Bài học

Hợp, giao, hiệu và phần bù của hai tập hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính đúng hợp, giao, hiệu của hai tập hợp — cả tập hợp liệt kê lẫn các tập con của $\mathbb{R}$ dạng khoảng, đoạn, nửa khoảng — và biểu diễn kết quả chính xác trên trục số.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em ngôn ngữ tập hợp và quan hệ tập con (same-grade bridge). Bài này áp dụng ngôn ngữ đó lên đối tượng quan trọng nhất của Toán 10: các tập con của $\mathbb{R}$ — khoảng, đoạn, nửa khoảng — nơi hầu hết điều kiện xác định, tập nghiệm bất phương trình từ nay về sau sẽ được viết dưới dạng này.

Khởi động

Một cửa hàng có hai chương trình giảm giá: chương trình A áp dụng cho khách chi từ 200 đến 500 nghìn đồng, chương trình B áp dụng cho khách chi từ 300 nghìn đồng trở lên. Một khách chi 400 nghìn đồng thuộc diện áp dụng của chương trình nào? Cả hai? Làm sao mô tả gọn nhóm khách hàng vừa đủ điều kiện chương trình A vừa đủ điều kiện chương trình B?

Kiến thức trọng tâm

Cho hai tập hợp $A$ , $B$ . Hợp của $A$ và $B$ , kí hiệu $A \cup B$ , là tập hợp gồm các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$ (thuộc ít nhất một trong hai tập). Giao của $A$ và $B$ , kí hiệu $A \cap B$ , là tập hợp gồm các phần tử thuộc cả $A$ và $B$ . Hiệu của $A$ và $B$ , kí hiệu $A \setminus B$ , là tập hợp gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ . Với $A = \{1; 2; 3; 4\}$ và $B = \{2; 4; 6\}$ : $A \cap B = \{2; 4\}$ (các phần tử chung), $A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 6\}$ (gộp tất cả, mỗi phần tử chỉ viết một lần), $A \setminus B = \{1; 3\}$ (thuộc $A$ mà không thuộc $B$ ).

Cho hai tập hợp $A$, $B$. Hợp của $A$ và $B$, kí hiệu $A \cup B$, là tập hợp gồm các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$ (thuộc ít nhất một trong hai tập). Giao của $A$ và $B$, kí hiệu $A \cap B$, là tập hợp gồm các phần tử thuộc cả $A$ và $B$. Hiệu của $A$ và $B$, kí hiệu $A \setminus B$, là tập hợp gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$. Với $A = \{1; 2; 3; 4\}$ và $B = \{2; 4; 6\}$: $A \cap B = \{2; 4\}$ (các phần tử chung), $A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 6\}$ (gộp tất cả, mỗi phần tử chỉ viết một lần), $A \setminus B = \{1; 3\}$ (thuộc $A$ mà không thuộc $B$).

Toán 10 dùng thường xuyên các tập con đặc biệt của $\mathbb{R}$ , phân biệt bằng dấu ngoặc: đoạn $[a;b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$ (cả hai đầu mút đều thuộc tập hợp), khoảng $(a;b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$ (cả hai đầu mút đều KHÔNG thuộc), và nửa khoảng $[a;b) = \{x \mid a \leq x < b\}$ , $(a;b] = \{x \mid a < x \leq b\}$ (một đầu thuộc, một đầu không). Còn có các nửa đường thẳng như $[a;+\infty) = \{x \mid x \geq a\}$ và $(-\infty;a] = \{x \mid x \leq a\}$ . Trên trục số, dấu ngoặc vuông vẽ bằng điểm đặc (đầu mút thuộc tập hợp), dấu ngoặc tròn vẽ bằng điểm rỗng (đầu mút không thuộc).

