Định luật phóng xạ — chu kì bán rã

Sau bài này, em phát biểu được định luật phóng xạ và ý nghĩa của chu kì bán rã $T$, tính được số hạt nhân còn lại $N$ sau một khoảng thời gian $t$ bất kỳ — kể cả khi $t$ không phải là bội số nguyên của $T$ — và chuyển đổi được giữa chu kì bán rã $T$ và hằng số phóng xạ $\lambda$.

Bài trước em đã biết phóng xạ là quá trình tự phát, không phụ thuộc điều kiện bên ngoài (same-grade bridge). Bài này định lượng hoá tính tự phát đó: dù không dự đoán được một hạt nhân cụ thể nào sẽ phân rã vào lúc nào, ta hoàn toàn có thể dự đoán chính xác có bao nhiêu phần trăm của một số lượng lớn hạt nhân sẽ còn lại sau một khoảng thời gian cho trước.

**Chu kì bán rã** $T$ của một chất phóng xạ là khoảng thời gian để đúng một nửa số hạt nhân phóng xạ ban đầu của mẫu biến đổi thành hạt nhân khác. Đây là một đại lượng đặc trưng riêng cho từng loại hạt nhân, không phụ thuộc khối lượng mẫu ban đầu là bao nhiêu, và cũng không đổi theo thời gian: dù mẫu còn nhiều hay ít hạt nhân, cứ sau mỗi khoảng $T$, số hạt nhân còn lại lại giảm đi một nửa so với ngay trước đó. Từ tính chất "cứ mỗi $T$ lại giảm một nửa" đó, ta có **định luật phóng xạ**: $$N = N_0 \cdot 2^{-t/T}$$ trong đó $N_0$ là số hạt nhân phóng xạ tại thời điểm ban đầu ($t=0$), và $N$ là số hạt nhân còn lại sau thời gian $t$. Công thức tương đương thường gặp là $N = N_0 e^{-\lambda t}$, với $\lambda$ gọi là **hằng số phóng xạ**, liên hệ với chu kì bán rã theo $\lambda = \ln 2 / T$ (suy ra từ điều kiện tại $t=T$ thì $N=N_0/2$). Hai công thức này hoàn toàn tương đương, chỉ khác cách viết cùng một quy luật giảm theo hàm mũ. Điều quan trọng cần nhấn mạnh: công thức $N=N_0\cdot 2^{-t/T}$ đúng với MỌI giá trị $t$, không chỉ khi $t$ là bội số nguyên của $T$. Khi $t=T, 2T, 3T,\ldots$, ta dễ dàng tính nhẩm được $N=N_0/2, N_0/4, N_0/8,\ldots$ vì số mũ là số nguyên âm. Nhưng khi $t$ không phải bội số nguyên của $T$ — ví dụ $t=1{,}5T$ — công thức vẫn áp dụng được y hệt, chỉ là kết quả $2^{-1{,}5}$ không còn là một phân số đẹp như $1/2$ hay $1/4$ nữa, và em cần dùng máy tính để tính ra một số thập phân. Đây chính là điểm nhiều học sinh nhầm lẫn: nghĩ rằng định luật phóng xạ chỉ áp dụng được tại đúng những mốc thời gian là bội số của $T$, trong khi thực ra hạt nhân phân rã liên tục theo thời gian, và công thức mô tả đúng số hạt nhân còn lại tại bất kỳ thời điểm nào. Một cách hình dung trực quan: hãy theo dõi một mẫu có $T=8$ ngày qua từng chu kì liên tiếp. Ngay từ đầu có $N_0$ hạt nhân. Sau 8 ngày (một chu kì), còn $N_0/2$. Sau 16 ngày (hai chu kì), còn $N_0/4$ — tức một nửa của $N_0/2$, chứ không phải "hết sạch" như đôi khi học sinh nhầm tưởng khi nghe "hai lần một nửa". Sau 24 ngày (ba chu kì), còn $N_0/8$. Số hạt nhân còn lại không bao giờ chạm đúng 0 sau một số hữu hạn chu kì bán rã — nó chỉ tiến dần về 0 theo cấp số nhân, càng về sau càng giảm chậm hơn về số lượng tuyệt đối dù tỉ lệ giảm phần trăm ở mỗi chu kì vẫn luôn là 50%. Về bản chất, hằng số phóng xạ $\lambda$ mang một ý nghĩa xác suất: nó là xác suất mà MỘT hạt nhân bất kỳ trong mẫu phân rã trong một đơn vị thời gian. Không ai dự đoán được chính xác một hạt nhân cụ thể sẽ phân rã vào giây nào — đó là một quá trình ngẫu nhiên thuần tuý. Nhưng khi mẫu chứa một số lượng rất lớn hạt nhân (thường cỡ $10^{15}$ trở lên), quy luật số lớn khiến tỉ lệ phần trăm phân rã của cả tập hợp trở nên gần như hoàn toàn xác định, và đó chính là điều công thức $N=N_0\cdot2^{-t/T}$ mô tả — nó đúng cho hành vi thống kê của một số lượng lớn hạt nhân, chứ không dự đoán số phận của từng hạt nhân riêng lẻ.

Bài tiếp theo dùng chính công thức $N=N_0\cdot2^{-t/T}$ này để định nghĩa độ phóng xạ — đại lượng đo tốc độ phân rã của mẫu tại một thời điểm, và là đại lượng thực tế được đo trong y tế, khảo cổ và nông nghiệp.