Bài học

Công thức tính diện tích tam giác

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được diện tích một tam giác bằng bốn công thức khác nhau — theo hai cạnh và góc xen giữa, theo công thức Heron, theo bán kính ngoại tiếp và theo bán kính nội tiếp — và biết chọn công thức phù hợp với dữ kiện đề cho.

Kiến thức nền cần nhớ

Từ lớp dưới, em đã quen công thức diện tích tam giác $S=\dfrac{1}{2}\times$ đáy $\times$ chiều cao — nhưng công thức đó đòi hỏi biết chiều cao, một đại lượng không phải lúc nào đề cũng cho trực tiếp. Hai bài trước vừa trang bị cho em định lý cosin và định lý sin (same-grade bridge) — đúng những công cụ để tính diện tích từ cạnh và góc, không cần vẽ thêm đường cao.

Khởi động

Một tam giác có ba cạnh 6, 8, 10 — không có góc nào cho sẵn, cũng chưa biết chiều cao ứng với cạnh nào. Diện tích của nó bằng bao nhiêu?

Kiến thức trọng tâm

Có bốn công thức tính diện tích tam giác ABC (với $p=\dfrac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi, R là bán kính ngoại tiếp, r là bán kính nội tiếp): $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$ (dùng hai cạnh và góc xen giữa — chọn cặp cạnh nào cũng được, miễn có góc xen giữa chúng); công thức Heron $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (dùng khi chỉ biết ba cạnh); $S=\dfrac{abc}{4R}$ (dùng khi biết bán kính ngoại tiếp); và $S=pr$ (dùng khi biết bán kính nội tiếp).

Bốn công thức này không phải bốn kiến thức tách rời — chúng là bốn cách viết lại cùng một diện tích S, nên với cùng một tam giác, dùng công thức nào cũng phải ra cùng một kết quả. Đây chính là cách tự kiểm tra bài làm: nếu đề cho đủ dữ kiện để tính S bằng hai công thức khác nhau, hai kết quả phải khớp nhau; nếu lệch, chắc chắn có chỗ tính sai.

Cả bốn công thức đều là những cách viết khác nhau của cùng một ý tưởng "nửa tích hai đại lượng vuông góc nhau", chỉ khác ở việc đại lượng vuông góc đó được thay bằng gì. Công thức quen thuộc $S=\dfrac{1}{2}$ đáy·chiều cao dùng trực tiếp một đường cao; $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$ thay chiều cao bằng $b\sin C$ — chính là chiều cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC, biểu diễn qua góc thay vì đo trực tiếp. Nhìn theo cách này, các công thức không phải học thuộc rời rạc mà là cùng một ý tưởng hình học được viết lại dưới những dữ kiện khác nhau.

Cả bốn công thức đều là những cách viết khác nhau của cùng một ý tưởng "nửa tích hai đại lượng vuông góc nhau", chỉ khác ở việc đại lượng vuông góc đó được thay bằng gì. Công thức quen thuộc $S=\dfrac{1}{2}$đáy·chiều cao dùng trực tiếp một đường cao; $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$ thay chiều cao bằng $b\sin C$ — chính là chiều cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC, biểu diễn qua góc thay vì đo trực tiếp. Nhìn theo cách này, các công thức không phải học thuộc rời rạc mà là cùng một ý tưởng hình học được viết lại dưới những dữ kiện khác nhau.

Chọn công thức nào phụ thuộc vào dữ kiện đề bài cho, không phải sở thích. Biết hai cạnh và góc xen giữa — dùng ngay $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$ , không cần tính cạnh thứ ba. Chỉ biết ba cạnh — bắt buộc dùng Heron. Biết bán kính ngoại tiếp cùng ba cạnh — dùng $S=\dfrac{abc}{4R}$ để tránh phải tính góc. Cần tìm bán kính nội tiếp r sau khi đã biết S và p — đảo ngược công thức $S=pr$ thành $r=\dfrac{S}{p}$ .

Chọn công thức nào phụ thuộc vào dữ kiện đề bài cho, không phải sở thích. Biết hai cạnh và góc xen giữa — dùng ngay $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$, không cần tính cạnh thứ ba. Chỉ biết ba cạnh — bắt buộc dùng Heron. Biết bán kính ngoại tiếp cùng ba cạnh — dùng $S=\dfrac{abc}{4R}$ để tránh phải tính góc. Cần tìm bán kính nội tiếp r sau khi đã biết S và p — đảo ngược công thức $S=pr$ thành $r=\dfrac{S}{p}$.

