Bài học

Mệnh đề và mệnh đề phủ định

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định được một câu có phải là mệnh đề hay không, phát biểu đúng mệnh đề phủ định của một mệnh đề cho trước, và biết cách phủ định mệnh đề chứa các kí hiệu $\forall$ (với mọi), $\exists$ (tồn tại) — kỹ năng nền cho toàn bộ các bài lập luận và chứng minh sau này.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở cấp trung học cơ sở em đã quen với các câu khẳng định như '15 chia hết cho 3' hay 'tam giác ABC là tam giác cân' — mỗi câu như vậy hoặc đúng, hoặc sai, không có khả năng thứ ba (same-grade bridge, chuẩn bị trực tiếp cho định nghĩa mệnh đề dưới đây). Bài học này đặt tên chính thức cho loại câu đó và trang bị công cụ đầu tiên để làm việc với nó: phép phủ định.

Khởi động

Hai bạn tranh luận về câu 'Số 0 là số tự nhiên'. Bạn thứ nhất khẳng định đúng, bạn thứ hai khẳng định sai. Không ai trong hai bạn có thể vừa đúng vừa sai cùng lúc — câu này chắc chắn chỉ có một khả năng xảy ra, dù ta cần tra lại quy ước để biết đó là khả năng nào. Điều gì làm cho một câu có tính chất 'chỉ đúng hoặc chỉ sai' như vậy?

Kiến thức trọng tâm

Một mệnh đề là một câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hoặc sai, và không thể vừa đúng vừa sai. Chẳng hạn 'Hà Nội là thủ đô của Việt Nam' là mệnh đề đúng, còn 'Số 15 là số nguyên tố' là mệnh đề sai — vì $15 = 3 \times 5$ , có ước khác 1 và chính nó. Những câu không xác định được đúng sai — câu hỏi ('Bạn có khỏe không?'), câu cảm thán ('Trời đẹp quá!'), câu mệnh lệnh ('Hãy làm bài tập!') — không phải là mệnh đề, dù chúng hoàn toàn hợp lý trong giao tiếp hằng ngày.

Một mệnh đề là một câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hoặc sai, và không thể vừa đúng vừa sai. Chẳng hạn 'Hà Nội là thủ đô của Việt Nam' là mệnh đề đúng, còn 'Số 15 là số nguyên tố' là mệnh đề sai — vì $15 = 3 \times 5$, có ước khác 1 và chính nó. Những câu không xác định được đúng sai — câu hỏi ('Bạn có khỏe không?'), câu cảm thán ('Trời đẹp quá!'), câu mệnh lệnh ('Hãy làm bài tập!') — không phải là mệnh đề, dù chúng hoàn toàn hợp lý trong giao tiếp hằng ngày.

Có một loại câu đặc biệt: nó chưa xác định được đúng sai ngay, nhưng sẽ trở thành mệnh đề khi ta thay một giá trị cụ thể vào. Câu ' $x + 2 = 5$ ' chưa phải là mệnh đề vì $x$ chưa được gán giá trị — với $x=3$ nó đúng, với $x=0$ nó sai. Loại câu này gọi là mệnh đề chứa biến, thường viết $P(x)$ để nhấn mạnh mệnh đề phụ thuộc vào biến $x$ . Cả ' $x+2=5$ ' lẫn 'x là số chẵn' đều là mệnh đề chứa biến — chỉ khi thay $x$ bằng một số cụ thể, câu mới có tính đúng sai rõ ràng.

Có một loại câu đặc biệt: nó chưa xác định được đúng sai ngay, nhưng sẽ trở thành mệnh đề khi ta thay một giá trị cụ thể vào. Câu '$x + 2 = 5$' chưa phải là mệnh đề vì $x$ chưa được gán giá trị — với $x=3$ nó đúng, với $x=0$ nó sai. Loại câu này gọi là mệnh đề chứa biến, thường viết $P(x)$ để nhấn mạnh mệnh đề phụ thuộc vào biến $x$. Cả '$x+2=5$' lẫn 'x là số chẵn' đều là mệnh đề chứa biến — chỉ khi thay $x$ bằng một số cụ thể, câu mới có tính đúng sai rõ ràng.

