Bài học

Đạo hàm hàm số cơ bản và quy tắc cộng, tích, thương

Từ định nghĩa đến công thức nhanh

Trong bài này

Em sẽ học các quy tắc tính đạo hàm của hàm số cơ bản, tổng/hiệu, tích và thương — để không phải lập giới hạn tỉ số sai phân cho từng hàm số như hai bài trước.

Bài này dùng lại định nghĩa đạo hàm (same-grade bridge, Chương 1): mọi quy tắc dưới đây đều được chứng minh từ chính giới hạn của tỉ số sai phân, chỉ là đã làm sẵn một lần cho từng dạng hàm, để dùng lại mãi mãi.

Nếu phải tính đạo hàm của $x^{10}$ bằng định nghĩa, em sẽ phải khai triển nhị thức Newton bậc 10 rồi rút gọn — rất mất công cho một kết quả mà cuối cùng chỉ là $10x^9$ . Có cách nào đi thẳng đến kết quả đó không?

Nếu phải tính đạo hàm của $x^{10}$ bằng định nghĩa, em sẽ phải khai triển nhị thức Newton bậc 10 rồi rút gọn — rất mất công cho một kết quả mà cuối cùng chỉ là $10x^9$. Có cách nào đi thẳng đến kết quả đó không?

Bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản

Với $n$ là số nguyên dương, $(x^n)'=nx^{n-1}$ — công thức này đúng cho mọi hàm luỹ thừa, kể cả trường hợp riêng $n=1$ : $(x)'=1$ . Bên cạnh đó,

$(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x,\quad (e^x)'=e^x,\quad (\ln x)'=\dfrac{1}{x}\ (x>0\ \text{— ĐKXĐ}).$

Bốn công thức này là những hàm số cơ bản nhất, và mọi hàm phức tạp hơn trong chương trình đều được tính đạo hàm bằng cách ghép chúng lại với các quy tắc dưới đây.

Với $n$ là số nguyên dương, $(x^n)'=nx^{n-1}$ — công thức này đúng cho mọi hàm luỹ thừa, kể cả trường hợp riêng $n=1$: $(x)'=1$. Bên cạnh đó, $$(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x,\quad (e^x)'=e^x,\quad (\ln x)'=\dfrac{1}{x}\ (x>0\ \text{— ĐKXĐ}).$$ Bốn công thức này là những hàm số cơ bản nhất, và mọi hàm phức tạp hơn trong chương trình đều được tính đạo hàm bằng cách ghép chúng lại với các quy tắc dưới đây.

Với $u=u(x)$ , $v=v(x)$ có đạo hàm, và $k$ là hằng số:

$(u\pm v)'=u'\pm v',\qquad (ku)'=ku',$ $(uv)'=u'v+uv'\quad\text{(quy tắc tích)},$ $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\quad (v\ne 0\ \text{— ĐKXĐ, quy tắc thương)}.$

Với $u=u(x)$, $v=v(x)$ có đạo hàm, và $k$ là hằng số: $$(u\pm v)'=u'\pm v',\qquad (ku)'=ku',$$ $$(uv)'=u'v+uv'\quad\text{(quy tắc tích)},$$ $$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\quad (v\ne 0\ \text{— ĐKXĐ, quy tắc thương)}.$$

Vì sao công thức luỹ thừa lại đúng? Bài trước đã tính bằng định nghĩa rằng đạo hàm của $f(x)=x^2$ tại một điểm $x_0$ bất kì bằng $2x_0$ — hoàn toàn khớp với $(x^2)'=2x$ theo công thức tổng quát ( $n=2$ : $2x^{2-1}=2x$ ). Nếu làm tương tự với $f(x)=x^3$ : $\dfrac{(x_0+h)^3-x_0^3}{h}=\dfrac{3x_0^2h+3x_0h^2+h^3}{h}=3x_0^2+3x_0h+h^2\to 3x_0^2$ khi $h\to 0$ — đúng bằng $3x^2$ theo công thức ( $n=3$ ). Quy tắc chỉ là kết quả đã làm sẵn của chính quá trình lập giới hạn tỉ số sai phân mà em đã quen ở Chương 1, cho từng dạng hàm.

