Bài học

Đồ thị dao động điều hòa

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em đọc được biên độ $A$ , chu kỳ $T$ và pha ban đầu $\varphi$ từ một đồ thị li độ theo thời gian, viết lại phương trình dao động từ đồ thị đó, và suy luận đúng dạng đồ thị vận tốc, gia tốc theo thời gian tương ứng.

Sau bài này, em đọc được biên độ $A$, chu kỳ $T$ và pha ban đầu $\varphi$ từ một đồ thị li độ theo thời gian, viết lại phương trình dao động từ đồ thị đó, và suy luận đúng dạng đồ thị vận tốc, gia tốc theo thời gian tương ứng.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này tổng hợp cả ba công thức $x(t)$ , $v(t)$ , $a(t)$ đã học ở các bài trước, cùng kỹ năng đọc đồ thị hàm số lượng giác (biên độ, chu kỳ) mà em đang rèn luyện ở Toán 11 (same-grade bridge). Khác với các bài trước — nơi phương trình được cho sẵn — bài này đi theo chiều ngược lại: từ hình vẽ, dựng lại phương trình.

Bài này tổng hợp cả ba công thức $x(t)$, $v(t)$, $a(t)$ đã học ở các bài trước, cùng kỹ năng đọc đồ thị hàm số lượng giác (biên độ, chu kỳ) mà em đang rèn luyện ở Toán 11 (same-grade bridge). Khác với các bài trước — nơi phương trình được cho sẵn — bài này đi theo chiều ngược lại: từ hình vẽ, dựng lại phương trình.

Khởi động

Đề thi hiếm khi cho sẵn phương trình x = Acos(ωt + φ) — thường chỉ cho một hình vẽ đồ thị và yêu cầu em tự đọc ra A, T, φ. Nhìn vào một đồ thị hình sin, em biết đo A và T ở đâu trên hình không? Còn φ thì sao — nó không "hiện" trực tiếp trên trục nào cả.

Kiến thức trọng tâm

Đọc biên độ A: là khoảng cách từ trục hoành đến đỉnh (hoặc đáy) của đồ thị — giá trị $|x|$ lớn nhất mà đường cong đạt tới. Đọc chu kỳ T: là khoảng thời gian giữa hai đỉnh liên tiếp CÙNG LOẠI (hai đỉnh trên liên tiếp, hoặc hai đáy liên tiếp) — không phải khoảng cách từ đỉnh đến điểm cắt trục gần nhất kế tiếp, đó chỉ là $T/4$ . Từ $T$ vừa đọc, tính $\omega = 2\pi/T$ theo công thức đã học ở bài 3.

**Đọc biên độ A**: là khoảng cách từ trục hoành đến đỉnh (hoặc đáy) của đồ thị — giá trị $|x|$ lớn nhất mà đường cong đạt tới. **Đọc chu kỳ T**: là khoảng thời gian giữa hai đỉnh liên tiếp CÙNG LOẠI (hai đỉnh trên liên tiếp, hoặc hai đáy liên tiếp) — không phải khoảng cách từ đỉnh đến điểm cắt trục gần nhất kế tiếp, đó chỉ là $T/4$. Từ $T$ vừa đọc, tính $\omega = 2\pi/T$ theo công thức đã học ở bài 3.

Đọc pha ban đầu φ đòi hỏi hai thông tin từ đồ thị tại $t=0$ : giá trị $x(0)$ và chiều biến thiên của đường cong ngay sau đó (đang đi lên hay đi xuống). Từ $x(0) = A\cos(\varphi)$ , ta có $\cos(\varphi) = x(0)/A$ — phương trình này thường cho hai nghiệm $\varphi$ đối nhau (vì $\cos$ là hàm chẵn). Muốn chọn đúng nghiệm, dùng thêm điều kiện chiều biến thiên: nếu đường cong đang đi LÊN ngay sau $t=0$ (nghĩa là $v(0) > 0$ ), mà $v(0) = -A\omega\sin(\varphi)$ , thì cần $\sin(\varphi) < 0$ — tức $\varphi$ phải là nghiệm âm trong hai nghiệm tìm được. Ngược lại nếu đường cong đang đi xuống, chọn nghiệm $\varphi$ dương.