Toán 10 dùng thường xuyên các tập con đặc biệt của $\mathbb{R}$, phân biệt bằng dấu ngoặc: đoạn $[a;b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$ (cả hai đầu mút đều thuộc tập hợp), khoảng $(a;b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$ (cả hai đầu mút đều KHÔNG thuộc), và nửa khoảng $[a;b) = \{x \mid a \leq x < b\}$, $(a;b] = \{x \mid a < x \leq b\}$ (một đầu thuộc, một đầu không). Còn có các nửa đường thẳng như $[a;+\infty) = \{x \mid x \geq a\}$ và $(-\infty;a] = \{x \mid x \leq a\}$. Trên trục số, dấu ngoặc vuông vẽ bằng điểm đặc (đầu mút thuộc tập hợp), dấu ngoặc tròn vẽ bằng điểm rỗng (đầu mút không thuộc).

Với $A = [-2;5]$ và $B = (1;7]$ , ba phép toán trên vẫn giữ đúng định nghĩa, chỉ khác là kết quả bây giờ là một khoảng/đoạn thay vì một danh sách rời rạc. Ngoài ba phép toán trên, còn một phép toán thứ tư: phần bù của $A$ trong tập nền $E$ (thường là $\mathbb{R}$ ), kí hiệu $C_E A$ , chính là $E \setminus A$ — tập hợp mọi phần tử của $E$ không thuộc $A$ . Với $A = [-2;5]$ và nền $E = \mathbb{R}$ : $C_{\mathbb{R}} A = (-\infty;-2) \cup (5;+\infty)$ — mọi số thực nhỏ hơn $-2$ hoặc lớn hơn 5.

Với $A = [-2;5]$ và $B = (1;7]$, ba phép toán trên vẫn giữ đúng định nghĩa, chỉ khác là kết quả bây giờ là một khoảng/đoạn thay vì một danh sách rời rạc. Ngoài ba phép toán trên, còn một phép toán thứ tư: phần bù của $A$ trong tập nền $E$ (thường là $\mathbb{R}$), kí hiệu $C_E A$, chính là $E \setminus A$ — tập hợp mọi phần tử của $E$ không thuộc $A$. Với $A = [-2;5]$ và nền $E = \mathbb{R}$: $C_{\mathbb{R}} A = (-\infty;-2) \cup (5;+\infty)$ — mọi số thực nhỏ hơn $-2$ hoặc lớn hơn 5.

Ví dụ

Phép toán trên tập hợp hữu hạn

1
Cho $A = \{1; 2; 3; 4\}$ và $B = \{2; 4; 6\}$ . Tính $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \setminus B$ .
Cho $A = \{1; 2; 3; 4\}$ và $B = \{2; 4; 6\}$. Tính $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$.
2
Ta có các phần tử chung của $A$ và $B$ là 2 và 4. Vậy $A \cap B = \{2; 4\}$ .
Ta có các phần tử chung của $A$ và $B$ là 2 và 4. Vậy $A \cap B = \{2; 4\}$.
3
Gộp tất cả phần tử của $A$ và $B$ , mỗi phần tử chỉ viết một lần: $A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 6\}$ .
Gộp tất cả phần tử của $A$ và $B$, mỗi phần tử chỉ viết một lần: $A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 6\}$.
4
Các phần tử thuộc $A$ mà không thuộc $B$ là 1 và 3 (2 và 4 đã thuộc $B$ nên bị loại). Vậy $A \setminus B = \{1; 3\}$ .
Các phần tử thuộc $A$ mà không thuộc $B$ là 1 và 3 (2 và 4 đã thuộc $B$ nên bị loại). Vậy $A \setminus B = \{1; 3\}$.