Với mỗi mệnh đề $P$ , ta lập được mệnh đề phủ định, kí hiệu $\overline{P}$ (đọc là 'không $P$ ' hoặc 'phủ định của $P$ '), có tính đúng sai ngược hẳn với $P$ : $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai, $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng. Với mệnh đề 'Tam giác ABC là tam giác đều', phủ định là 'Tam giác ABC không là tam giác đều' — không phải là 'Tam giác ABC là tam giác vuông' hay bất kỳ khẳng định nào khác; phủ định chỉ đơn giản bác bỏ đúng nội dung ban đầu, không thêm thông tin mới.

Với mỗi mệnh đề $P$, ta lập được mệnh đề phủ định, kí hiệu $\overline{P}$ (đọc là 'không $P$' hoặc 'phủ định của $P$'), có tính đúng sai ngược hẳn với $P$: $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai, $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng. Với mệnh đề 'Tam giác ABC là tam giác đều', phủ định là 'Tam giác ABC không là tam giác đều' — không phải là 'Tam giác ABC là tam giác vuông' hay bất kỳ khẳng định nào khác; phủ định chỉ đơn giản bác bỏ đúng nội dung ban đầu, không thêm thông tin mới.

Việc phủ định trở nên tinh tế hơn khi mệnh đề chứa kí hiệu $\forall$ (với mọi) hoặc $\exists$ (tồn tại). Mệnh đề ' $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$ ' khẳng định: mọi số thực, khi bình phương, đều không âm. Để phủ định, ta không chỉ đổi dấu bất đẳng thức mà còn phải đổi lượng từ: $\forall$ đổi thành $\exists$ , và ngược lại $\exists$ đổi thành $\forall$ . Phủ định của mệnh đề trên là ' $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0$ ' — tồn tại một số thực có bình phương âm. Mệnh đề gốc đúng (bình phương một số thực không bao giờ âm), nên phủ định của nó sai — đúng như quy tắc: phủ định luôn ngược tính đúng sai với mệnh đề gốc.

Việc phủ định trở nên tinh tế hơn khi mệnh đề chứa kí hiệu $\forall$ (với mọi) hoặc $\exists$ (tồn tại). Mệnh đề '$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$' khẳng định: mọi số thực, khi bình phương, đều không âm. Để phủ định, ta không chỉ đổi dấu bất đẳng thức mà còn phải đổi lượng từ: $\forall$ đổi thành $\exists$, và ngược lại $\exists$ đổi thành $\forall$. Phủ định của mệnh đề trên là '$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0$' — tồn tại một số thực có bình phương âm. Mệnh đề gốc đúng (bình phương một số thực không bao giờ âm), nên phủ định của nó sai — đúng như quy tắc: phủ định luôn ngược tính đúng sai với mệnh đề gốc.

Ví dụ

Nhận biết mệnh đề

1
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? a) '17 là số nguyên tố.' b) 'Bạn đã ăn cơm chưa?' c) ' $x^2-4=0$ .' d) 'Hải Phòng là một thành phố cảng.'
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? a) '17 là số nguyên tố.' b) 'Bạn đã ăn cơm chưa?' c) '$x^2-4=0$.' d) 'Hải Phòng là một thành phố cảng.'
2
Ta xét (a): câu khẳng định, đúng — 17 chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Câu (b) là câu hỏi, không có tính đúng sai nên không phải mệnh đề. Câu (c) chứa biến $x$ chưa xác định giá trị, chỉ là mệnh đề chứa biến, chưa phải mệnh đề. Câu (d) là câu khẳng định, đúng.
Ta xét (a): câu khẳng định, đúng — 17 chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Câu (b) là câu hỏi, không có tính đúng sai nên không phải mệnh đề. Câu (c) chứa biến $x$ chưa xác định giá trị, chỉ là mệnh đề chứa biến, chưa phải mệnh đề. Câu (d) là câu khẳng định, đúng.
3
Vậy trong bốn câu đã cho, (a) và (d) là mệnh đề (đều đúng); (b) không phải mệnh đề vì là câu hỏi; (c) là mệnh đề chứa biến, chưa phải mệnh đề khi $x$ chưa được gán giá trị cụ thể.
Vậy trong bốn câu đã cho, (a) và (d) là mệnh đề (đều đúng); (b) không phải mệnh đề vì là câu hỏi; (c) là mệnh đề chứa biến, chưa phải mệnh đề khi $x$ chưa được gán giá trị cụ thể.