**Đọc pha ban đầu φ** đòi hỏi hai thông tin từ đồ thị tại $t=0$: giá trị $x(0)$ và chiều biến thiên của đường cong ngay sau đó (đang đi lên hay đi xuống). Từ $x(0) = A\cos(\varphi)$, ta có $\cos(\varphi) = x(0)/A$ — phương trình này thường cho hai nghiệm $\varphi$ đối nhau (vì $\cos$ là hàm chẵn). Muốn chọn đúng nghiệm, dùng thêm điều kiện chiều biến thiên: nếu đường cong đang đi LÊN ngay sau $t=0$ (nghĩa là $v(0) > 0$), mà $v(0) = -A\omega\sin(\varphi)$, thì cần $\sin(\varphi) < 0$ — tức $\varphi$ phải là nghiệm âm trong hai nghiệm tìm được. Ngược lại nếu đường cong đang đi xuống, chọn nghiệm $\varphi$ dương.

Hai trường hợp riêng đáng nhớ, vì chúng xuất hiện rất thường xuyên trong đề: nếu đồ thị xuất phát đúng tại biên dương ( $x(0) = A$ ) thì luôn có $\varphi = 0$ (không cần xét chiều biến thiên, vì tại biên vật đang dừng tức thời); nếu đồ thị xuất phát đúng tại vị trí cân bằng và đi lên thì $\varphi = -\pi/2$ , còn nếu xuất phát tại vị trí cân bằng và đi xuống thì $\varphi = \pi/2$ . Ba mốc này — biên dương, qua VTCB đi lên, qua VTCB đi xuống — đáng ghi nhớ luôn để đọc đồ thị nhanh hơn, không phải giải lại phương trình lượng giác mỗi lần.

Hai trường hợp riêng đáng nhớ, vì chúng xuất hiện rất thường xuyên trong đề: nếu đồ thị xuất phát đúng tại biên dương ($x(0) = A$) thì luôn có $\varphi = 0$ (không cần xét chiều biến thiên, vì tại biên vật đang dừng tức thời); nếu đồ thị xuất phát đúng tại vị trí cân bằng và đi lên thì $\varphi = -\pi/2$, còn nếu xuất phát tại vị trí cân bằng và đi xuống thì $\varphi = \pi/2$. Ba mốc này — biên dương, qua VTCB đi lên, qua VTCB đi xuống — đáng ghi nhớ luôn để đọc đồ thị nhanh hơn, không phải giải lại phương trình lượng giác mỗi lần.

Quy trình này áp dụng cho bất kỳ đồ thị x–t nào của một dao động điều hòa.