Vì sao công thức luỹ thừa lại đúng? Bài trước đã tính bằng định nghĩa rằng đạo hàm của $f(x)=x^2$ tại một điểm $x_0$ bất kì bằng $2x_0$ — hoàn toàn khớp với $(x^2)'=2x$ theo công thức tổng quát ($n=2$: $2x^{2-1}=2x$). Nếu làm tương tự với $f(x)=x^3$: $\dfrac{(x_0+h)^3-x_0^3}{h}=\dfrac{3x_0^2h+3x_0h^2+h^3}{h}=3x_0^2+3x_0h+h^2\to 3x_0^2$ khi $h\to 0$ — đúng bằng $3x^2$ theo công thức ($n=3$). Quy tắc chỉ là kết quả đã làm sẵn của chính quá trình lập giới hạn tỉ số sai phân mà em đã quen ở Chương 1, cho từng dạng hàm.

Quy tắc nhân hằng số $(ku)'=ku'$ cũng đến từ chính định nghĩa: nếu $g(x)=k\cdot u(x)$ thì tỉ số sai phân của $g$ là $\dfrac{k\cdot u(x_0+h)-k\cdot u(x_0)}{h}=k\cdot \dfrac{u(x_0+h)-u(x_0)}{h}$ — đúng bằng $k$ lần tỉ số sai phân của $u$ . Lấy giới hạn hai vế khi $h\to 0$ cho ngay $g'(x_0)=k\cdot u'(x_0)$ . Ví dụ, nếu $u(x)=x^2$ có $u'(x)=2x$ thì $g(x)=5x^2$ phải có $g'(x)=5\cdot 2x=10x$ — đúng như cách tính quen thuộc.

Quy tắc nhân hằng số $(ku)'=ku'$ cũng đến từ chính định nghĩa: nếu $g(x)=k\cdot u(x)$ thì tỉ số sai phân của $g$ là $\dfrac{k\cdot u(x_0+h)-k\cdot u(x_0)}{h}=k\cdot \dfrac{u(x_0+h)-u(x_0)}{h}$ — đúng bằng $k$ lần tỉ số sai phân của $u$. Lấy giới hạn hai vế khi $h\to 0$ cho ngay $g'(x_0)=k\cdot u'(x_0)$. Ví dụ, nếu $u(x)=x^2$ có $u'(x)=2x$ thì $g(x)=5x^2$ phải có $g'(x)=5\cdot 2x=10x$ — đúng như cách tính quen thuộc.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Tính đạo hàm của

f(x)=3x^3-2x+5

Tính đạo hàm của $f(x)=3x^3-2x+5$

1
Theo quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu, đạo hàm từng số hạng được cộng trừ lại: $f'(x)=(3x^3)'-(2x)'+(5)'$ .
Theo quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu, đạo hàm từng số hạng được cộng trừ lại: $f'(x)=(3x^3)'-(2x)'+(5)'$.
2
Theo quy tắc luỹ thừa, $(3x^3)'=3\cdot 3x^2=9x^2$ ; $(2x)'=2$ ; đạo hàm của hằng số $5$ bằng $0$ .
Theo quy tắc luỹ thừa, $(3x^3)'=3\cdot 3x^2=9x^2$; $(2x)'=2$; đạo hàm của hằng số $5$ bằng $0$.
3
Vậy $f'(x)=9x^2-2$ .
Vậy $f'(x)=9x^2-2$.

