Bài học

Định lý sin và ứng dụng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu đúng định lý sin, dùng nó để tính một cạnh hoặc một góc khi biết đủ dữ kiện dạng góc-cạnh-góc hoặc cạnh-góc-góc, và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp một tam giác từ một cặp cạnh-góc đối diện bất kỳ.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em một công cụ dùng khi biết hai cạnh và góc xen giữa (SAS) hoặc cả ba cạnh (SSS). Nhưng nhiều đề bài lại cho một cạnh cùng hai góc, hoặc hai cạnh cùng một góc không xen giữa — những tình huống định lý cosin xử lý khá cồng kềnh. Định lý sin hôm nay lấp đúng khoảng trống đó, đồng thời gắn tam giác với đường tròn đi qua ba đỉnh của nó — kiến thức về đường tròn từ lớp 9 sẽ quay lại đây theo một cách mới.

Khởi động

Một tam giác có cạnh $a=10$ đối diện góc $A=45°$ , và góc $B=60°$ . Không biết cạnh nào khác, làm sao tính được cạnh $b$ và bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C?

Một tam giác có cạnh $a=10$ đối diện góc $A=45°$, và góc $B=60°$. Không biết cạnh nào khác, làm sao tính được cạnh $b$ và bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C?

Kiến thức trọng tâm

Định lý sin phát biểu: trong tam giác ABC, $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$ , trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác — đường tròn duy nhất đi qua cả ba đỉnh A, B, C. Ba tỉ số này luôn bằng nhau vì chúng đều bằng cùng một hằng số $2R$ của tam giác, bất kể tam giác đó hình dạng ra sao.

Định lý sin phát biểu: trong tam giác ABC, $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$, trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác — đường tròn duy nhất đi qua cả ba đỉnh A, B, C. Ba tỉ số này luôn bằng nhau vì chúng đều bằng cùng một hằng số $2R$ của tam giác, bất kể tam giác đó hình dạng ra sao.

Hệ thức này rất linh hoạt: biết một cặp cạnh-góc đối diện bất kỳ (như $a$ và $A$ ) là tính ngay được $2R$ , rồi từ đó suy ra mọi cạnh còn lại chỉ cần biết góc đối diện nó — không cần biết đủ ba yếu tố như định lý cosin. Đây là công cụ đúng cho dạng bài góc-cạnh-góc (ASA) hoặc cạnh-góc-góc (AAS): biết một cạnh và đủ hai góc (góc thứ ba suy ra ngay từ tổng ba góc bằng 180°), định lý sin cho toàn bộ các cạnh còn lại chỉ bằng phép tính tỉ lệ.

Hệ thức này rất linh hoạt: biết một cặp cạnh-góc đối diện bất kỳ (như $a$ và $A$) là tính ngay được $2R$, rồi từ đó suy ra mọi cạnh còn lại chỉ cần biết góc đối diện nó — không cần biết đủ ba yếu tố như định lý cosin. Đây là công cụ đúng cho dạng bài góc-cạnh-góc (ASA) hoặc cạnh-góc-góc (AAS): biết một cạnh và đủ hai góc (góc thứ ba suy ra ngay từ tổng ba góc bằng 180°), định lý sin cho toàn bộ các cạnh còn lại chỉ bằng phép tính tỉ lệ.

Một điểm học sinh hay bỏ qua: định lý sin cũng đúng khi góc là góc tù, nhờ tính chất $\sin(180°-\alpha)=\sin\alpha$ — sin của một góc tù bằng sin của góc bù với nó. Ví dụ $\sin 150°=\sin 30°=0{,}5$ . Điều này khác hẳn cosin: cosin đổi dấu khi góc vượt qua 90°, còn sin thì không — sin luôn dương với mọi góc trong tam giác (từ 0° đến 180°). Đây là chỗ học sinh hay nhầm giữa hai định lý: quên đổi dấu cosin ở góc tù, hoặc ngược lại tưởng sin cũng cần đổi dấu trong khi nó không cần.

Một điểm học sinh hay bỏ qua: định lý sin cũng đúng khi góc là góc tù, nhờ tính chất $\sin(180°-\alpha)=\sin\alpha$ — sin của một góc tù bằng sin của góc bù với nó. Ví dụ $\sin 150°=\sin 30°=0{,}5$. Điều này khác hẳn cosin: cosin đổi dấu khi góc vượt qua 90°, còn sin thì không — sin luôn dương với mọi góc trong tam giác (từ 0° đến 180°). Đây là chỗ học sinh hay nhầm giữa hai định lý: quên đổi dấu cosin ở góc tù, hoặc ngược lại tưởng sin cũng cần đổi dấu trong khi nó không cần.