Ví dụ

Đọc đồ thị x-t và suy ra đồ thị v-t, a-t

1
Đồ thị li độ theo thời gian của một vật dao động điều hòa cho thấy: biên độ $A = 6$ cm, chu kỳ $T = 2$ s, và tại $t=0$ vật ở đúng biên dương ( $x(0) = 6$ cm). Viết phương trình $x(t)$ và các giá trị đặc trưng của đồ thị $v$ – $t$ .
Đồ thị li độ theo thời gian của một vật dao động điều hòa cho thấy: biên độ $A = 6$ cm, chu kỳ $T = 2$ s, và tại $t=0$ vật ở đúng biên dương ($x(0) = 6$ cm). Viết phương trình $x(t)$ và các giá trị đặc trưng của đồ thị $v$–$t$.
2
$\omega = 2\pi/T = 2\pi/2 = \pi$ rad/s. Vì $x(0) = 6 = A$ (đúng bằng biên độ), $\cos(\varphi) = 1$ , nên $\varphi = 0$ .
$\omega = 2\pi/T = 2\pi/2 = \pi$ rad/s. Vì $x(0) = 6 = A$ (đúng bằng biên độ), $\cos(\varphi) = 1$, nên $\varphi = 0$.
3
$x(t) = 6\cos(\pi t)$ cm. Suy ra $v(t) = -A\omega\sin(\omega t) = -6\pi\sin(\pi t)$ cm/s, với tốc độ cực đại $v_{max} = A\omega = 6\pi \approx 18{,}85$ cm/s, đạt được tại các thời điểm $t = 0{,}5$ ; $1{,}5$ s (khi $x=0$ ).
$x(t) = 6\cos(\pi t)$ cm. Suy ra $v(t) = -A\omega\sin(\omega t) = -6\pi\sin(\pi t)$ cm/s, với tốc độ cực đại $v_{max} = A\omega = 6\pi \approx 18{,}85$ cm/s, đạt được tại các thời điểm $t = 0{,}5$; $1{,}5$ s (khi $x=0$).
4
Suy tiếp $a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t) = -6\pi^2\cos(\pi t) \approx -59{,}2\cos(\pi t)$ cm/s². Tại $t=0$ , $a(0) \approx -59{,}2$ cm/s² — âm, đúng như dự đoán vì $x(0) = 6$ cm dương và $a$ luôn ngược dấu với $x$ (bài 5). Ba đồ thị $x$ , $v$ , $a$ vừa suy ra hoàn toàn nhất quán với nhau.
Suy tiếp $a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t) = -6\pi^2\cos(\pi t) \approx -59{,}2\cos(\pi t)$ cm/s². Tại $t=0$, $a(0) \approx -59{,}2$ cm/s² — âm, đúng như dự đoán vì $x(0) = 6$ cm dương và $a$ luôn ngược dấu với $x$ (bài 5). Ba đồ thị $x$, $v$, $a$ vừa suy ra hoàn toàn nhất quán với nhau.

Đọc trực tiếp:

A=6

cm (đỉnh đồ thị),

T=2

s (khoảng cách giữa hai đỉnh trên liên tiếp, tại

t=0

và

t=2

).Đọc trực tiếp: $A=6$ cm (đỉnh đồ thị), $T=2$ s (khoảng cách giữa hai đỉnh trên liên tiếp, tại $t=0$ và $t=2$).

So với đồ thị

x

–

t

v=0

tại

t=0

;

1

;

2

s (lúc

x

đạt cực trị);

|v|=v_{max}\approx 18{,}85

cm/s tại

t=0{,}5

;

1{,}5

s (lúc

x=0

).So với đồ thị $x$–$t$: $v=0$ tại $t=0$; $1$; $2$ s (lúc $x$ đạt cực trị); $|v|=v_{max}\approx 18{,}85$ cm/s tại $t=0{,}5$; $1{,}5$ s (lúc $x=0$).

Đồ thị

a

–

t

có hình dạng giống hệt đồ thị

x

–

t

nhưng NGƯỢC DẤU (ngược pha), với

a_{max} = A\omega^2 \approx 59{,}2

cm/s² — đúng vì

a=-\omega^2 x

.Đồ thị $a$–$t$ có hình dạng giống hệt đồ thị $x$–$t$ nhưng NGƯỢC DẤU (ngược pha), với $a_{max} = A\omega^2 \approx 59{,}2$ cm/s² — đúng vì $a=-\omega^2 x$.

Nhìn cả ba đồ thị cạnh nhau, em có thể tự kiểm tra bằng mắt mà không cần tính toán: mỗi khi đồ thị $x$ – $t$ chạm đỉnh hoặc đáy, đồ thị $v$ – $t$ tại đúng thời điểm đó phải cắt trục hoành (vì $v=0$ ở biên); và tại đúng thời điểm đó, đồ thị $a$ – $t$ phải đạt đỉnh hoặc đáy đối lập (nếu $x$ ở đỉnh thì $a$ ở đáy, và ngược lại, vì $a$ ngược pha với $x$ ). Ba quy tắc đối chiếu này là cách nhanh nhất để phát hiện một đồ thị vẽ sai trong đề trắc nghiệm nhiều lựa chọn, không cần đọc số liệu chi tiết.