Ví dụ

Phép toán trên hai tập con của R

1
Cho $A = [-2;5]$ và $B = (1;7]$ . Tính $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \setminus B$ và biểu diễn từng kết quả trên trục số.
Cho $A = [-2;5]$ và $B = (1;7]$. Tính $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$ và biểu diễn từng kết quả trên trục số.
2
Ta có $A \cap B$ gồm các $x$ thỏa đồng thời $-2 \leq x \leq 5$ và $1 < x \leq 7$ . Ràng buộc chặt hơn ở mỗi đầu là $x > 1$ (từ $B$ ) và $x \leq 5$ (từ $A$ ). Vậy $A \cap B = (1;5]$ .
Ta có $A \cap B$ gồm các $x$ thỏa đồng thời $-2 \leq x \leq 5$ và $1 < x \leq 7$. Ràng buộc chặt hơn ở mỗi đầu là $x > 1$ (từ $B$) và $x \leq 5$ (từ $A$). Vậy $A \cap B = (1;5]$.
3
$A \cup B$ gồm các $x$ thỏa ít nhất một trong hai điều kiện. Vì $(1;5]$ nối liền hai tập, kết quả là một đoạn liên tục từ đầu mút nhỏ nhất của $A$ đến đầu mút lớn nhất của $B$ : $A \cup B = [-2;7]$ — đóng ở $-2$ (thuộc $A$ ) và đóng ở 7 (thuộc $B$ ).
$A \cup B$ gồm các $x$ thỏa ít nhất một trong hai điều kiện. Vì $(1;5]$ nối liền hai tập, kết quả là một đoạn liên tục từ đầu mút nhỏ nhất của $A$ đến đầu mút lớn nhất của $B$: $A \cup B = [-2;7]$ — đóng ở $-2$ (thuộc $A$) và đóng ở 7 (thuộc $B$).
4
$A \setminus B$ gồm các $x$ thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ , tức $-2 \leq x \leq 5$ và ( $x \leq 1$ hoặc $x>7$ ); vì $x\leq 5$ nên chỉ còn khả năng $x \leq 1$ . Vậy $A \setminus B = [-2;1]$ — đóng tại 1 vì $x=1$ không thuộc $B$ ( $B$ mở tại 1) nên vẫn thuộc hiệu.
$A \setminus B$ gồm các $x$ thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$, tức $-2 \leq x \leq 5$ và ($x \leq 1$ hoặc $x>7$); vì $x\leq 5$ nên chỉ còn khả năng $x \leq 1$. Vậy $A \setminus B = [-2;1]$ — đóng tại 1 vì $x=1$ không thuộc $B$ ($B$ mở tại 1) nên vẫn thuộc hiệu.
5
Vậy $A\cap B=(1;5]$ , $A\cup B=[-2;7]$ , $A\setminus B=[-2;1]$ — ba kết quả được biểu diễn trên trục số ở các hình minh hoạ bên trên.
Vậy $A\cap B=(1;5]$, $A\cup B=[-2;7]$, $A\setminus B=[-2;1]$ — ba kết quả được biểu diễn trên trục số ở các hình minh hoạ bên trên.

A\cap B=(1;5]

: mở tại 1 (kế thừa từ

B

mở), đóng tại 5 (kế thừa từ

A

đóng).$A\cap B=(1;5]$: mở tại 1 (kế thừa từ $B$ mở), đóng tại 5 (kế thừa từ $A$ đóng).

A\cup B=[-2;7]

: đóng tại

-2

(thuộc

A

) và đóng tại 7 (thuộc

B

).$A\cup B=[-2;7]$: đóng tại $-2$ (thuộc $A$) và đóng tại 7 (thuộc $B$).

A\setminus B=[-2;1]

: đóng ở cả hai đầu —

-2

thuộc

A

, và 1 thuộc hiệu vì 1 không thuộc

B

.$A\setminus B=[-2;1]$: đóng ở cả hai đầu — $-2$ thuộc $A$, và 1 thuộc hiệu vì 1 không thuộc $B$.

