Bài học

Ôn tập đạo hàm — tiếp tuyến hàm hợp và phân tích chuyển động

Ghép bốn kỹ thuật lại với nhau

Trong bài này

Bài ôn tập này không đưa thêm nội dung nào mới — em sẽ dùng lại định nghĩa, quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm hàm hợp và đạo hàm cấp hai trong hai bài toán tổng hợp hơn: viết tiếp tuyến của một hàm hợp, và phân tích đầy đủ một chuyển động.

Toàn bộ khoá học đến đây đã đi theo một mạch: định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn (Chương 1) → ý nghĩa hình học và vật lí của nó, tiếp tuyến và vận tốc tức thời (Chương 2) → quy tắc tính nhanh cho tổng, tích, thương (Chương 3) → hàm hợp và đạo hàm cấp hai (Chương 4). Một câu hỏi thi tổng hợp thường không tách rời bốn phần này — nó đòi hỏi kết hợp cùng lúc, như hai ví dụ dưới đây.

Một câu hỏi thi thường được đóng gói thành một đề bài duy nhất, nhưng bên trong luôn tách được thành các bước quen thuộc: tính đạo hàm (có thể cần quy tắc hàm hợp), rồi dùng kết quả đó để trả lời một câu hỏi hình học (tiếp tuyến) hoặc vật lí (vận tốc, gia tốc), đôi khi thêm một bước xét dấu đạo hàm cấp hai. Nhận ra đúng những bước quen thuộc này bên trong một đề bài lạ chính là kỹ năng mà bài ôn tập này rèn luyện.

Tiếp tuyến của một hàm hợp

Ý nghĩa hình học của đạo hàm (Chương 2) áp dụng cho bất kỳ hàm số nào có đạo hàm — kể cả hàm hợp. Muốn viết tiếp tuyến của $y=\sin(2x)$ , em vẫn cần đúng hai con số: giá trị hàm tại tiếp điểm, và đạo hàm tại đó — chỉ khác là lần này đạo hàm phải tính bằng quy tắc hàm hợp (Chương 4).

Ý nghĩa hình học của đạo hàm (Chương 2) áp dụng cho *bất kỳ* hàm số nào có đạo hàm — kể cả hàm hợp. Muốn viết tiếp tuyến của $y=\sin(2x)$, em vẫn cần đúng hai con số: giá trị hàm tại tiếp điểm, và đạo hàm tại đó — chỉ khác là lần này đạo hàm phải tính bằng quy tắc hàm hợp (Chương 4).

Ví dụ

Viết phương trình tiếp tuyến của

y=\sin(2x)

tại điểm có hoành độ

x_0=0

Viết phương trình tiếp tuyến của $y=\sin(2x)$ tại điểm có hoành độ $x_0=0$

1
$y(0)=\sin(0)=0$ , nên tiếp điểm là $O(0;0)$ .
$y(0)=\sin(0)=0$, nên tiếp điểm là $O(0;0)$.
2
Đặt $u=2x$ ( $u'=2$ ). Theo quy tắc hàm hợp, $y'=u'\cos u=2\cos(2x)$ . Tại $x=0$ : $y'(0)=2\cos 0=2$ .
Đặt $u=2x$ ($u'=2$). Theo quy tắc hàm hợp, $y'=u'\cos u=2\cos(2x)$. Tại $x=0$: $y'(0)=2\cos 0=2$.
3
Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm, $y=y(0)+y'(0)(x-0)=0+2x=2x$ .
Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm, $y=y(0)+y'(0)(x-0)=0+2x=2x$.
4
Với $x=0,01$ : $\sin(0,02)\approx 0,019999$ , trong khi tiếp tuyến cho $2\cdot 0,01=0,02$ — sai lệch chỉ khoảng $10^{-6}$ , nhỏ hơn rất nhiều so với $x$ . Sai số càng nhỏ khi $x$ càng gần $0$ , đúng như bản chất của một tiếp tuyến.
Với $x=0,01$: $\sin(0,02)\approx 0,019999$, trong khi tiếp tuyến cho $2\cdot 0,01=0,02$ — sai lệch chỉ khoảng $10^{-6}$, nhỏ hơn rất nhiều so với $x$. Sai số càng nhỏ khi $x$ càng gần $0$, đúng như bản chất của một tiếp tuyến.
5
Vậy tiếp tuyến của $y=\sin(2x)$ tại gốc toạ độ là $y=2x$ .
Vậy tiếp tuyến của $y=\sin(2x)$ tại gốc toạ độ là $y=2x$.