Mối liên hệ cạnh-góc từ bài trước cũng hiện diện rõ trong định lý sin: nếu $a>b$ thì $\sin A>\sin B$ tức góc A cũng lớn hơn góc B (với điều kiện cả hai góc đều nằm trong khoảng 0°–180° của một tam giác) — cạnh dài hơn luôn đối diện góc lớn hơn, đúng như định lý cosin đã cho thấy qua dấu của cosin.

Bán kính R không chỉ là một con số phụ — nó là đại lượng duy nhất của tam giác không đổi trong cả ba tỉ số của định lý sin, nên thường được dùng làm cầu nối khi một bài toán cho dữ kiện về đường tròn (bán kính, dây cung) thay vì cho trực tiếp cạnh hay góc. Ý tưởng "một tam giác luôn gắn với đúng một đường tròn ngoại tiếp" còn quay lại ở Course 7, khi em học cách viết phương trình đường tròn trong mặt phẳng toạ độ. Ngược lại, nếu biết trước bán kính R, định lý sin cũng cho phép suy ngược ra mọi cạnh chỉ từ góc đối diện — không cần biết cạnh nào khác, một chiều tính toán mà định lý cosin không làm được vì nó luôn đòi hỏi biết ít nhất hai cạnh.

Ví dụ 1: tính cạnh và bán kính ngoại tiếp

Lời giải có hình

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R

Bước 1

Tam giác ABC có a = BC = 10, góc A = 45°, góc B = 60°.

Ví dụ

Tính cạnh b và bán kính R

1
Tam giác ABC có $a=10$ , góc $A=45°$ , góc $B=60°$ . Tính cạnh $b$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp R.
Tam giác ABC có $a=10$, góc $A=45°$, góc $B=60°$. Tính cạnh $b$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp R.
2
Ta có $\hat{C}=180°-\hat{A}-\hat{B}=180°-45°-60°=75°$ .
Ta có $\hat{C}=180°-\hat{A}-\hat{B}=180°-45°-60°=75°$.
3
Ta có $\dfrac{a}{\sin A}=2R$ , suy ra $2R=\dfrac{10}{\sin 45°}\approx14,14$ , nên $R\approx7,07$ .
Ta có $\dfrac{a}{\sin A}=2R$, suy ra $2R=\dfrac{10}{\sin 45°}\approx14,14$, nên $R\approx7,07$.
4
Ta có $b=2R\sin B\approx14,14\times\sin 60°\approx12,25$ .
Ta có $b=2R\sin B\approx14,14\times\sin 60°\approx12,25$.
5
Vì góc B (60°) lớn hơn góc A (45°) nên cạnh b phải lớn hơn cạnh a; quả thật $12,25>10$ , hợp lý. Vậy $b\approx12,25$ , $R\approx7,07$ (đơn vị dài).
Vì góc B (60°) lớn hơn góc A (45°) nên cạnh b phải lớn hơn cạnh a; quả thật $12,25>10$, hợp lý. Vậy $b\approx12,25$, $R\approx7,07$ (đơn vị dài).

Ví dụ 2: dùng góc tù trong định lý sin (dạng thi)

Cạnh c dài nhất, đối diện góc C=75° là góc lớn nhất trong ba góc 45°, 60°, 75° — đúng hệ thức cạnh lớn đối diện góc lớn.

Ví dụ

Tính bán kính ngoại tiếp khi góc đối diện là góc tù

1
Tam giác ABC có $a=BC=12$ và góc $A=120°$ . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R.
Tam giác ABC có $a=BC=12$ và góc $A=120°$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R.
2
Ta có $\dfrac{a}{\sin A}=2R$ , suy ra $R=\dfrac{a}{2\sin A}=\dfrac{12}{2\sin 120°}$ .
Ta có $\dfrac{a}{\sin A}=2R$, suy ra $R=\dfrac{a}{2\sin A}=\dfrac{12}{2\sin 120°}$.
3
Ta có $\sin 120°=\sin(180°-120°)=\sin 60°=0{,}5$ (giá trị quen thuộc), nên phép tính không hề phức tạp hơn góc nhọn.
Ta có $\sin 120°=\sin(180°-120°)=\sin 60°=0{,}5$ (giá trị quen thuộc), nên phép tính không hề phức tạp hơn góc nhọn.
4
Ta có $R=\dfrac{12}{2\times0{,}5}=\dfrac{12}{1}=6,93$ .
Ta có $R=\dfrac{12}{2\times0{,}5}=\dfrac{12}{1}=6,93$.
5
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $R=6,93$ (đơn vị dài). Sai lầm cần tránh: không được đổi dấu sin thành âm chỉ vì góc A tù — chỉ cosin mới đổi dấu ở góc tù, sin thì không.
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $R=6,93$ (đơn vị dài). Sai lầm cần tránh: không được đổi dấu sin thành âm chỉ vì góc A tù — chỉ cosin mới đổi dấu ở góc tù, sin thì không.

