Bài học

Tập hợp và các cách xác định tập hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định được một tập hợp bằng hai cách — liệt kê phần tử và chỉ ra tính chất đặc trưng — nhận biết đúng quan hệ tập con, và liệt kê được tất cả tập con của một tập hợp có ít phần tử.

Kiến thức nền cần nhớ

Từ tiểu học đến THCS em đã dùng khái niệm tập hợp một cách không chính thức: tập các số tự nhiên $\mathbb{N}$ , tập các số nguyên $\mathbb{Z}$ , tập các số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ , tập các số thực $\mathbb{R}$ (same-grade bridge — các kí hiệu này đã quen thuộc). Bài này hệ thống hoá lại khái niệm đó và trang bị ngôn ngữ chính xác để mô tả một tập hợp.

Từ tiểu học đến THCS em đã dùng khái niệm tập hợp một cách không chính thức: tập các số tự nhiên $\mathbb{N}$, tập các số nguyên $\mathbb{Z}$, tập các số hữu tỉ $\mathbb{Q}$, tập các số thực $\mathbb{R}$ (same-grade bridge — các kí hiệu này đã quen thuộc). Bài này hệ thống hoá lại khái niệm đó và trang bị ngôn ngữ chính xác để mô tả một tập hợp.

Khởi động

Cô giáo yêu cầu: 'Hãy liệt kê tất cả học sinh trong lớp cao trên 1m70.' Có hai cách để trả lời: đọc tên từng bạn thỏa điều kiện, hoặc chỉ nói ngắn gọn điều kiện 'cao trên 1m70' và để người nghe tự xác định ai thuộc nhóm đó. Cả hai cách đều mô tả đúng một tập hợp — khi nào nên dùng cách nào?

Kiến thức trọng tâm

Một tập hợp là một nhóm các đối tượng xác định, gọi là các phần tử của tập hợp đó. Nếu $a$ là một phần tử của tập hợp $A$ , ta viết $a \in A$ (đọc ' $a$ thuộc $A$ '); nếu không, viết $a \notin A$ (đọc ' $a$ không thuộc $A$ '). Có hai cách xác định một tập hợp: liệt kê tất cả các phần tử, hoặc chỉ ra tính chất đặc trưng mà mọi phần tử của tập hợp đều thỏa mãn (và không phần tử nào khác thỏa).

Một tập hợp là một nhóm các đối tượng xác định, gọi là các phần tử của tập hợp đó. Nếu $a$ là một phần tử của tập hợp $A$, ta viết $a \in A$ (đọc '$a$ thuộc $A$'); nếu không, viết $a \notin A$ (đọc '$a$ không thuộc $A$'). Có hai cách xác định một tập hợp: liệt kê tất cả các phần tử, hoặc chỉ ra tính chất đặc trưng mà mọi phần tử của tập hợp đều thỏa mãn (và không phần tử nào khác thỏa).

Cách liệt kê viết các phần tử trong dấu ngoặc nhọn, cách nhau bởi dấu chấm phẩy: $A = \{0; 1; 2; 3; 4\}$ . Cách tính chất đặc trưng viết dạng $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\}$ , đọc là 'tập hợp các số tự nhiên $x$ sao cho $x$ nhỏ hơn 5' — hai cách viết trên mô tả cùng một tập hợp $A$ . Cách liệt kê trực quan, dễ hình dung với tập hợp ít phần tử; cách tính chất đặc trưng gọn hơn nhiều khi tập hợp có vô số phần tử, ví dụ $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 = 2\}$ — không thể liệt kê hết vì $\sqrt{2}$ và $-\sqrt{2}$ đều là số vô tỉ, nhưng tính chất đặc trưng mô tả trọn vẹn tập hợp chỉ bằng một dòng.

Cách liệt kê viết các phần tử trong dấu ngoặc nhọn, cách nhau bởi dấu chấm phẩy: $A = \{0; 1; 2; 3; 4\}$. Cách tính chất đặc trưng viết dạng $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\}$, đọc là 'tập hợp các số tự nhiên $x$ sao cho $x$ nhỏ hơn 5' — hai cách viết trên mô tả cùng một tập hợp $A$. Cách liệt kê trực quan, dễ hình dung với tập hợp ít phần tử; cách tính chất đặc trưng gọn hơn nhiều khi tập hợp có vô số phần tử, ví dụ $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 = 2\}$ — không thể liệt kê hết vì $\sqrt{2}$ và $-\sqrt{2}$ đều là số vô tỉ, nhưng tính chất đặc trưng mô tả trọn vẹn tập hợp chỉ bằng một dòng.

Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu $\emptyset$ . Chẳng hạn $\{x \in \mathbb{N} \mid x + 1 = 0\} = \emptyset$ , vì không có số tự nhiên nào cộng 1 bằng 0 (số tự nhiên không âm).

Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu $\emptyset$. Chẳng hạn $\{x \in \mathbb{N} \mid x + 1 = 0\} = \emptyset$, vì không có số tự nhiên nào cộng 1 bằng 0 (số tự nhiên không âm).

Tập hợp $A$ gọi là tập con của tập hợp $B$ , kí hiệu $A \subset B$ , nếu mọi phần tử của $A$ đều là phần tử của $B$ . Quy ước: tập rỗng là tập con của mọi tập hợp ( $\emptyset \subset A$ với mọi $A$ ), và mọi tập hợp là tập con của chính nó ( $A \subset A$ ). Hai tập hợp $A$ và $B$ được gọi là bằng nhau, viết $A = B$ , khi $A \subset B$ và $B \subset A$ — tức là chúng có đúng cùng các phần tử, bất kể thứ tự liệt kê.

Tập hợp $A$ gọi là tập con của tập hợp $B$, kí hiệu $A \subset B$, nếu mọi phần tử của $A$ đều là phần tử của $B$. Quy ước: tập rỗng là tập con của mọi tập hợp ($\emptyset \subset A$ với mọi $A$), và mọi tập hợp là tập con của chính nó ($A \subset A$). Hai tập hợp $A$ và $B$ được gọi là bằng nhau, viết $A = B$, khi $A \subset B$ và $B \subset A$ — tức là chúng có đúng cùng các phần tử, bất kể thứ tự liệt kê.

Với một tập hợp hữu hạn có $n$ phần tử, số tập con (kể cả $\emptyset$ và chính nó) luôn bằng $2^n$ . Với tập hợp 3 phần tử $\{a; b; c\}$ , số tập con là $2^3 = 8$ : một tập rỗng, ba tập 1 phần tử ( $\{a\}, \{b\}, \{c\}$ ), ba tập 2 phần tử ( $\{a;b\}, \{a;c\}, \{b;c\}$ ), và một tập 3 phần tử chính là $\{a;b;c\}$ .

Với một tập hợp hữu hạn có $n$ phần tử, số tập con (kể cả $\emptyset$ và chính nó) luôn bằng $2^n$. Với tập hợp 3 phần tử $\{a; b; c\}$, số tập con là $2^3 = 8$: một tập rỗng, ba tập 1 phần tử ($\{a\}, \{b\}, \{c\}$), ba tập 2 phần tử ($\{a;b\}, \{a;c\}, \{b;c\}$), và một tập 3 phần tử chính là $\{a;b;c\}$.

Bốn tập số quen thuộc từ THCS lồng nhau theo đúng một dãy tập con: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ . Mỗi số tự nhiên đương nhiên là một số nguyên, nên $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ ; mỗi số nguyên $n$ viết được dưới dạng phân số $\frac{n}{1}$ nên là số hữu tỉ, cho $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ ; và mỗi số hữu tỉ là một số thực, cho $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ . Chiều ngược lại không đúng: $-3 \in \mathbb{Z}$ nhưng $-3 \notin \mathbb{N}$ ; $\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ nhưng $\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$ ; và $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ nhưng $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ (số vô tỉ, không viết được dưới dạng phân số hai số nguyên).

Bốn tập số quen thuộc từ THCS lồng nhau theo đúng một dãy tập con: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. Mỗi số tự nhiên đương nhiên là một số nguyên, nên $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$; mỗi số nguyên $n$ viết được dưới dạng phân số $\frac{n}{1}$ nên là số hữu tỉ, cho $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$; và mỗi số hữu tỉ là một số thực, cho $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. Chiều ngược lại không đúng: $-3 \in \mathbb{Z}$ nhưng $-3 \notin \mathbb{N}$; $\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ nhưng $\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$; và $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ nhưng $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ (số vô tỉ, không viết được dưới dạng phân số hai số nguyên).