Hiệu

3x^3-2x+5-(7x-1)=3(x-1)^2(x+2)

chỉ bằng 0 tại x=1 (nghiệm kép) và x=-2, xác nhận đường thẳng này thật sự tiếp xúc tại (1;6).Hiệu $3x^3-2x+5-(7x-1)=3(x-1)^2(x+2)$ chỉ bằng 0 tại x=1 (nghiệm kép) và x=-2, xác nhận đường thẳng này thật sự tiếp xúc tại (1;6).

Ví dụ

Tính đạo hàm của

g(x)=(2x+1)(x-3)

bằng quy tắc tích, rồi kiểm tra lại bằng cách khai triểnTính đạo hàm của $g(x)=(2x+1)(x-3)$ bằng quy tắc tích, rồi kiểm tra lại bằng cách khai triển

1
Đặt $u=2x+1$ ( $u'=2$ ), $v=x-3$ ( $v'=1$ ). Theo quy tắc tích, $g'(x)=u'v+uv'=2(x-3)+(2x+1)\cdot 1$ .
Đặt $u=2x+1$ ($u'=2$), $v=x-3$ ($v'=1$). Theo quy tắc tích, $g'(x)=u'v+uv'=2(x-3)+(2x+1)\cdot 1$.
2
$g'(x)=2x-6+2x+1=4x-5$ .
$g'(x)=2x-6+2x+1=4x-5$.
3
$g(x)=(2x+1)(x-3)=2x^2-6x+x-3=2x^2-5x-3$ , nên $g'(x)=4x-5$ — khớp với kết quả trên (bước Kiểm tra).
$g(x)=(2x+1)(x-3)=2x^2-6x+x-3=2x^2-5x-3$, nên $g'(x)=4x-5$ — khớp với kết quả trên (bước Kiểm tra).
4
Vậy $g'(x)=4x-5$ .
Vậy $g'(x)=4x-5$.

Vì sao quy tắc tích không đơn giản là $(uv)'=u'v'$ ? Thử kiểm tra với $u=v=x$ : khi đó $uv=x^2$ nên $(uv)'=2x$ , trong khi $u'v'=1\cdot 1=1$ . Hai kết quả khác nhau, nên $(uv)'\ne u'v'$ — đạo hàm của một tích phải cộng cả phần "cái đầu thay đổi, cái sau đứng yên" ( $u'v$ ) lẫn phần "cái đầu đứng yên, cái sau thay đổi" ( $uv'$ ), đúng như công thức $u'v+uv'$ ở trên.

Vì sao quy tắc tích không đơn giản là $(uv)'=u'v'$? Thử kiểm tra với $u=v=x$: khi đó $uv=x^2$ nên $(uv)'=2x$, trong khi $u'v'=1\cdot 1=1$. Hai kết quả khác nhau, nên $(uv)'\ne u'v'$ — đạo hàm của một tích phải cộng cả phần "cái đầu thay đổi, cái sau đứng yên" ($u'v$) lẫn phần "cái đầu đứng yên, cái sau thay đổi" ($uv'$), đúng như công thức $u'v+uv'$ ở trên.

Ví dụ

Tính đạo hàm của

h(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}

Tính đạo hàm của $h(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$

1
Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$ , tức $x\ne 1$ (ĐKXĐ).
Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$, tức $x\ne 1$ (ĐKXĐ).
2
Đặt $u=x^2+1$ ( $u'=2x$ ), $v=x-1$ ( $v'=1$ ). Theo quy tắc thương, $h'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{2x(x-1)-(x^2+1)\cdot 1}{(x-1)^2}$ .
Đặt $u=x^2+1$ ($u'=2x$), $v=x-1$ ($v'=1$). Theo quy tắc thương, $h'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{2x(x-1)-(x^2+1)\cdot 1}{(x-1)^2}$.
3
$2x(x-1)-(x^2+1)=2x^2-2x-x^2-1=x^2-2x-1$ .
$2x(x-1)-(x^2+1)=2x^2-2x-x^2-1=x^2-2x-1$.
4
Vậy $h'(x)=\dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$ , với $x\ne 1$ .
Vậy $h'(x)=\dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$, với $x\ne 1$.
5
Tại $x=2$ (TMĐK vì $2\ne 1$ ): $h'(2)=\dfrac{4-4-1}{(2-1)^2}=-1$ . Nếu đề bài hỏi tiếp tuyến của $h$ tại $x_0=2$ , hệ số góc chính là $-1$ này.
Tại $x=2$ (TMĐK vì $2\ne 1$): $h'(2)=\dfrac{4-4-1}{(2-1)^2}=-1$. Nếu đề bài hỏi tiếp tuyến của $h$ tại $x_0=2$, hệ số góc chính là $-1$ này.