Gần x=0, đường cong và tiếp tuyến gần như trùng nhau — sai số giữa hai giá trị giảm rất nhanh khi x tiến về 0.

Tiếp tuyến nằm ngang và cực trị — hai câu hỏi, một đạo hàm

Chương 2 đã chỉ ra: tiếp tuyến nằm ngang đúng tại những điểm mà $f'(x_0)=0$ . Chương 4 đã chỉ ra: dấu của $f''(x_0)$ tại chính những điểm đó phân biệt cực đại với cực tiểu. Hai câu hỏi tưởng như khác nhau — "tiếp tuyến nằm ngang ở đâu" và "đồ thị có cực trị ở đâu" — thực ra dùng chung một phép tính.

Chương 2 đã chỉ ra: tiếp tuyến nằm ngang đúng tại những điểm mà $f'(x_0)=0$. Chương 4 đã chỉ ra: dấu của $f''(x_0)$ tại chính những điểm đó phân biệt cực đại với cực tiểu. Hai câu hỏi tưởng như khác nhau — "tiếp tuyến nằm ngang ở đâu" và "đồ thị có cực trị ở đâu" — thực ra dùng chung một phép tính.

Ví dụ

Tìm các điểm mà tiếp tuyến của

y=x^3-3x^2

song song với trục hoành, và phân loại từng điểmTìm các điểm mà tiếp tuyến của $y=x^3-3x^2$ song song với trục hoành, và phân loại từng điểm

1
$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ . Phương trình $3x(x-2)=0$ cho $x=0$ hoặc $x=2$ — đây là hai điểm có tiếp tuyến nằm ngang.
$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$. Phương trình $3x(x-2)=0$ cho $x=0$ hoặc $x=2$ — đây là hai điểm có tiếp tuyến nằm ngang.
2
$f''(x)=6x-6$ . Ta có $f''(0)=-6<0$ nên $x=0$ là điểm cực đại; $f''(2)=6>0$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu.
$f''(x)=6x-6$. Ta có $f''(0)=-6<0$ nên $x=0$ là điểm cực đại; $f''(2)=6>0$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu.
3
$f(0)=0$ nên tiếp tuyến tại điểm cực đại là $y=0$ ; $f(2)=8-12=-4$ nên tiếp tuyến tại điểm cực tiểu là $y=-4$ (cả hai đều nằm ngang vì hệ số góc bằng 0).
$f(0)=0$ nên tiếp tuyến tại điểm cực đại là $y=0$; $f(2)=8-12=-4$ nên tiếp tuyến tại điểm cực tiểu là $y=-4$ (cả hai đều nằm ngang vì hệ số góc bằng 0).
4
Vậy đồ thị có điểm cực đại $(0;0)$ với tiếp tuyến $y=0$ , và điểm cực tiểu $(2;-4)$ với tiếp tuyến $y=-4$ .
Vậy đồ thị có điểm cực đại $(0;0)$ với tiếp tuyến $y=0$, và điểm cực tiểu $(2;-4)$ với tiếp tuyến $y=-4$.

Phân tích đầy đủ một chuyển động

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm (Chương 2) và đạo hàm cấp hai (Chương 4) ghép lại cho một quy trình đọc chuyển động chỉ từ phương trình $s(t)$ , không cần hình vẽ hay đồ thị vận tốc.

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm (Chương 2) và đạo hàm cấp hai (Chương 4) ghép lại cho một quy trình đọc chuyển động chỉ từ phương trình $s(t)$, không cần hình vẽ hay đồ thị vận tốc.

Ví dụ

Một vật chuyển động có phương trình

s(t)=t^3-3t^2

(

t\ge 0

s

tính bằng mét). Phân tích chuyển động của vật trong khoảng

t\in[0;3]

Một vật chuyển động có phương trình $s(t)=t^3-3t^2$ ($t\ge 0$, $s$ tính bằng mét). Phân tích chuyển động của vật trong khoảng $t\in[0;3]$