Biểu diễn tập hợp

A = \{x\in\mathbb{N} \mid x<5\} = \{0;1;2;3;4\}

bằng các điểm đánh dấu trên trục số.Biểu diễn tập hợp $A = \{x\in\mathbb{N} \mid x<5\} = \{0;1;2;3;4\}$ bằng các điểm đánh dấu trên trục số.

Ví dụ

Chuyển đổi giữa liệt kê và tính chất đặc trưng

1
Viết tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\}$ dưới dạng liệt kê phần tử.
Viết tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\}$ dưới dạng liệt kê phần tử.
2
Ta có $x$ là số tự nhiên và $x$ nhỏ hơn 5.
Ta có $x$ là số tự nhiên và $x$ nhỏ hơn 5.
3
Các số tự nhiên nhỏ hơn 5 là 0, 1, 2, 3, 4.
4
Vậy $A = \{0; 1; 2; 3; 4\}$ .
Vậy $A = \{0; 1; 2; 3; 4\}$.

Ví dụ

Kiểm tra quan hệ tập con

1
Cho $A = \{1; 2; 3\}$ và $B = \{1; 2; 3; 4; 5\}$ . Hỏi $A \subset B$ có đúng không? $B \subset A$ có đúng không?
Cho $A = \{1; 2; 3\}$ và $B = \{1; 2; 3; 4; 5\}$. Hỏi $A \subset B$ có đúng không? $B \subset A$ có đúng không?
2
Ta xét từng phần tử của $A$ : $1 \in B$ , $2 \in B$ , $3 \in B$ — mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$ . Vậy $A \subset B$ đúng.
Ta xét từng phần tử của $A$: $1 \in B$, $2 \in B$, $3 \in B$ — mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$. Vậy $A \subset B$ đúng.
3
Xét phần tử $4 \in B$ nhưng $4 \notin A$ . Vậy tồn tại một phần tử của $B$ không thuộc $A$ , nên $B \subset A$ sai.
Xét phần tử $4 \in B$ nhưng $4 \notin A$. Vậy tồn tại một phần tử của $B$ không thuộc $A$, nên $B \subset A$ sai.
4
Vậy $A \subset B$ nhưng $B \not\subset A$ , do đó $A \neq B$ .
Vậy $A \subset B$ nhưng $B \not\subset A$, do đó $A \neq B$.

Ví dụ

Liệt kê tất cả tập con của một tập hợp 3 phần tử

1
Liệt kê tất cả các tập con của tập hợp $C = \{a; b; c\}$ và kiểm tra lại bằng công thức $2^n$ .
Liệt kê tất cả các tập con của tập hợp $C = \{a; b; c\}$ và kiểm tra lại bằng công thức $2^n$.
2
Ta có tập con 0 phần tử: $\emptyset$ . Tập con 1 phần tử: $\{a\}, \{b\}, \{c\}$ . Tập con 2 phần tử: $\{a;b\}, \{a;c\}, \{b;c\}$ . Tập con 3 phần tử: $\{a;b;c\}$ .
Ta có tập con 0 phần tử: $\emptyset$. Tập con 1 phần tử: $\{a\}, \{b\}, \{c\}$. Tập con 2 phần tử: $\{a;b\}, \{a;c\}, \{b;c\}$. Tập con 3 phần tử: $\{a;b;c\}$.
3
Tổng cộng: $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ tập con.
Tổng cộng: $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ tập con.
4
Với $n = 3$ phần tử, công thức cho $2^3 = 8$ — khớp với kết quả liệt kê trực tiếp ở trên (TMĐK).
Với $n = 3$ phần tử, công thức cho $2^3 = 8$ — khớp với kết quả liệt kê trực tiếp ở trên (TMĐK).
5
Vậy $C$ có đúng 8 tập con, bao gồm cả $\emptyset$ và chính $C$ .
Vậy $C$ có đúng 8 tập con, bao gồm cả $\emptyset$ và chính $C$.