Tương tự quy tắc tích, quy tắc thương cũng không đơn giản là chia hai đạo hàm. Thử với $u=x^2$ , $v=x$ : $\dfrac{u}{v}=x$ , nên $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=1$ ; trong khi $\dfrac{u'}{v'}=\dfrac{2x}{1}=2x$ — hoàn toàn khác. Công thức đúng phải tính đến cả tốc độ thay đổi của tử lẫn của mẫu, và chia cho $v^2$ để bù lại việc mẫu số cũng đang thay đổi.

Tương tự quy tắc tích, quy tắc thương cũng không đơn giản là chia hai đạo hàm. Thử với $u=x^2$, $v=x$: $\dfrac{u}{v}=x$, nên $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=1$; trong khi $\dfrac{u'}{v'}=\dfrac{2x}{1}=2x$ — hoàn toàn khác. Công thức đúng phải tính đến cả tốc độ thay đổi của tử lẫn của mẫu, và chia cho $v^2$ để bù lại việc mẫu số cũng đang thay đổi.

Ví dụ

Viết phương trình tiếp tuyến của

y=\dfrac{x^2+1}{x-1}

tại điểm có hoành độ

x_0=2

Viết phương trình tiếp tuyến của $y=\dfrac{x^2+1}{x-1}$ tại điểm có hoành độ $x_0=2$

1
$h(2)=\dfrac{4+1}{2-1}=5$ , nên tiếp điểm là $(2;5)$ .
$h(2)=\dfrac{4+1}{2-1}=5$, nên tiếp điểm là $(2;5)$.
2
Theo kết quả vừa tính ở ví dụ trên, $h'(2)=-1$ .
Theo kết quả vừa tính ở ví dụ trên, $h'(2)=-1$.
3
Áp dụng công thức tiếp tuyến đã học ở Chương 2: $y=h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)=5-1(x-2)=-x+7$ .
Áp dụng công thức tiếp tuyến đã học ở Chương 2: $y=h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)=5-1(x-2)=-x+7$.
4
Vậy tiếp tuyến của $y=\dfrac{x^2+1}{x-1}$ tại điểm có hoành độ $x_0=2$ là $y=-x+7$ .
Vậy tiếp tuyến của $y=\dfrac{x^2+1}{x-1}$ tại điểm có hoành độ $x_0=2$ là $y=-x+7$.

Ví dụ

Tính

y'(0)

với

y=2\sin x-3\cos x+x^2

(bài toán trộn cả bốn dạng hàm cơ bản trong cùng một biểu thức)Tính $y'(0)$ với $y=2\sin x-3\cos x+x^2$ (bài toán trộn cả bốn dạng hàm cơ bản trong cùng một biểu thức)

