Bài học

Ôn tập: đo đạc kết hợp diện tích

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vận dụng trọn vẹn cả chương — dựng mô hình tam giác từ một tình huống thực tế, giải tam giác đó bằng định lý sin, rồi tính diện tích bằng hai công thức độc lập để tự kiểm tra kết quả cuối cùng.

Nhắc lại bài toán đo đạc

Bài đo khoảng cách qua sông đã cho một tam giác ABC với cạnh đáy $AB=40$ m và hai góc kề $\widehat{A}=50°$ , $\widehat{B}=60°$ — nhưng bài đó chỉ dừng lại ở việc tính khoảng cách AC. Một khu đất hình tam giác được đánh dấu bởi ba điểm A, B, C đó có diện tích bao nhiêu? Câu hỏi này không cần kỹ thuật mới nào — chỉ cần hoàn tất tam giác đã dựng và áp dụng đúng công thức diện tích đã học.

Bài đo khoảng cách qua sông đã cho một tam giác ABC với cạnh đáy $AB=40$ m và hai góc kề $\widehat{A}=50°$, $\widehat{B}=60°$ — nhưng bài đó chỉ dừng lại ở việc tính khoảng cách AC. Một khu đất hình tam giác được đánh dấu bởi ba điểm A, B, C đó có diện tích bao nhiêu? Câu hỏi này không cần kỹ thuật mới nào — chỉ cần hoàn tất tam giác đã dựng và áp dụng đúng công thức diện tích đã học.

Đây cũng là bài học cuối cùng của khoá: một bài toán tổng hợp thật sự không đo lường độ khó bằng việc bịa ra công thức mới, mà bằng việc nhận ra dữ kiện cũ (một cạnh, hai góc từ bài đo đạc) vẫn còn đủ để trả lời một câu hỏi mới (diện tích) chưa từng được hỏi trước đó.

Khởi động

Ba điểm A, B, C của bài đo khoảng cách qua sông thực ra đánh dấu ba đỉnh của một khu đất hình tam giác ven sông. Biết đủ một cạnh và hai góc của nó, diện tích khu đất tính thế nào — và có cách nào kiểm tra lại kết quả mà không cần đo lại từ đầu?

Bài toán này cũng phản ánh đúng một nhu cầu thật ngoài đời: khi đo đạc một thửa đất ven sông để làm hồ sơ địa chính, người đo không chỉ cần biết khoảng cách tới một điểm mốc mà còn cần diện tích cả thửa đất — và toàn bộ dữ kiện để tính diện tích đó thường đã có sẵn ngay trong lần đo góc-cạnh ban đầu, không cần quay lại hiện trường đo thêm.

Hoàn tất tam giác và tính diện tích hai cách

Lời giải có hình

Tam giác đo đạc đã giải trọn vẹn — kiểm tra diện tích hai cách

Bước 1

Nhắc lại tam giác đo được ở bài đo khoảng cách qua sông: AB = 40 m, AC ≈ 36,86 m, BC ≈ 32,61 m.

Ví dụ

Tính diện tích khu đất tam giác ABC

1
Ba điểm A, B, C (từ bài đo khoảng cách qua sông) tạo thành một tam giác với $AB=40$ m, góc $A=50°$ , góc $B=60°$ . Tính diện tích khu đất tam giác ABC.
Ba điểm A, B, C (từ bài đo khoảng cách qua sông) tạo thành một tam giác với $AB=40$ m, góc $A=50°$, góc $B=60°$. Tính diện tích khu đất tam giác ABC.
2
Góc còn lại $\widehat{C}=180°-50°-60°=70°$ . Áp dụng định lý sin: $AC=\dfrac{AB\sin B}{\sin C}\approx36,86$ m, $BC=\dfrac{AB\sin A}{\sin C}\approx32,61$ m — đúng hai cạnh đã tính ở bài đo đạc.
Góc còn lại $\widehat{C}=180°-50°-60°=70°$. Áp dụng định lý sin: $AC=\dfrac{AB\sin B}{\sin C}\approx36,86$ m, $BC=\dfrac{AB\sin A}{\sin C}\approx32,61$ m — đúng hai cạnh đã tính ở bài đo đạc.
3
Chọn cặp cạnh AB, BC với góc xen giữa là góc B: $S=\dfrac{1}{2}\times AB\times BC\times\sin B\approx\dfrac{1}{2}\times40\times32,61\times\sin60°\approx564,79$ m².
Chọn cặp cạnh AB, BC với góc xen giữa là góc B: $S=\dfrac{1}{2}\times AB\times BC\times\sin B\approx\dfrac{1}{2}\times40\times32,61\times\sin60°\approx564,79$ m².
4
Với cả ba cạnh $AB=40$ , $BC\approx32,61$ , $AC\approx36,86$ , công thức Heron cho $S\approx564,79$ m² — khớp với kết quả ở bước trên.
Với cả ba cạnh $AB=40$, $BC\approx32,61$, $AC\approx36,86$, công thức Heron cho $S\approx564,79$ m² — khớp với kết quả ở bước trên.
5
Vậy diện tích khu đất tam giác ABC xấp xỉ 564,79 m². Hai công thức độc lập (một từ hai cạnh và góc xen giữa, một từ cả ba cạnh) cho cùng một kết quả — đúng nguyên tắc tự kiểm tra đã luyện xuyên suốt cả chương.