Ví dụ

Xác định tập hợp bằng tính chất đặc trưng — tập hợp ước số

1
Cho $D$ là tập hợp các ước nguyên dương của 12. Viết $D$ bằng cách liệt kê và bằng tính chất đặc trưng.
Cho $D$ là tập hợp các ước nguyên dương của 12. Viết $D$ bằng cách liệt kê và bằng tính chất đặc trưng.
2
Ta có $12 = 1\times12 = 2\times6 = 3\times4$ , nên các ước nguyên dương của 12 là 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Ta có $12 = 1\times12 = 2\times6 = 3\times4$, nên các ước nguyên dương của 12 là 1, 2, 3, 4, 6, 12.
3
Liệt kê: $D = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$ . Tính chất đặc trưng: $D = \{x \in \mathbb{N}^* \mid x \text{ là ước của } 12\}$ .
Liệt kê: $D = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$. Tính chất đặc trưng: $D = \{x \in \mathbb{N}^* \mid x \text{ là ước của } 12\}$.
4
Vậy $D$ có 6 phần tử, và hai cách viết trên mô tả cùng một tập hợp $D$ .
Vậy $D$ có 6 phần tử, và hai cách viết trên mô tả cùng một tập hợp $D$.

Ví dụ

Kiểm tra quan hệ tập con giữa các tập số

1
Xét ba khẳng định: (a) $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ ; (b) $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Z}$ ; (c) $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ . Khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Cho phản ví dụ cho khẳng định sai.
Xét ba khẳng định: (a) $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$; (b) $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Z}$; (c) $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$. Khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Cho phản ví dụ cho khẳng định sai.
2
Mọi số tự nhiên đều là số nguyên (không âm), nên $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ đúng.
Mọi số tự nhiên đều là số nguyên (không âm), nên $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ đúng.
3
Xét $\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ ; ta có $\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$ (không phải số nguyên). Vậy $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Z}$ sai, với phản ví dụ $\frac{1}{2}$ .
Xét $\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$; ta có $\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$ (không phải số nguyên). Vậy $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Z}$ sai, với phản ví dụ $\frac{1}{2}$.
4
Mọi số nguyên $n$ viết được dưới dạng phân số $\frac{n}{1}$ , nên là số hữu tỉ. Vậy $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ đúng.
Mọi số nguyên $n$ viết được dưới dạng phân số $\frac{n}{1}$, nên là số hữu tỉ. Vậy $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ đúng.
5
Vậy (a) và (c) đúng, (b) sai — đúng với thứ tự lồng nhau $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ , không thể đảo ngược chiều bao hàm.
Vậy (a) và (c) đúng, (b) sai — đúng với thứ tự lồng nhau $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, không thể đảo ngược chiều bao hàm.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp nhất là viết $A \subset B$ khi thực ra chỉ có một vài phần tử của $A$ thuộc $B$ — quan hệ tập con đòi hỏi TẤT CẢ phần tử của $A$ đều thuộc $B$ ; chỉ cần một phản ví dụ (một phần tử của $A$ không thuộc $B$ ) là đủ để kết luận $A \not\subset B$ . Một sai lầm khác là quên tập rỗng và chính tập hợp đó khi liệt kê tập con — nhiều em chỉ liệt kê các tập con 'thực sự' (khác rỗng, khác chính nó) rồi thắc mắc vì sao số đếm không khớp công thức $2^n$ .

Sai lầm hay gặp nhất là viết $A \subset B$ khi thực ra chỉ có một vài phần tử của $A$ thuộc $B$ — quan hệ tập con đòi hỏi TẤT CẢ phần tử của $A$ đều thuộc $B$; chỉ cần một phản ví dụ (một phần tử của $A$ không thuộc $B$) là đủ để kết luận $A \not\subset B$. Một sai lầm khác là quên tập rỗng và chính tập hợp đó khi liệt kê tập con — nhiều em chỉ liệt kê các tập con 'thực sự' (khác rỗng, khác chính nó) rồi thắc mắc vì sao số đếm không khớp công thức $2^n$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một tập hợp xác định bằng cách liệt kê phần tử hoặc chỉ ra tính chất đặc trưng. $A\subset B$ khi mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$ ; $A=B$ khi $A\subset B$ và $B\subset A$ . Tập hợp $n$ phần tử có đúng $2^n$ tập con.

Một tập hợp xác định bằng cách liệt kê phần tử hoặc chỉ ra tính chất đặc trưng. $A\subset B$ khi mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$; $A=B$ khi $A\subset B$ và $B\subset A$. Tập hợp $n$ phần tử có đúng $2^n$ tập con.

Bài tiếp theo dùng chính khái niệm tập con vừa học để định nghĩa các phép toán trên tập hợp — hợp, giao, hiệu và phần bù — áp dụng trực tiếp lên các tập con quen thuộc của tập số thực $\mathbb{R}$ .