1
$y'=(2\sin x)'-(3\cos x)'+(x^2)'=2(\sin x)'-3(\cos x)'+(x^2)'$ .
$y'=(2\sin x)'-(3\cos x)'+(x^2)'=2(\sin x)'-3(\cos x)'+(x^2)'$.
2
$2(\sin x)'=2\cos x$ ; $-3(\cos x)'=-3(-\sin x)=3\sin x$ ; $(x^2)'=2x$ . Vậy $y'=2\cos x+3\sin x+2x$ .
$2(\sin x)'=2\cos x$; $-3(\cos x)'=-3(-\sin x)=3\sin x$; $(x^2)'=2x$. Vậy $y'=2\cos x+3\sin x+2x$.
3
$y'(0)=2\cos 0+3\sin 0+2\cdot 0=2\cdot 1+3\cdot 0+0=2$ .
$y'(0)=2\cos 0+3\sin 0+2\cdot 0=2\cdot 1+3\cdot 0+0=2$.
4
Vậy $y'(0)=2$ — quy tắc tổng cho phép cộng dồn đạo hàm của từng số hạng dù chúng thuộc những dạng hàm khác nhau.
Vậy $y'(0)=2$ — quy tắc tổng cho phép cộng dồn đạo hàm của từng số hạng dù chúng thuộc những dạng hàm khác nhau.

Chọn đúng quy tắc — một mẹo nhận diện nhanh

Trước một biểu thức lạ, hãy nhìn phép toán ngoài cùng trước khi tính: nếu các số hạng chỉ được cộng hoặc trừ với nhau, dùng quy tắc tổng/hiệu cho từng số hạng riêng; nếu cả biểu thức là tích của hai phần, dùng quy tắc tích; nếu là một phân thức, dùng quy tắc thương và nhớ nêu ĐKXĐ mẫu số khác 0; còn nếu bên trong $\sin$ , $\cos$ , $e^{(\cdot)}$ hay $\ln$ không chỉ là $x$ đơn thuần mà là cả một biểu thức, đó là dấu hiệu cần quy tắc hàm hợp — bài học tiếp theo.

Trước một biểu thức lạ, hãy nhìn phép toán ngoài cùng trước khi tính: nếu các số hạng chỉ được cộng hoặc trừ với nhau, dùng quy tắc tổng/hiệu cho từng số hạng riêng; nếu cả biểu thức là *tích* của hai phần, dùng quy tắc tích; nếu là một *phân thức*, dùng quy tắc thương và nhớ nêu ĐKXĐ mẫu số khác 0; còn nếu bên trong $\sin$, $\cos$, $e^{(\cdot)}$ hay $\ln$ không chỉ là $x$ đơn thuần mà là cả một biểu thức, đó là dấu hiệu cần quy tắc hàm hợp — bài học tiếp theo.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: viết nhầm quy tắc tích thành $(uv)'=u'v'$ (sai — phải là $u'v+uv'$ ); hoặc quên điều kiện $v\ne 0$ khi dùng quy tắc thương, dẫn đến áp dụng công thức tại điểm hàm số không xác định.

Sai lầm thường gặp: viết nhầm quy tắc tích thành $(uv)'=u'v'$ (sai — phải là $u'v+uv'$); hoặc quên điều kiện $v\ne 0$ khi dùng quy tắc thương, dẫn đến áp dụng công thức tại điểm hàm số không xác định.

Tóm lại: bốn quy tắc — tổng/hiệu, nhân hằng số, tích, thương — cùng với bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản, cho phép tính đạo hàm của hầu hết các hàm số trong chương trình mà không cần lập lại giới hạn tỉ số sai phân mỗi lần. Mọi quy tắc trong số đó đều có thể chứng minh lại bằng đúng định nghĩa ở Chương 1 — chúng không phải công thức tách rời, mà là kết quả đã làm sẵn của cùng một phép tính giới hạn.

Bài tiếp theo mở rộng bảng này cho hàm hợp — khi bên trong $\sin$ , $e^{(\cdot)}$ hay $\ln$ không chỉ là $x$ mà là cả một biểu thức — và giới thiệu đạo hàm cấp hai.

Bài tiếp theo mở rộng bảng này cho hàm hợp — khi bên trong $\sin$, $e^{(\cdot)}$ hay $\ln$ không chỉ là $x$ mà là cả một biểu thức — và giới thiệu đạo hàm cấp hai.