Ví dụ

Giao, hợp và phần bù với nửa đường thẳng

1
Cho $C = (-\infty;3]$ và $D = [0;+\infty)$ . Tính $C \cap D$ , $C \cup D$ , và phần bù của $C$ trong $\mathbb{R}$ .
Cho $C = (-\infty;3]$ và $D = [0;+\infty)$. Tính $C \cap D$, $C \cup D$, và phần bù của $C$ trong $\mathbb{R}$.
2
$C \cap D$ gồm các $x$ thỏa $x \leq 3$ và $x \geq 0$ đồng thời. Vậy $C \cap D = [0;3]$ .
$C \cap D$ gồm các $x$ thỏa $x \leq 3$ và $x \geq 0$ đồng thời. Vậy $C \cap D = [0;3]$.
3
$C \cup D$ gồm các $x$ thỏa ít nhất một điều kiện. Vì $C$ phủ hết mọi số $\leq 3$ và $D$ phủ hết mọi số $\geq 0$ , hai tập chồng lấn tại $[0;3]$ nên hợp phủ toàn bộ $\mathbb{R}$ : $C \cup D = \mathbb{R}$ .
$C \cup D$ gồm các $x$ thỏa ít nhất một điều kiện. Vì $C$ phủ hết mọi số $\leq 3$ và $D$ phủ hết mọi số $\geq 0$, hai tập chồng lấn tại $[0;3]$ nên hợp phủ toàn bộ $\mathbb{R}$: $C \cup D = \mathbb{R}$.
4
Phần bù của $C$ trong $\mathbb{R}$ là các số thực không thuộc $C$ , tức không thỏa $x \leq 3$ , nghĩa là $x>3$ . Vậy $C_{\mathbb{R}} C = (3;+\infty)$ .
Phần bù của $C$ trong $\mathbb{R}$ là các số thực không thuộc $C$, tức không thỏa $x \leq 3$, nghĩa là $x>3$. Vậy $C_{\mathbb{R}} C = (3;+\infty)$.
5
Kiểm tra nhanh: $C \cup C_{\mathbb{R}} C$ phải bằng toàn bộ $\mathbb{R}$ ; ta có $(-\infty;3] \cup (3;+\infty) = \mathbb{R}$ đúng như dự đoán, và $C \cap C_{\mathbb{R}}C = \emptyset$ vì không số nào vừa $\leq 3$ vừa $>3$ .
Kiểm tra nhanh: $C \cup C_{\mathbb{R}} C$ phải bằng toàn bộ $\mathbb{R}$; ta có $(-\infty;3] \cup (3;+\infty) = \mathbb{R}$ đúng như dự đoán, và $C \cap C_{\mathbb{R}}C = \emptyset$ vì không số nào vừa $\leq 3$ vừa $>3$.

C_{\mathbb{R}} C = (3;+\infty)

: mở tại 3 vì

x=3

thuộc

C

nên không thuộc phần bù.$C_{\mathbb{R}} C = (3;+\infty)$: mở tại 3 vì $x=3$ thuộc $C$ nên không thuộc phần bù.