Nhìn cả ba đồ thị cạnh nhau, em có thể tự kiểm tra bằng mắt mà không cần tính toán: mỗi khi đồ thị $x$–$t$ chạm đỉnh hoặc đáy, đồ thị $v$–$t$ tại đúng thời điểm đó phải cắt trục hoành (vì $v=0$ ở biên); và tại đúng thời điểm đó, đồ thị $a$–$t$ phải đạt đỉnh hoặc đáy đối lập (nếu $x$ ở đỉnh thì $a$ ở đáy, và ngược lại, vì $a$ ngược pha với $x$). Ba quy tắc đối chiếu này là cách nhanh nhất để phát hiện một đồ thị vẽ sai trong đề trắc nghiệm nhiều lựa chọn, không cần đọc số liệu chi tiết.

Ví dụ

Đọc pha ban đầu khi vật không xuất phát tại biên (dạng đề thi)

1
Một đồ thị x–t khác cũng có $A = 6$ cm, $T = 2$ s, nhưng lần này tại $t=0$ , đồ thị cho $x(0) = -3$ cm và đường cong đang ĐI LÊN ngay sau đó. Xác định pha ban đầu $\varphi$ , viết phương trình $x(t)$ , và tính tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật.
Một đồ thị x–t khác cũng có $A = 6$ cm, $T = 2$ s, nhưng lần này tại $t=0$, đồ thị cho $x(0) = -3$ cm và đường cong đang ĐI LÊN ngay sau đó. Xác định pha ban đầu $\varphi$, viết phương trình $x(t)$, và tính tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật.
2
$\cos(\varphi) = x(0)/A = -3/6 = -1/2$ , cho hai nghiệm $\varphi = \pm 2\pi/3$ . Vì đường cong đang đi lên ngay sau $t=0$ nên $v(0) = -A\omega\sin(\varphi) > 0$ , tức cần $\sin(\varphi) < 0$ . Do $\sin(-2\pi/3) = -\sqrt{3}/2 < 0$ còn $\sin(2\pi/3) = \sqrt{3}/2 > 0$ , ta chọn $\varphi = -2\pi/3$ rad.
$\cos(\varphi) = x(0)/A = -3/6 = -1/2$, cho hai nghiệm $\varphi = \pm 2\pi/3$. Vì đường cong đang đi lên ngay sau $t=0$ nên $v(0) = -A\omega\sin(\varphi) > 0$, tức cần $\sin(\varphi) < 0$. Do $\sin(-2\pi/3) = -\sqrt{3}/2 < 0$ còn $\sin(2\pi/3) = \sqrt{3}/2 > 0$, ta chọn $\varphi = -2\pi/3$ rad.
3
Với $\omega = 2\pi/T = \pi$ rad/s (giống bài trước, vì cùng $T=2$ s): $x(t) = 6\cos(\pi t - 2\pi/3)$ cm.
Với $\omega = 2\pi/T = \pi$ rad/s (giống bài trước, vì cùng $T=2$ s): $x(t) = 6\cos(\pi t - 2\pi/3)$ cm.
4
$v_{max} = A\omega = 6\pi \approx 18{,}85$ cm/s; $a_{max} = A\omega^2 = 6\pi^2 \approx 59{,}2$ cm/s² — hai giá trị này giống hệt bài trước, vì $v_{max}$ và $a_{max}$ chỉ phụ thuộc $A$ và $\omega$ , hoàn toàn không phụ thuộc $\varphi$ . Pha ban đầu chỉ quyết định vật xuất phát ở đâu, không ảnh hưởng đến độ lớn cực đại của vận tốc hay gia tốc.
$v_{max} = A\omega = 6\pi \approx 18{,}85$ cm/s; $a_{max} = A\omega^2 = 6\pi^2 \approx 59{,}2$ cm/s² — hai giá trị này giống hệt bài trước, vì $v_{max}$ và $a_{max}$ chỉ phụ thuộc $A$ và $\omega$, hoàn toàn không phụ thuộc $\varphi$. Pha ban đầu chỉ quyết định vật xuất phát ở đâu, không ảnh hưởng đến độ lớn cực đại của vận tốc hay gia tốc.
5
Dùng lại hệ thức $a/a_{max} = -x/A$ đã học ở bài 5: tại $t=0$ , $x(0)=-3$ cm nên $x(0)/A = -1/2$ , suy ra $a(0)/a_{max}$ phải bằng $1/2$ , tức $a(0) = a_{max}/2 \approx 29{,}6$ cm/s². Tính trực tiếp $a(0) = -A\omega^2\cos(\varphi) = -6\pi^2 \times (-1/2) \approx 29{,}6$ cm/s² — trùng khớp, xác nhận cả $\varphi$ lẫn công thức đều được áp dụng đúng.
Dùng lại hệ thức $a/a_{max} = -x/A$ đã học ở bài 5: tại $t=0$, $x(0)=-3$ cm nên $x(0)/A = -1/2$, suy ra $a(0)/a_{max}$ phải bằng $1/2$, tức $a(0) = a_{max}/2 \approx 29{,}6$ cm/s². Tính trực tiếp $a(0) = -A\omega^2\cos(\varphi) = -6\pi^2 \times (-1/2) \approx 29{,}6$ cm/s² — trùng khớp, xác nhận cả $\varphi$ lẫn công thức đều được áp dụng đúng.

