Bài học

Phương trình dao động điều hòa

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em đọc được biên độ $A$ , tần số góc $\omega$ và pha ban đầu $\varphi$ từ một phương trình dao động điều hòa cho trước, hiểu được ý nghĩa vật lí của từng đại lượng, và tính được li độ $x$ tại một thời điểm $t$ bất kỳ.

Sau bài này, em đọc được biên độ $A$, tần số góc $\omega$ và pha ban đầu $\varphi$ từ một phương trình dao động điều hòa cho trước, hiểu được ý nghĩa vật lí của từng đại lượng, và tính được li độ $x$ tại một thời điểm $t$ bất kỳ.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã định nghĩa dao động điều hòa bằng lời: li độ biến thiên theo thời gian đúng theo quy luật hàm $\cos$ . Bài này viết chính xác quy luật đó bằng một phương trình duy nhất. Em cần huy động lại kiến thức Toán 11 (same-grade bridge) về giá trị của hàm $\cos$ tại các góc đặc biệt như $\pi/6$ , $\pi/4$ , $\pi/3$ , $\pi/2$ — vì tính $x$ tại một thời điểm $t$ chính là tính giá trị của hàm $\cos$ tại một góc cụ thể.

Bài trước đã định nghĩa dao động điều hòa bằng lời: li độ biến thiên theo thời gian đúng theo quy luật hàm $\cos$. Bài này viết chính xác quy luật đó bằng một phương trình duy nhất. Em cần huy động lại kiến thức Toán 11 (same-grade bridge) về giá trị của hàm $\cos$ tại các góc đặc biệt như $\pi/6$, $\pi/4$, $\pi/3$, $\pi/2$ — vì tính $x$ tại một thời điểm $t$ chính là tính giá trị của hàm $\cos$ tại một góc cụ thể.

Khởi động

Nếu chỉ được cho đúng một dòng " $x = 4\cos(2\pi t + \pi/3)$ cm", em có thể trả lời được bao xa vật đi được so với vị trí cân bằng không, biết vật đang ở đâu lúc bắt đầu bấm giờ, và tính được vị trí của vật tại bất kỳ thời điểm nào sau đó không? Bài học này cho em công cụ đọc trọn vẹn cả ba thông tin đó chỉ từ một phương trình.

Nếu chỉ được cho đúng một dòng "$x = 4\cos(2\pi t + \pi/3)$ cm", em có thể trả lời được bao xa vật đi được so với vị trí cân bằng không, biết vật đang ở đâu lúc bắt đầu bấm giờ, và tính được vị trí của vật tại bất kỳ thời điểm nào sau đó không? Bài học này cho em công cụ đọc trọn vẹn cả ba thông tin đó chỉ từ một phương trình.

Kiến thức trọng tâm

Phương trình tổng quát của một dao động điều hòa là $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ , trong đó $t$ là thời gian tính từ lúc bắt đầu khảo sát (thường lấy mốc $t = 0$ ), còn $x$ là li độ tại thời điểm đó. Ba hằng số $A$ , $\omega$ , $\varphi$ đặc trưng cho dao động và không đổi theo thời gian.

Phương trình tổng quát của một dao động điều hòa là $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, trong đó $t$ là thời gian tính từ lúc bắt đầu khảo sát (thường lấy mốc $t = 0$), còn $x$ là li độ tại thời điểm đó. Ba hằng số $A$, $\omega$, $\varphi$ đặc trưng cho dao động và không đổi theo thời gian.

Biên độ $A$ (luôn lấy giá trị dương) là độ lệch lớn nhất của vật so với vị trí cân bằng, đơn vị theo chiều dài (cm, m). Vì $\cos$ luôn nằm trong đoạn $[-1;1]$ , li độ $x$ luôn thỏa $-A \le x \le A$ — vật không bao giờ đi ra ngoài đoạn này. Tần số góc $\omega$ (rad/s, luôn dương) đặc trưng cho tốc độ biến thiên của góc pha theo thời gian; $\omega$ càng lớn, pha $(\omega t + \varphi)$ càng biến đổi nhanh, và như em sẽ thấy ở bài sau, dao động càng "nhanh" (chu kỳ càng ngắn). Pha ban đầu $\varphi$ (rad) là giá trị của pha dao động tại thời điểm $t = 0$ ; nó quyết định vật xuất phát từ đâu và đang chuyển động theo chiều nào ngay tại thời điểm bắt đầu khảo sát. Cả cụm $(\omega t + \varphi)$ được gọi là pha dao động tại thời điểm $t$ — chính giá trị của cụm này (chứ không phải $t$ một mình) mới quyết định trạng thái của vật.