Ví dụ

Bài toán thực tế: khoảng nhiệt độ an toàn

1
Một thiết bị điện tử hoạt động bình thường trong khoảng nhiệt độ $[10;35]$ (°C). Khi bảo quản, nhiệt độ an toàn cho phép là nửa khoảng $(-5;40]$ (°C). Hỏi khoảng nhiệt độ nào vừa cho phép thiết bị hoạt động bình thường, vừa nằm trong ngưỡng an toàn bảo quản?
Một thiết bị điện tử hoạt động bình thường trong khoảng nhiệt độ $[10;35]$ (°C). Khi bảo quản, nhiệt độ an toàn cho phép là nửa khoảng $(-5;40]$ (°C). Hỏi khoảng nhiệt độ nào vừa cho phép thiết bị hoạt động bình thường, vừa nằm trong ngưỡng an toàn bảo quản?
2
Gọi $H = [10;35]$ là tập nhiệt độ hoạt động bình thường, $S = (-5;40]$ là tập nhiệt độ an toàn bảo quản. Câu hỏi trở thành: tính $H \cap S$ .
Gọi $H = [10;35]$ là tập nhiệt độ hoạt động bình thường, $S = (-5;40]$ là tập nhiệt độ an toàn bảo quản. Câu hỏi trở thành: tính $H \cap S$.
3
Ta có $H \cap S$ gồm các $x$ thỏa đồng thời $10 \leq x \leq 35$ và $-5 < x \leq 40$ . Vì $[10;35] \subset (-5;40]$ (mọi $x$ trong $H$ đều tự động thỏa điều kiện của $S$ ), nên $H \cap S = H = [10;35]$ .
Ta có $H \cap S$ gồm các $x$ thỏa đồng thời $10 \leq x \leq 35$ và $-5 < x \leq 40$. Vì $[10;35] \subset (-5;40]$ (mọi $x$ trong $H$ đều tự động thỏa điều kiện của $S$), nên $H \cap S = H = [10;35]$.
4
Vậy khoảng nhiệt độ vừa cho thiết bị hoạt động bình thường vừa an toàn khi bảo quản chính là $[10;35]$ (°C) — đúng bằng khoảng hoạt động bình thường, vì khoảng này đã nằm gọn trong ngưỡng an toàn rộng hơn.
Vậy khoảng nhiệt độ vừa cho thiết bị hoạt động bình thường vừa an toàn khi bảo quản chính là $[10;35]$ (°C) — đúng bằng khoảng hoạt động bình thường, vì khoảng này đã nằm gọn trong ngưỡng an toàn rộng hơn.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất khi tính hợp hoặc giao của hai khoảng là quên xét đầu mút: một đầu mút thuộc kết quả hay không phụ thuộc nó thuộc tập nào có dấu ngoặc gì tại vị trí đó, không thể đoán theo cảm tính. Một sai lầm khác là tính $A \setminus B$ giống hệt $B \setminus A$ — hai hiệu này khác nhau (trừ khi $A=B$ ), vì thứ tự quyết định tập nào bị loại bỏ khỏi tập nào. Khi làm bài, luôn viết lại điều kiện của từng tập trước khi kết hợp, tránh suy diễn trực tiếp trên hình vẽ mà không kiểm tra lại bằng bất đẳng thức.

Sai lầm phổ biến nhất khi tính hợp hoặc giao của hai khoảng là quên xét đầu mút: một đầu mút thuộc kết quả hay không phụ thuộc nó thuộc tập nào có dấu ngoặc gì tại vị trí đó, không thể đoán theo cảm tính. Một sai lầm khác là tính $A \setminus B$ giống hệt $B \setminus A$ — hai hiệu này khác nhau (trừ khi $A=B$), vì thứ tự quyết định tập nào bị loại bỏ khỏi tập nào. Khi làm bài, luôn viết lại điều kiện của từng tập trước khi kết hợp, tránh suy diễn trực tiếp trên hình vẽ mà không kiểm tra lại bằng bất đẳng thức.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Với hai tập hợp $A$ , $B$ : $A\cap B$ là phần chung, $A\cup B$ là gộp lại, $A\setminus B$ là thuộc $A$ mà không thuộc $B$ . Phần bù $C_{\mathbb{R}}A = \mathbb{R}\setminus A$ . Với các khoảng/đoạn/nửa khoảng, luôn xét kỹ dấu ngoặc ở từng đầu mút trước khi kết luận.

Với hai tập hợp $A$, $B$: $A\cap B$ là phần chung, $A\cup B$ là gộp lại, $A\setminus B$ là thuộc $A$ mà không thuộc $B$. Phần bù $C_{\mathbb{R}}A = \mathbb{R}\setminus A$. Với các khoảng/đoạn/nửa khoảng, luôn xét kỹ dấu ngoặc ở từng đầu mút trước khi kết luận.

Chương ôn tập cuối khoá sẽ kết hợp cả bốn bài đã học — mệnh đề, mệnh đề kéo theo, tập hợp và các phép toán trên tập hợp — trong những bài toán tổng hợp đúng dạng đề kiểm tra.