Một lưu ý thực tế khi đồ thị trong đề là hình vẽ tay hoặc in ảnh, không có lưới toạ độ rõ ràng đến từng milimét: hãy ưu tiên đọc các mốc chắc chắn nhất trước — giao điểm với trục hoành, đỉnh và đáy — vì đó là những điểm đề luôn cố tình vẽ chính xác; các đoạn cong ở giữa chỉ mang tính minh họa hình dạng, không cần đọc số liệu chính xác đến từng ô nhỏ trên đó.

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp nhất khi đọc đồ thị là đo T bằng khoảng cách từ một đỉnh đến điểm cắt trục hoành gần nhất kế tiếp — đó chỉ là T/4, không phải T trọn vẹn. Phải đo giữa hai đỉnh CÙNG LOẠI (hai đỉnh trên với nhau, hoặc hai đáy với nhau) mới ra đúng một chu kỳ đầy đủ.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Đọc đồ thị x–t theo 5 bước: A (đỉnh), T (khoảng cách hai đỉnh cùng loại), $\omega = 2\pi/T$ , $\varphi$ (từ $x(0)$ và chiều biến thiên), rồi viết $x(t)$ . Đồ thị $v$ – $t$ lệch $T/4$ so với $x$ – $t$ ; đồ thị $a$ – $t$ giống hệt $x$ – $t$ nhưng ngược dấu.

Đọc đồ thị x–t theo 5 bước: A (đỉnh), T (khoảng cách hai đỉnh cùng loại), $\omega = 2\pi/T$, $\varphi$ (từ $x(0)$ và chiều biến thiên), rồi viết $x(t)$. Đồ thị $v$–$t$ lệch $T/4$ so với $x$–$t$; đồ thị $a$–$t$ giống hệt $x$–$t$ nhưng ngược dấu.

Đến đây, khóa học đã trang bị đủ công cụ để đọc và viết trọn vẹn một dao động điều hòa theo cả ba cách: bằng lời, bằng phương trình, và bằng đồ thị. Bài Ôn tập cuối cùng sẽ ghép cả ba kỹ năng này lại trong một bài toán tổng hợp, đúng kiểu đề kiểm tra giữa kì.