**Biên độ $A$** (luôn lấy giá trị dương) là độ lệch lớn nhất của vật so với vị trí cân bằng, đơn vị theo chiều dài (cm, m). Vì $\cos$ luôn nằm trong đoạn $[-1;1]$, li độ $x$ luôn thỏa $-A \le x \le A$ — vật không bao giờ đi ra ngoài đoạn này. **Tần số góc $\omega$** (rad/s, luôn dương) đặc trưng cho tốc độ biến thiên của góc pha theo thời gian; $\omega$ càng lớn, pha $(\omega t + \varphi)$ càng biến đổi nhanh, và như em sẽ thấy ở bài sau, dao động càng "nhanh" (chu kỳ càng ngắn). **Pha ban đầu $\varphi$** (rad) là giá trị của pha dao động tại thời điểm $t = 0$; nó quyết định vật xuất phát từ đâu và đang chuyển động theo chiều nào ngay tại thời điểm bắt đầu khảo sát. Cả cụm $(\omega t + \varphi)$ được gọi là **pha dao động tại thời điểm $t$** — chính giá trị của cụm này (chứ không phải $t$ một mình) mới quyết định trạng thái của vật.

Biên độ

A = 4

cm giới hạn đường cong trong

[-4;4]

; tại

t=0

, pha ban đầu

\varphi = \pi/3

cho

x(0) = 4\cos(\pi/3) = 2

cm.Biên độ $A = 4$ cm giới hạn đường cong trong $[-4;4]$; tại $t=0$, pha ban đầu $\varphi = \pi/3$ cho $x(0) = 4\cos(\pi/3) = 2$ cm.

Nhìn vào đồ thị, em thấy ngay $A$ chính là biên trên/dưới mà đường cong chạm tới, còn $\varphi$ quyết định điểm xuất phát của đường cong trên trục tung tại $t=0$ — nếu $\varphi = 0$ vật xuất phát đúng tại biên dương $x=A$ ; còn với $\varphi = \pi/3$ như trên, vật xuất phát tại $x = A\cos(\pi/3) = A/2$ , tức là đã đi được nửa quãng đường tới biên trước khi ta bắt đầu bấm giờ.

Nhìn vào đồ thị, em thấy ngay $A$ chính là biên trên/dưới mà đường cong chạm tới, còn $\varphi$ quyết định điểm xuất phát của đường cong trên trục tung tại $t=0$ — nếu $\varphi = 0$ vật xuất phát đúng tại biên dương $x=A$; còn với $\varphi = \pi/3$ như trên, vật xuất phát tại $x = A\cos(\pi/3) = A/2$, tức là đã đi được nửa quãng đường tới biên trước khi ta bắt đầu bấm giờ.

Kỹ năng cần luyện là đọc nhanh ba con số này ngay khi nhìn thấy một phương trình, không cần tính toán gì thêm. Ví dụ, với $x = 7\cos(3\pi t - \pi/4)$ cm, em đọc thẳng $A = 7$ cm (số đứng trước $\cos$ ), $\omega = 3\pi$ rad/s (hệ số của $t$ trong ngoặc), $\varphi = -\pi/4$ rad (số hạng không chứa $t$ trong ngoặc, giữ nguyên dấu). Còn với $x = 2\cos(5t)$ cm — không có số hạng cộng thêm trong ngoặc — thì mặc định $\varphi = 0$ , chứ không phải phương trình "thiếu" pha ban đầu. Luyện đọc theo đúng vị trí này giúp em không mất thời gian với những bài chỉ hỏi "đọc thông số", vốn chiếm một phần không nhỏ trong đề kiểm tra.

Kỹ năng cần luyện là đọc nhanh ba con số này ngay khi nhìn thấy một phương trình, không cần tính toán gì thêm. Ví dụ, với $x = 7\cos(3\pi t - \pi/4)$ cm, em đọc thẳng $A = 7$ cm (số đứng trước $\cos$), $\omega = 3\pi$ rad/s (hệ số của $t$ trong ngoặc), $\varphi = -\pi/4$ rad (số hạng không chứa $t$ trong ngoặc, giữ nguyên dấu). Còn với $x = 2\cos(5t)$ cm — không có số hạng cộng thêm trong ngoặc — thì mặc định $\varphi = 0$, chứ không phải phương trình "thiếu" pha ban đầu. Luyện đọc theo đúng vị trí này giúp em không mất thời gian với những bài chỉ hỏi "đọc thông số", vốn chiếm một phần không nhỏ trong đề kiểm tra.

