6} \approx 10{,}27$ mm.
$\overline{d} = \dfrac{10{,}2+10{,}4+10{,}1+10{,}3+10{,}3+10{,}3}{6} = \dfrac{61{,}6}{6} \approx 10{,}27$ mm.
3
$\Delta d_i = |\overline{d}-d_i|$ : $0{,}07$ ; $0{,}13$ ; $0{,}17$ ; $0{,}03$ ; $0{,}03$ ; $0{,}03$ (mm). Tổng $=0{,}46$ mm, trung bình $=0{,}46/6\approx 0{,}0767$ mm, làm tròn LÊN: $\overline{\Delta d} \approx 0{,}08$ mm. (1)
$\Delta d_i = |\overline{d}-d_i|$: $0{,}07$; $0{,}13$; $0{,}17$; $0{,}03$; $0{,}03$; $0{,}03$ (mm). Tổng $=0{,}46$ mm, trung bình $=0{,}46/6\approx 0{,}0767$ mm, làm tròn LÊN: $\overline{\Delta d} \approx 0{,}08$ mm. (1)
4
$\delta d = \dfrac{\overline{\Delta d}}{\overline{d}}\times100\% = \dfrac{0{,}08}{10{,}27}\times100\% \approx 0{,}8\%$ . (2)
$\delta d = \dfrac{\overline{\Delta d}}{\overline{d}}\times100\% = \dfrac{0{,}08}{10{,}27}\times100\% \approx 0{,}8\%$. (2)
5
Kết hợp (1) và (2): $d = (10{,}27 \pm 0{,}08)$ mm, sai số tỉ đối khoảng 0,8%.
Kết hợp (1) và (2): $d = (10{,}27 \pm 0{,}08)$ mm, sai số tỉ đối khoảng 0,8%.
6
Sai số tỉ đối 0,8% là nhỏ, hợp lí với một phép đo bằng thước kẹp có độ chia nhỏ — nếu tính ra sai số tỉ đối lên tới vài chục phần trăm, cần xem lại vì đó là dấu hiệu sai sót khi tính toán hoặc đo đạc, chứ không phải một kết quả bình thường.

Sai lầm thường gặp

Một sai lầm thường gặp: làm tròn sai số tuyệt đối trung bình XUỐNG (ví dụ 0,012 làm tròn thành 0,01) thay vì làm tròn LÊN. Vì sai số dùng để đảm bảo giá trị thật nằm trong một khoảng tin cậy, làm tròn xuống sẽ thu hẹp khoảng đó, khiến kết quả có vẻ chính xác hơn thực tế. Quy ước đúng: luôn làm tròn sai số tuyệt đối LÊN đến chữ số có nghĩa cần giữ.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Sai số tuyệt đối trung bình $\overline{\Delta A}$ và sai số tỉ đối $\delta A = \overline{\Delta A}/\overline{A}\times100\%$ lượng hoá độ tin cậy của phép đo. Kết quả đo luôn viết đầy đủ dạng $A = \overline{A} \pm \overline{\Delta A}$ , kèm đơn vị, với sai số được làm tròn lên.

Sai số tuyệt đối trung bình $\overline{\Delta A}$ và sai số tỉ đối $\delta A = \overline{\Delta A}/\overline{A}\times100\%$ lượng hoá độ tin cậy của phép đo. Kết quả đo luôn viết đầy đủ dạng $A = \overline{A} \pm \overline{\Delta A}$, kèm đơn vị, với sai số được làm tròn lên.

Có được một kết quả đo đáng tin cậy chỉ là bước đầu. Chương tiếp theo dùng chính những phép đo lặp lại này để vẽ và đọc đồ thị — công cụ giúp nhìn ra quy luật ẩn trong một bảng số liệu.