Công thức Heron mang tên nhà toán học Heron xứ Alexandria, người đã chứng minh nó từ khoảng hai nghìn năm trước — trước cả khi lượng giác hiện đại ra đời — nên công thức không hề nhắc tới sin hay cos, chỉ cần ba cạnh. Đây là lý do nó vẫn là công cụ số một trong đo đạc thực địa: một người thợ đạc chỉ cần dây đo ba cạnh của một thửa đất tam giác, không cần dụng cụ đo góc, vẫn tính được diện tích chính xác.

Điều này cũng lý giải vì sao đo đạc cổ (chỉ dùng dây và cọc, chưa có dụng cụ đo góc chính xác) vẫn tính được diện tích ruộng đất từ hàng nghìn năm trước: đo ba cạnh bằng dây, thay vào Heron, xong.

Ví dụ 1: một tam giác, ba công thức, một kết quả

Lời giải có hình

Tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 6, 8 và cạnh huyền 10

Bước 1

Tam giác ABC vuông tại C, có hai cạnh góc vuông CA = 6, CB = 8 (nên cạnh huyền AB = 10).

Ví dụ

Tính diện tích tam giác 6-8-10 bằng Heron và kiểm tra chéo

1
Tam giác ABC vuông tại C, có hai cạnh góc vuông $CA=6$ , $CB=8$ (nên cạnh huyền $AB=10$ ). Tính diện tích S, bán kính nội tiếp r và bán kính ngoại tiếp R.
Tam giác ABC vuông tại C, có hai cạnh góc vuông $CA=6$, $CB=8$ (nên cạnh huyền $AB=10$). Tính diện tích S, bán kính nội tiếp r và bán kính ngoại tiếp R.
2
Ta có nửa chu vi $p=\dfrac{6+8+10}{2}=12$ , nên $S=\sqrt{12\times(12-6)\times(12-8)\times(12-10)}=\sqrt{12\times6\times4\times2}=\sqrt{576}=24$ .
Ta có nửa chu vi $p=\dfrac{6+8+10}{2}=12$, nên $S=\sqrt{12\times(12-6)\times(12-8)\times(12-10)}=\sqrt{12\times6\times4\times2}=\sqrt{576}=24$.
3
Hạ đường cao $CH\perp AB$ tại H, ta có $CH=\dfrac{CA\times CB}{AB}=\dfrac{6\times8}{10}=4,8$ , nên $S=\dfrac{1}{2}\times AB\times CH=\dfrac{1}{2}\times10\times4,8=24$ — khớp với Heron.
Hạ đường cao $CH\perp AB$ tại H, ta có $CH=\dfrac{CA\times CB}{AB}=\dfrac{6\times8}{10}=4,8$, nên $S=\dfrac{1}{2}\times AB\times CH=\dfrac{1}{2}\times10\times4,8=24$ — khớp với Heron.
4
Ta có $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{24}{12}=2$ và $R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{6\times8\times10}{4\times24}=5$ .
Ta có $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{24}{12}=2$ và $R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{6\times8\times10}{4\times24}=5$.
5
Với tam giác vuông, một tính chất quen thuộc là bán kính ngoại tiếp bằng nửa cạnh huyền: $R=\dfrac{10}{2}=5$ — đúng như vừa tính, một dấu hiệu nữa cho thấy các phép tính ở trên nhất quán. Vậy $S=24$ , $r=2$ , $R=5$ (đơn vị tương ứng).
Với tam giác vuông, một tính chất quen thuộc là bán kính ngoại tiếp bằng nửa cạnh huyền: $R=\dfrac{10}{2}=5$ — đúng như vừa tính, một dấu hiệu nữa cho thấy các phép tính ở trên nhất quán. Vậy $S=24$, $r=2$, $R=5$ (đơn vị tương ứng).

Ví dụ 2: dùng công thức nửa tích hai cạnh nhân sin (dạng thi)

Ba công thức khác nhau (Heron, 1/2 đáy nhân chiều cao, abc/4R) đều phải cho cùng một diện tích — đây là cách tự kiểm tra kết quả.