Ví dụ

Đọc A, ω, φ và tính li độ tại một thời điểm

1
Một vật dao động điều hòa theo phương trình $x = 4\cos(2\pi t + \pi/3)$ cm ( $t$ tính bằng giây). Xác định biên độ, tần số góc, pha ban đầu, và tính li độ của vật tại $t = 0{,}5$ s.
Một vật dao động điều hòa theo phương trình $x = 4\cos(2\pi t + \pi/3)$ cm ($t$ tính bằng giây). Xác định biên độ, tần số góc, pha ban đầu, và tính li độ của vật tại $t = 0{,}5$ s.
2
So sánh với dạng tổng quát $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ , ta có ngay: $A = 4$ cm, $\omega = 2\pi$ rad/s, $\varphi = \pi/3$ rad.
So sánh với dạng tổng quát $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, ta có ngay: $A = 4$ cm, $\omega = 2\pi$ rad/s, $\varphi = \pi/3$ rad.
3
Thay $t = 0{,}5$ vào pha dao động: $\omega t + \varphi = 2\pi \times 0{,}5 + \pi/3 = \pi + \pi/3 = 4\pi/3$ . Ta có $\cos(4\pi/3) = -1/2$ . Vậy $x = 4 \times (-1/2) = -2$ cm — tại thời điểm này vật ở phía âm so với vị trí cân bằng, cách VTCB 2 cm.
Thay $t = 0{,}5$ vào pha dao động: $\omega t + \varphi = 2\pi \times 0{,}5 + \pi/3 = \pi + \pi/3 = 4\pi/3$. Ta có $\cos(4\pi/3) = -1/2$. Vậy $x = 4 \times (-1/2) = -2$ cm — tại thời điểm này vật ở phía âm so với vị trí cân bằng, cách VTCB 2 cm.
4
Kết quả $x = -2$ cm nằm trong đoạn $[-4;4]$ cho phép, đúng như điều kiện $-A \le x \le A$ đã nêu ở phần lí thuyết — nếu tính ra một giá trị vượt quá 4 cm hoặc nhỏ hơn $-4$ cm, chắc chắn đã tính sai ở đâu đó. Ngoài ra, so với $x(0) = 4\cos(\pi/3) = 2$ cm (đọc trực tiếp từ đồ thị phía trên), li độ đã đổi dấu sau nửa giây — hợp lí vì trong khoảng thời gian đó pha dao động đã tăng thêm $\pi$ , đúng bằng nửa chu kỳ.
Kết quả $x = -2$ cm nằm trong đoạn $[-4;4]$ cho phép, đúng như điều kiện $-A \le x \le A$ đã nêu ở phần lí thuyết — nếu tính ra một giá trị vượt quá 4 cm hoặc nhỏ hơn $-4$ cm, chắc chắn đã tính sai ở đâu đó. Ngoài ra, so với $x(0) = 4\cos(\pi/3) = 2$ cm (đọc trực tiếp từ đồ thị phía trên), li độ đã đổi dấu sau nửa giây — hợp lí vì trong khoảng thời gian đó pha dao động đã tăng thêm $\pi$, đúng bằng nửa chu kỳ.

Ví dụ

Nhận ra chu kỳ ẩn trong hai thời điểm biên đối lập (dạng đề thi)

1
Một vật dao động điều hòa với phương trình $x = 8\cos(2\pi t - \pi/4)$ cm. Tính li độ của vật tại $t_1 = 0{,}125$ s và tại $t_2 = 0{,}625$ s. Từ hai kết quả, nhận xét vị trí của vật ở hai thời điểm này có gì đặc biệt.
Một vật dao động điều hòa với phương trình $x = 8\cos(2\pi t - \pi/4)$ cm. Tính li độ của vật tại $t_1 = 0{,}125$ s và tại $t_2 = 0{,}625$ s. Từ hai kết quả, nhận xét vị trí của vật ở hai thời điểm này có gì đặc biệt.
2
Pha dao động: $\omega t_1 + \varphi = 2\pi \times 0{,}125 - \pi/4 = \pi/4 - \pi/4 = 0$ . Ta có $\cos(0) = 1$ , nên $x_1 = 8 \times 1 = 8$ cm — vật đang ở đúng biên dương, vị trí xa VTCB nhất theo chiều dương.
Pha dao động: $\omega t_1 + \varphi = 2\pi \times 0{,}125 - \pi/4 = \pi/4 - \pi/4 = 0$. Ta có $\cos(0) = 1$, nên $x_1 = 8 \times 1 = 8$ cm — vật đang ở đúng biên dương, vị trí xa VTCB nhất theo chiều dương.
3
Pha dao động: $\omega t_2 + \varphi = 2\pi \times 0{,}625 - \pi/4 = 1{,}25\pi - 0{,}25\pi = \pi$ . Ta có $\cos(\pi) = -1$ , nên $x_2 = 8 \times (-1) = -8$ cm — vật đang ở đúng biên âm.
Pha dao động: $\omega t_2 + \varphi = 2\pi \times 0{,}625 - \pi/4 = 1{,}25\pi - 0{,}25\pi = \pi$. Ta có $\cos(\pi) = -1$, nên $x_2 = 8 \times (-1) = -8$ cm — vật đang ở đúng biên âm.
4
Khoảng thời gian giữa hai thời điểm: $t_2 - t_1 = 0{,}625 - 0{,}125 = 0{,}5$ s. Với $\omega = 2\pi$ rad/s, chu kỳ dao động này là $T = 2\pi/\omega = 1$ s (bài sau sẽ chứng minh công thức này); $0{,}5$ s đúng bằng $T/2$ . Vậy kết quả nhất quán với một quy luật chung: sau đúng nửa chu kỳ, vật luôn ở biên đối diện với vị trí trước đó.
Khoảng thời gian giữa hai thời điểm: $t_2 - t_1 = 0{,}625 - 0{,}125 = 0{,}5$ s. Với $\omega = 2\pi$ rad/s, chu kỳ dao động này là $T = 2\pi/\omega = 1$ s (bài sau sẽ chứng minh công thức này); $0{,}5$ s đúng bằng $T/2$. Vậy kết quả nhất quán với một quy luật chung: sau đúng nửa chu kỳ, vật luôn ở biên đối diện với vị trí trước đó.