Hai công thức độc lập cho cùng một diện tích — cách tự kiểm tra bài toán đo đạc đã giải đúng.

Ví dụ 2: diện tích tam giác ABD của bài đo chiều cao tháp

Bài đo chiều cao tháp ở chương trước cũng dựng một tam giác — ABD, với D là đỉnh tháp — nhưng chỉ dùng nó để tìm cạnh BD rồi dừng lại. Diện tích tam giác ABD đó (phần đất tam giác giữa hai điểm ngắm và đỉnh tháp, chiếu xuống mặt phẳng đứng) tính được ngay từ dữ kiện đã có, không cần đo thêm gì.

Ví dụ

Tính diện tích tam giác ABD từ bài đo chiều cao tháp

1
Nhắc lại tam giác ABD của bài đo chiều cao tháp: $AB=30$ m, góc $A=40°$ , góc $ABD=180°-65°=115°$ , và đã tính được $BD\approx45,63$ m. Tính diện tích tam giác ABD.
Nhắc lại tam giác ABD của bài đo chiều cao tháp: $AB=30$ m, góc $A=40°$, góc $ABD=180°-65°=115°$, và đã tính được $BD\approx45,63$ m. Tính diện tích tam giác ABD.
2
Hai cạnh AB, BD gặp nhau tại đỉnh B với góc xen giữa là góc ABD $=115°$ .
Hai cạnh AB, BD gặp nhau tại đỉnh B với góc xen giữa là góc ABD $=115°$.
3
Ta có $S=\dfrac{1}{2}\times AB\times BD\times\sin(ABD)\approx\dfrac{1}{2}\times30\times45,63\times\sin115°\approx620,31$ (đơn vị diện tích).
Ta có $S=\dfrac{1}{2}\times AB\times BD\times\sin(ABD)\approx\dfrac{1}{2}\times30\times45,63\times\sin115°\approx620,31$ (đơn vị diện tích).
4
Cạnh còn lại $AD$ tính bằng định lý sin: $AD=\dfrac{AB\times\sin(ABD)}{\sin(ADB)}\approx64,34$ m. Heron với ba cạnh $AB$ , $BD$ , $AD$ cho cùng diện tích như trên — hai công thức lại khớp nhau, đúng nguyên tắc tự kiểm tra của cả chương.
Cạnh còn lại $AD$ tính bằng định lý sin: $AD=\dfrac{AB\times\sin(ABD)}{\sin(ADB)}\approx64,34$ m. Heron với ba cạnh $AB$, $BD$, $AD$ cho cùng diện tích như trên — hai công thức lại khớp nhau, đúng nguyên tắc tự kiểm tra của cả chương.

Trong đo đạc thực địa, mọi góc và khoảng cách đều đo bằng dụng cụ có sai số nhỏ, nên một con số tính ra chỉ một lần không đủ đáng tin — đó là lý do xuyên suốt chương này, mỗi bài toán đều được giải rồi kiểm tra lại bằng một con đường độc lập: Ví dụ 1 kiểm tra bề rộng sông bằng hai tam giác vuông khác nhau, Ví dụ 2 kiểm tra diện tích bằng công thức lượng giác lẫn Heron, và cả hai ví dụ trong bài Ứng dụng đều kiểm tra góc, cạnh trước khi kết luận. Thói quen "tính xong, kiểm tra lại bằng cách khác" chính là kỹ năng thực hành quan trọng nhất mà chương Hệ thức lượng trong tam giác để lại, không kém gì bản thân các công thức.

Nhìn lại toàn khoá: Chương 1 và 2 cho hai định lý giải tam giác, Chương 3 cho bốn công thức diện tích và cách kiểm tra chéo giữa chúng, Chương 4 dạy cách dựng mô hình cho tình huống thực tế, còn hai bài Ôn tập này ghép mọi mảnh đó lại thành một quy trình duy nhất — từ một tình huống ngoài đời tới con số cuối cùng, luôn kèm một phép kiểm tra độc lập.

Bài toán này khép lại cả chương theo đúng trình tự nó đã được xây dựng: một tình huống thực tế được dựng thành tam giác (bài ứng dụng), tam giác đó được giải trọn vẹn bằng định lý sin và cosin (hai bài đầu chương), rồi diện tích của nó được tính và kiểm chứng bằng nhiều công thức khác nhau (bài diện tích) — không có kỹ thuật nào trong bài này nằm ngoài những gì bốn bài trước đã dạy.

Sai lầm thường gặp

Khi đã có sẵn AC và BC từ bài đo đạc, một sai lầm thường gặp là quên rằng góc xen giữa cặp cạnh mình chọn để tính diện tích phải đúng là góc nằm giữa hai cạnh đó — chọn cặp AB, BC thì góc xen giữa là góc B, không phải góc A hay góc C. Chọn nhầm góc làm sai toàn bộ kết quả dù các cạnh đã tính đúng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một bài toán đo đạc thực tế trọn vẹn: dựng mô hình tam giác → giải bằng định lý sin/cosin → tính diện tích bằng công thức phù hợp với dữ kiện đã có → kiểm tra lại bằng một công thức diện tích khác. Cả chương Hệ thức lượng trong tam giác gói gọn trong bốn bước đó.

Khóa Vectơ tiếp theo sẽ tiếp cận hình học từ một góc nhìn khác — dùng vectơ để biểu diễn và chứng minh các tính chất hình học, kể cả nhiều kết quả em vừa học ở chương này.