Ví dụ

Tính diện tích và bán kính nội tiếp khi biết hai cạnh và góc tù xen giữa

1
Tam giác ABC có $AB=9$ , $AC=12$ và góc $A=150°$ . Tính diện tích S và bán kính nội tiếp r.
Tam giác ABC có $AB=9$, $AC=12$ và góc $A=150°$. Tính diện tích S và bán kính nội tiếp r.
2
Ta có $S=\dfrac{1}{2}\times AB\times AC\times\sin A=\dfrac{1}{2}\times9\times12\times\sin 150°=27$ — không cần biết cạnh BC.
Ta có $S=\dfrac{1}{2}\times AB\times AC\times\sin A=\dfrac{1}{2}\times9\times12\times\sin 150°=27$ — không cần biết cạnh BC.
3
Muốn có r cần nửa chu vi p, tức cần cả ba cạnh. Áp dụng định lý cosin: $BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times\cos A$ , với $\cos 150°<0$ vì góc tù, ta được $BC\approx20,3$ .
Muốn có r cần nửa chu vi p, tức cần cả ba cạnh. Áp dụng định lý cosin: $BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times\cos A$, với $\cos 150°<0$ vì góc tù, ta được $BC\approx20,3$.
4
Ta có $p=\dfrac{9+12+20,3}{2}\approx20,65$ , nên $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{27}{20,65}\approx1,31$ .
Ta có $p=\dfrac{9+12+20,3}{2}\approx20,65$, nên $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{27}{20,65}\approx1,31$.
5
Vậy $S=27$ (đơn vị diện tích), $r\approx1,31$ (đơn vị dài). Bài này cho thấy lợi thế của công thức $\dfrac{1}{2}ab\sin C$ : tính S ngay mà không cần đi vòng qua cạnh thứ ba, dù để tính r vẫn phải quay lại định lý cosin.
Vậy $S=27$ (đơn vị diện tích), $r\approx1,31$ (đơn vị dài). Bài này cho thấy lợi thế của công thức $\dfrac{1}{2}ab\sin C$: tính S ngay mà không cần đi vòng qua cạnh thứ ba, dù để tính r vẫn phải quay lại định lý cosin.

Ví dụ 3: trường hợp đặc biệt — tam giác đều

Tam giác đều là trường hợp gọn gàng nhất để nhìn cả bốn công thức cùng lúc, vì ba cạnh bằng nhau và ba góc đều bằng 60°.

Ví dụ

Tính S, r, R của một tam giác đều

1
Một tam giác đều có cạnh $a=6$ . Tính diện tích S, bán kính nội tiếp r và bán kính ngoại tiếp R.
Một tam giác đều có cạnh $a=6$. Tính diện tích S, bán kính nội tiếp r và bán kính ngoại tiếp R.
2
Vì tam giác đều có mọi góc bằng $60°$ , $S=\dfrac{1}{2}\times6\times6\times\sin60°\approx15,59$ .
Vì tam giác đều có mọi góc bằng $60°$, $S=\dfrac{1}{2}\times6\times6\times\sin60°\approx15,59$.
3
Nửa chu vi $p=\dfrac{6+6+6}{2}=9$ , nên $r=\dfrac{S}{p}\approx1,73$ ; và $R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{6^3}{4S}\approx3,46$ .
Nửa chu vi $p=\dfrac{6+6+6}{2}=9$, nên $r=\dfrac{S}{p}\approx1,73$; và $R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{6^3}{4S}\approx3,46$.
4
Ta thấy $R\approx2r$ — với tam giác đều, bán kính ngoại tiếp luôn gấp đôi bán kính nội tiếp (một tính chất riêng của tam giác đều, không đúng cho tam giác bất kỳ). Vậy $S\approx15,59$ , $r\approx1,73$ , $R\approx3,46$ (đơn vị tương ứng).
Ta thấy $R\approx2r$ — với tam giác đều, bán kính ngoại tiếp luôn gấp đôi bán kính nội tiếp (một tính chất riêng của tam giác đều, không đúng cho tam giác bất kỳ). Vậy $S\approx15,59$, $r\approx1,73$, $R\approx3,46$ (đơn vị tương ứng).

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến là dùng nhầm góc xen giữa: công thức $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$ chỉ đúng khi C là góc xen giữa hai cạnh a và b, không phải góc bất kỳ trong tam giác. Sai lầm khác là quên căn bậc hai trong công thức Heron — nhiều em tính ra $p(p-a)(p-b)(p-c)$ rồi dừng lại, quên đây là $S^2$ chứ chưa phải S.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Bốn công thức diện tích: $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$ (hai cạnh, góc xen giữa), $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (ba cạnh), $S=\dfrac{abc}{4R}$ (biết R), $S=pr$ (biết r). Cùng một tam giác, mọi công thức phải cho cùng một S — dùng điều đó để tự kiểm tra bài làm.

Bài tiếp theo dùng chính các công cụ này — định lý cosin, định lý sin và diện tích — để giải các bài toán đo khoảng cách và chiều cao ngoài thực tế.