Hai điểm cách nhau

T/2 = 0{,}5

s luôn nằm ở hai biên đối diện nhau.Hai điểm cách nhau $T/2 = 0{,}5$ s luôn nằm ở hai biên đối diện nhau.

Kết quả này không chỉ đúng riêng cho ví dụ trên mà là một tính chất chung của mọi dao động điều hòa: vì $\cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta)$ , hai thời điểm bất kỳ cách nhau đúng $T/2$ luôn cho li độ đối dấu nhau (cùng độ lớn, ngược dấu). Tương tự, hai thời điểm cách nhau đúng $T$ (một chu kỳ trọn vẹn) luôn cho cùng li độ, vì pha dao động đã tăng thêm đúng $2\pi$ — trở về đúng góc cũ trên đường tròn lượng giác. Ghi nhớ hai tính chất này giúp em kiểm tra nhanh kết quả của một bài toán nhiều thời điểm mà không cần tính lại từ đầu mỗi lần.

Kết quả này không chỉ đúng riêng cho ví dụ trên mà là một tính chất chung của mọi dao động điều hòa: vì $\cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta)$, hai thời điểm bất kỳ cách nhau đúng $T/2$ luôn cho li độ đối dấu nhau (cùng độ lớn, ngược dấu). Tương tự, hai thời điểm cách nhau đúng $T$ (một chu kỳ trọn vẹn) luôn cho cùng li độ, vì pha dao động đã tăng thêm đúng $2\pi$ — trở về đúng góc cũ trên đường tròn lượng giác. Ghi nhớ hai tính chất này giúp em kiểm tra nhanh kết quả của một bài toán nhiều thời điểm mà không cần tính lại từ đầu mỗi lần.

Sai lầm thường gặp

Nhầm biên độ $A$ (một hằng số, không đổi theo thời gian) với li độ $x$ tại một thời điểm cụ thể (luôn thay đổi) là lỗi hay gặp nhất. Lỗi thứ hai là quên đơn vị của $\varphi$ luôn là radian trong công thức này — nếu đề cho góc bằng độ, phải đổi sang radian trước khi thay vào pha dao động, nếu không kết quả tính $\cos$ sẽ sai hoàn toàn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$x = A\cos(\omega t + \varphi)$ : $A$ là biên độ (không đổi, luôn dương), $\omega$ là tần số góc (rad/s, luôn dương), $\varphi$ là pha ban đầu (rad, giá trị pha lúc $t=0$ ), và $(\omega t + \varphi)$ là pha dao động tại thời điểm $t$ — chính đại lượng này quyết định vị trí và chiều chuyển động của vật.

$x = A\cos(\omega t + \varphi)$: $A$ là biên độ (không đổi, luôn dương), $\omega$ là tần số góc (rad/s, luôn dương), $\varphi$ là pha ban đầu (rad, giá trị pha lúc $t=0$), và $(\omega t + \varphi)$ là pha dao động tại thời điểm $t$ — chính đại lượng này quyết định vị trí và chiều chuyển động của vật.

Bài tiếp theo trả lời câu hỏi: đại lượng $\omega$ có liên hệ thế nào với chu kỳ $T$ và tần số $f$ — hai khái niệm quen thuộc hơn khi nói về một dao động lặp lại theo thời gian.