1
$v(t)=s'(t)=3t^2-6t$ .
$v(t)=s'(t)=3t^2-6t$.
2
$3t^2-6t=0\iff 3t(t-2)=0\iff t=0$ hoặc $t=2$ . Đây là hai thời điểm vật tạm dừng.
$3t^2-6t=0\iff 3t(t-2)=0\iff t=0$ hoặc $t=2$. Đây là hai thời điểm vật tạm dừng.
3
$a(t)=s''(t)=6t-6$ . Ta có $a(0)=-6<0$ và $a(2)=6>0$ .
$a(t)=s''(t)=6t-6$. Ta có $a(0)=-6<0$ và $a(2)=6>0$.
4
Trên $(0;2)$ , $v(t)=3t(t-2)<0$ (vì $t>0$ và $t-2<0$ ), nên vật di chuyển theo chiều âm; $a(0)<0$ cho biết ngay sau $t=0$ vật tăng tốc theo chiều âm đó. Tại $t=2$ , $a(2)>0$ nên vận tốc bắt đầu tăng trở lại — vật đổi sang chuyển động theo chiều dương. Kiểm tra bằng vị trí: $s(0)=0$ , $s(2)=8-12=-4$ , $s(3)=27-27=0$ — vật đi từ gốc, lùi về điểm thấp nhất $s=-4$ tại $t=2$ , rồi quay lại gốc tại $t=3$ , khớp với kết luận trên.
Trên $(0;2)$, $v(t)=3t(t-2)<0$ (vì $t>0$ và $t-2<0$), nên vật di chuyển theo chiều âm; $a(0)<0$ cho biết ngay sau $t=0$ vật tăng tốc theo chiều âm đó. Tại $t=2$, $a(2)>0$ nên vận tốc bắt đầu tăng trở lại — vật đổi sang chuyển động theo chiều dương. Kiểm tra bằng vị trí: $s(0)=0$, $s(2)=8-12=-4$, $s(3)=27-27=0$ — vật đi từ gốc, lùi về điểm thấp nhất $s=-4$ tại $t=2$, rồi quay lại gốc tại $t=3$, khớp với kết luận trên.
5
Nếu chỉ tính $s(3)-s(0)=0-0=0$ và kết luận "vật không di chuyển gì cả" trong khoảng $[0;3]$ thì sai — đó là độ dời (vị trí cuối trừ vị trí đầu), không phải quãng đường thực đi được. Vì vật đổi chiều tại $t=2$ , quãng đường thực phải cộng từng đoạn: từ $t=0$ đến $t=2$ vật đi được $|s(2)-s(0)|=|-4-0|=4$ m, rồi từ $t=2$ đến $t=3$ vật đi được $|s(3)-s(2)|=|0-(-4)|=4$ m. Tổng quãng đường thực đi được là $4+4=8$ m, dù độ dời bằng 0.
Nếu chỉ tính $s(3)-s(0)=0-0=0$ và kết luận "vật không di chuyển gì cả" trong khoảng $[0;3]$ thì sai — đó là độ dời (vị trí cuối trừ vị trí đầu), không phải quãng đường thực đi được. Vì vật đổi chiều tại $t=2$, quãng đường thực phải cộng từng đoạn: từ $t=0$ đến $t=2$ vật đi được $|s(2)-s(0)|=|-4-0|=4$ m, rồi từ $t=2$ đến $t=3$ vật đi được $|s(3)-s(2)|=|0-(-4)|=4$ m. Tổng quãng đường thực đi được là $4+4=8$ m, dù độ dời bằng 0.

Luyện tập tổng hợp có hướng dẫn

Luyện tập tổng hợp độc lập

Ba bẫy cần nhớ

Ôn lại ba bẫy hay gặp nhất của cả khoá: quên nhân $u'(x)$ khi dùng quy tắc hàm hợp; nhầm dấu $f''$ khi kết luận lồi/lõm hay cực đại/cực tiểu; quên nêu điều kiện xác định của mẫu số khi dùng quy tắc thương.

Đạo hàm — một con số sinh ra từ giới hạn của tỉ số sai phân — hoá ra vừa là hệ số góc tiếp tuyến, vừa là vận tốc tức thời (kèm chiều chuyển động qua dấu của nó), vừa — qua đạo hàm cấp hai — cho biết đồ thị cong theo hướng nào và phân biệt cực đại với cực tiểu. Các quy tắc tính nhanh và quy tắc hàm hợp chỉ là công cụ để đến những kết luận đó nhanh hơn, không phải nội dung tách rời với ý nghĩa hình học và vật lí đã học ở Chương 2.

Khoá tiếp theo rời khỏi giải tích để mở một mạch kiến thức khác của lớp 11: quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.