Ví dụ 3: giải trọn dạng góc-cạnh-góc (ASA)

Ví dụ

Tính đủ hai cạnh còn lại và bán kính ngoại tiếp từ một cạnh và hai góc

1
Tam giác ABC có $a=10$ , góc $A=50°$ , góc $B=70°$ . Tính cạnh $b$ , cạnh $c$ và bán kính ngoại tiếp R.
Tam giác ABC có $a=10$, góc $A=50°$, góc $B=70°$. Tính cạnh $b$, cạnh $c$ và bán kính ngoại tiếp R.
2
Ta có $\hat{C}=180°-50°-70°=60°$ .
Ta có $\hat{C}=180°-50°-70°=60°$.
3
Ta có $2R=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{10}{\sin50°}$ , suy ra $R\approx6,53$ .
Ta có $2R=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{10}{\sin50°}$, suy ra $R\approx6,53$.
4
Ta có $b=2R\sin B\approx12,27$ và $c=2R\sin C\approx11,31$ .
Ta có $b=2R\sin B\approx12,27$ và $c=2R\sin C\approx11,31$.
5
Góc B (70°) là góc lớn nhất trong ba góc 50°, 70°, 60°, nên cạnh b phải là cạnh dài nhất — quả thật $b$ lớn hơn cả $a=10$ lẫn $c$ , hợp lý. Vậy tam giác đã giải xong với $b\approx12,27$ , $c\approx11,31$ , $R\approx6,53$ .
Góc B (70°) là góc lớn nhất trong ba góc 50°, 70°, 60°, nên cạnh b phải là cạnh dài nhất — quả thật $b$ lớn hơn cả $a=10$ lẫn $c$, hợp lý. Vậy tam giác đã giải xong với $b\approx12,27$, $c\approx11,31$, $R\approx6,53$.

Lưu ý — trường hợp cạnh-cạnh-góc (SSA)

Ba ví dụ trên đều thuộc dạng ASA (một cạnh, đủ hai góc) — dữ kiện luôn cho đúng một tam giác. Nếu đề cho hai cạnh và một góc không xen giữa (SSA, ví dụ biết a, b và góc A), tình huống phức tạp hơn: tuỳ số liệu, có thể có một, hai, hoặc không tam giác nào thoả mãn — vì phương trình $\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}$ có thể cho hai giá trị góc B hợp lệ (một nhọn, một tù) cùng thoả điều kiện. Chương trình lớp 10 chỉ cần em biết dạng này tồn tại và cẩn thận kiểm tra tổng ba góc khi gặp nó, không yêu cầu biện luận đầy đủ mọi trường hợp.

Sai lầm thường gặp

Nhầm lẫn phổ biến nhất là áp dụng quy tắc đổi dấu của cosin sang cho sin: nhiều em nghĩ góc tù thì sin cũng âm, trong khi sin luôn dương với mọi góc từ 0° đến 180°. Sai lầm khác là quên tính góc thứ ba bằng $180°$ trừ tổng hai góc đã cho trước khi dùng định lý sin cho cạnh cần tìm, dẫn đến ghép sai cặp cạnh-góc đối diện.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Định lý sin: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$ . Dùng khi biết một cặp cạnh-góc đối diện cộng thêm một góc khác (ASA/AAS). Sin không đổi dấu ở góc tù ( $\sin(180°-\alpha)=\sin\alpha$ ) — khác hẳn cosin.

Định lý sin: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$. Dùng khi biết một cặp cạnh-góc đối diện cộng thêm một góc khác (ASA/AAS). Sin không đổi dấu ở góc tù ($\sin(180°-\alpha)=\sin\alpha$) — khác hẳn cosin.

Bài tiếp theo dùng chính cạnh và góc vừa học để tính diện tích tam giác bằng nhiều công thức khác nhau, và kiểm tra chéo giữa chúng.