Ví dụ

Lập mệnh đề phủ định và xét tính đúng sai

1
Cho mệnh đề $P$ : '5 là số nguyên tố.' Lập mệnh đề phủ định $\overline{P}$ và xét tính đúng sai của cả $P$ và $\overline{P}$ .
Cho mệnh đề $P$: '5 là số nguyên tố.' Lập mệnh đề phủ định $\overline{P}$ và xét tính đúng sai của cả $P$ và $\overline{P}$.
2
Ta có 5 chỉ chia hết cho 1 và chính nó, nên 5 là số nguyên tố. Vậy $P$ đúng.
Ta có 5 chỉ chia hết cho 1 và chính nó, nên 5 là số nguyên tố. Vậy $P$ đúng.
3
Phủ định của $P$ chỉ đơn giản bác bỏ nội dung của $P$ : $\overline{P}$ : '5 không là số nguyên tố.'
Phủ định của $P$ chỉ đơn giản bác bỏ nội dung của $P$: $\overline{P}$: '5 không là số nguyên tố.'
4
Vì $P$ đúng nên theo quy tắc, $\overline{P}$ phải sai. Kiểm tra trực tiếp: khẳng định '5 không là số nguyên tố' trái với thực tế, nên đúng là $\overline{P}$ sai (TMĐK quy tắc $P$ và $\overline{P}$ luôn trái tính đúng sai).
Vì $P$ đúng nên theo quy tắc, $\overline{P}$ phải sai. Kiểm tra trực tiếp: khẳng định '5 không là số nguyên tố' trái với thực tế, nên đúng là $\overline{P}$ sai (TMĐK quy tắc $P$ và $\overline{P}$ luôn trái tính đúng sai).
5
Vậy $P$ đúng, $\overline{P}$ sai — hai mệnh đề luôn ngược tính đúng sai với nhau.
Vậy $P$ đúng, $\overline{P}$ sai — hai mệnh đề luôn ngược tính đúng sai với nhau.

Ví dụ

Phủ định mệnh đề chứa kí hiệu với mọi

1
Cho mệnh đề $Q$ : ' $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$ .' Lập mệnh đề phủ định $\overline{Q}$ , viết bằng kí hiệu và bằng lời, rồi xét tính đúng sai của cả hai mệnh đề.
Cho mệnh đề $Q$: '$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$.' Lập mệnh đề phủ định $\overline{Q}$, viết bằng kí hiệu và bằng lời, rồi xét tính đúng sai của cả hai mệnh đề.
2
Ta có $Q$ dùng lượng từ $\forall$ (với mọi), nên $\overline{Q}$ phải dùng lượng từ $\exists$ (tồn tại).
Ta có $Q$ dùng lượng từ $\forall$ (với mọi), nên $\overline{Q}$ phải dùng lượng từ $\exists$ (tồn tại).
3
Phần chứa biến trong $Q$ là ' $x^2 \geq 0$ ', phủ định của nó là ' $x^2 < 0$ ' (đổi dấu $\geq$ thành $<$ ).
Phần chứa biến trong $Q$ là '$x^2 \geq 0$', phủ định của nó là '$x^2 < 0$' (đổi dấu $\geq$ thành $<$).
4
Ghép lại: $\overline{Q}$ : ' $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0$ ', đọc là 'tồn tại một số thực $x$ sao cho $x$ bình phương âm.'
Ghép lại: $\overline{Q}$: '$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0$', đọc là 'tồn tại một số thực $x$ sao cho $x$ bình phương âm.'
5
Ta có bình phương của một số thực luôn không âm, nên $Q$ đúng. Theo quy tắc, $\overline{Q}$ phải sai — và đúng vậy, không tồn tại số thực nào có bình phương âm. Vậy $Q$ đúng, $\overline{Q}$ sai.
Ta có bình phương của một số thực luôn không âm, nên $Q$ đúng. Theo quy tắc, $\overline{Q}$ phải sai — và đúng vậy, không tồn tại số thực nào có bình phương âm. Vậy $Q$ đúng, $\overline{Q}$ sai.

Ví dụ

Phủ định mệnh đề chứa kí hiệu tồn tại

1
Cho mệnh đề $R$ : ' $\exists x \in \mathbb{Q}, x^2 = 2$ .' Lập mệnh đề phủ định và xét tính đúng sai của $R$ .
Cho mệnh đề $R$: '$\exists x \in \mathbb{Q}, x^2 = 2$.' Lập mệnh đề phủ định và xét tính đúng sai của $R$.
2
$R$ dùng lượng từ $\exists$ , nên phủ định dùng lượng từ $\forall$ .
$R$ dùng lượng từ $\exists$, nên phủ định dùng lượng từ $\forall$.
3
Phần chứa biến ' $x^2 = 2$ ' phủ định thành ' $x^2 \neq 2$ '.
Phần chứa biến '$x^2 = 2$' phủ định thành '$x^2 \neq 2$'.
4
$\overline{R}$ : ' $\forall x \in \mathbb{Q}, x^2 \neq 2$ ', tức là không một số hữu tỉ nào bình phương lên bằng 2.
$\overline{R}$: '$\forall x \in \mathbb{Q}, x^2 \neq 2$', tức là không một số hữu tỉ nào bình phương lên bằng 2.
5
Ta có $\sqrt{2}$ là số vô tỉ (không phải số hữu tỉ) — đây là một kết quả đã được chứng minh trong toán học: không có số hữu tỉ nào bình phương bằng 2. Vậy $R$ sai (không tồn tại số hữu tỉ $x$ nào thỏa $x^2=2$ ), và do đó $\overline{R}$ đúng.
Ta có $\sqrt{2}$ là số vô tỉ (không phải số hữu tỉ) — đây là một kết quả đã được chứng minh trong toán học: không có số hữu tỉ nào bình phương bằng 2. Vậy $R$ sai (không tồn tại số hữu tỉ $x$ nào thỏa $x^2=2$), và do đó $\overline{R}$ đúng.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất là phủ định ' $x \geq 0$ ' thành ' $x \leq 0$ ' thay vì ' $x < 0$ ' — phủ định của 'lớn hơn hoặc bằng' là 'nhỏ hơn' (nghiêm ngặt), không phải 'nhỏ hơn hoặc bằng'. Một sai lầm khác là quên đổi lượng từ: nhiều em chỉ đổi dấu bất đẳng thức bên trong mà vẫn giữ nguyên $\forall$ , dẫn đến một câu sai hoàn toàn về mặt logic. Cũng cần phân biệt phủ định với 'ý kiến trái ngược' — phủ định của 'trời hôm nay đẹp' không phải là 'trời hôm nay xấu' theo nghĩa thẩm mỹ, vì bản thân câu gốc chưa chắc đã là mệnh đề.

Sai lầm thường gặp nhất là phủ định '$x \geq 0$' thành '$x \leq 0$' thay vì '$x < 0$' — phủ định của 'lớn hơn hoặc bằng' là 'nhỏ hơn' (nghiêm ngặt), không phải 'nhỏ hơn hoặc bằng'. Một sai lầm khác là quên đổi lượng từ: nhiều em chỉ đổi dấu bất đẳng thức bên trong mà vẫn giữ nguyên $\forall$, dẫn đến một câu sai hoàn toàn về mặt logic. Cũng cần phân biệt phủ định với 'ý kiến trái ngược' — phủ định của 'trời hôm nay đẹp' không phải là 'trời hôm nay xấu' theo nghĩa thẩm mỹ, vì bản thân câu gốc chưa chắc đã là mệnh đề.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Mệnh đề là câu khẳng định có đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai. Mệnh đề phủ định $\overline{P}$ luôn trái tính đúng sai với $P$ . Khi phủ định mệnh đề chứa $\forall$ hoặc $\exists$ , phải đổi cả lượng từ ( $\forall \leftrightarrow \exists$ ) lẫn dấu quan hệ bên trong.

Mệnh đề là câu khẳng định có đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai. Mệnh đề phủ định $\overline{P}$ luôn trái tính đúng sai với $P$. Khi phủ định mệnh đề chứa $\forall$ hoặc $\exists$, phải đổi cả lượng từ ($\forall \leftrightarrow \exists$) lẫn dấu quan hệ bên trong.

Bài tiếp theo dùng chính khái niệm mệnh đề vừa học để xây dựng một cấu trúc lập luận quan trọng hơn: mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$ — nền tảng của mọi phép chứng minh mà em sẽ gặp trong suốt chương trình THPT.