Bài học

Ý nghĩa hình học và vật lí của đạo hàm

Từ một con số đến một đường thẳng

Trong bài này

Em sẽ dùng đạo hàm vừa tính được để viết phương trình tiếp tuyến của một đồ thị, và giải thích vì sao đạo hàm cũng chính là vận tốc tức thời trong chuyển động.

Bài trước đã tính được $f'(1)=2$ cho $f(x)=x^2$ bằng định nghĩa (same-grade bridge — dùng lại kết quả này). Em cũng đã biết từ những lớp trước rằng một đường thẳng $y=ax+b$ có hệ số góc $a$ (prior-grade review). Bài học này ghép hai điều đó lại.

Biết một đường thẳng đi qua điểm $(1;1)$ và có hệ số góc $2$ , em viết được ngay phương trình của nó. Nhưng một đường cong — chẳng hạn parabol — không có một hệ số góc chung cho mọi điểm. Vậy làm sao gán cho đường cong một hệ số góc tại một điểm của nó?

Biết một đường thẳng đi qua điểm $(1;1)$ và có hệ số góc $2$, em viết được ngay phương trình của nó. Nhưng một đường cong — chẳng hạn parabol — không có một hệ số góc chung cho mọi điểm. Vậy làm sao gán cho đường cong một hệ số góc *tại một điểm* của nó?

Ý nghĩa hình học — phương trình tiếp tuyến

Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ , thì tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $M(x_0;f(x_0))$ là đường thẳng đi qua $M$ và có hệ số góc bằng $f'(x_0)$ . Phương trình của nó là

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).$

Đây chính là ý nghĩa hình học của đạo hàm: $f'(x_0)$ không chỉ là một con số trừu tượng, nó là độ dốc thật của đồ thị đúng tại điểm đó.

Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$, thì tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $M(x_0;f(x_0))$ là đường thẳng đi qua $M$ và có hệ số góc bằng $f'(x_0)$. Phương trình của nó là $$y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).$$ Đây chính là ý nghĩa hình học của đạo hàm: $f'(x_0)$ không chỉ là một con số trừu tượng, nó là độ dốc thật của đồ thị đúng tại điểm đó.

Con số 2 mà em tính được ở bài trước bằng định nghĩa chính là hệ số góc của đường thẳng này.

Ví dụ

Viết phương trình tiếp tuyến của

(C):y=x^2

tại điểm có hoành độ

x_0=1

Viết phương trình tiếp tuyến của $(C):y=x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0=1$

1
$f(1)=1^2=1$ , nên tiếp điểm là $M(1;1)$ .
$f(1)=1^2=1$, nên tiếp điểm là $M(1;1)$.
2
Theo bài trước, $f'(1)=2$ — đây chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại $M$ .
Theo bài trước, $f'(1)=2$ — đây chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại $M$.
3
Áp dụng công thức $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ : $y=1+2(x-1)=2x-1$ .
Áp dụng công thức $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$: $y=1+2(x-1)=2x-1$.
4
Xét hiệu $x^2-(2x-1)=x^2-2x+1=(x-1)^2\ge 0$ với mọi $x$ , và bằng $0$ chỉ tại $x=1$ . Vậy đường thẳng $y=2x-1$ không cắt parabol ở điểm nào khác — nó thật sự chỉ tiếp xúc tại $M(1;1)$ (TMĐK tiếp tuyến).
Xét hiệu $x^2-(2x-1)=x^2-2x+1=(x-1)^2\ge 0$ với mọi $x$, và bằng $0$ chỉ tại $x=1$. Vậy đường thẳng $y=2x-1$ không cắt parabol ở điểm nào khác — nó thật sự chỉ tiếp xúc tại $M(1;1)$ (TMĐK tiếp tuyến).
5
Vậy tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0=1$ là $y=2x-1$ .
Vậy tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0=1$ là $y=2x-1$.

Ý nghĩa vật lí — vận tốc tức thời

Nếu một vật chuyển động có phương trình quãng đường $s=s(t)$ ( $t$ là thời gian), thì vận tốc trung bình trên đoạn $[t_0;t_0+\Delta t]$ chính là tỉ số sai phân $\dfrac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$ mà em đã gặp ở bài trước. Vận tốc tức thời tại thời điểm $t_0$ là giới hạn của đại lượng đó khi $\Delta t\to 0$ — tức là $v(t_0)=s'(t_0)$ . Đạo hàm, một lần nữa, đo tốc độ thay đổi tức thời — lần này của quãng đường theo thời gian.

Nếu một vật chuyển động có phương trình quãng đường $s=s(t)$ ($t$ là thời gian), thì vận tốc trung bình trên đoạn $[t_0;t_0+\Delta t]$ chính là tỉ số sai phân $\dfrac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$ mà em đã gặp ở bài trước. Vận tốc tức thời tại thời điểm $t_0$ là giới hạn của đại lượng đó khi $\Delta t\to 0$ — tức là $v(t_0)=s'(t_0)$. Đạo hàm, một lần nữa, đo tốc độ thay đổi tức thời — lần này của quãng đường theo thời gian.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại t=1 chính là vận tốc tức thời v(1)=5 m/s.

Ví dụ

Một vật chuyển động có phương trình

s(t)=t^2+3t

(t tính bằng giây, s tính bằng mét). Tính vận tốc tức thời tại

t=1

giây và nêu ý nghĩa của con số đó trên đồ thịMột vật chuyển động có phương trình $s(t)=t^2+3t$ (t tính bằng giây, s tính bằng mét). Tính vận tốc tức thời tại $t=1$ giây và nêu ý nghĩa của con số đó trên đồ thị

1
Áp dụng ý nghĩa vật lí của đạo hàm, $v(t)=s'(t)$ . Với $s(t)=t^2+3t$ , ta tính $s'(t)$ tương tự cách đã làm ở bài trước cho $x^2$ : $s'(t)=2t+3$ .
Áp dụng ý nghĩa vật lí của đạo hàm, $v(t)=s'(t)$. Với $s(t)=t^2+3t$, ta tính $s'(t)$ tương tự cách đã làm ở bài trước cho $x^2$: $s'(t)=2t+3$.
2
Tại $t=1$ : $v(1)=s'(1)=2\cdot 1+3=5$ (m/s).
Tại $t=1$: $v(1)=s'(1)=2\cdot 1+3=5$ (m/s).
3
Trên đồ thị $s(t)$ , số $5$ chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(1;4)$ — đúng như hình vẽ ở trên.
Trên đồ thị $s(t)$, số $5$ chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(1;4)$ — đúng như hình vẽ ở trên.
4
Vậy tại $t=1$ giây, vật có vận tốc tức thời $v(1)=5$ m/s.
Vậy tại $t=1$ giây, vật có vận tốc tức thời $v(1)=5$ m/s.

Khi nào tiếp tuyến nằm ngang

Một trường hợp riêng đáng chú ý: nếu $f'(x_0)=0$ thì tiếp tuyến tại điểm đó có hệ số góc bằng $0$ — tức là một đường nằm ngang, song song với trục hoành. Về mặt vật lí, đây đúng là thời điểm vận tốc tức thời bằng $0$ mà em vừa gặp ở trên. Những điểm như vậy thường đáng chú ý vì đồ thị tạm ngừng đi lên hoặc đi xuống ngay tại đó — bài học sau sẽ dùng chính dấu hiệu này để tìm điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị.

Ví dụ

Tìm điểm trên đồ thị

y=x^2-4x+3

mà tiếp tuyến song song với trục hoành (biết

f'(x)=2x-4

)Tìm điểm trên đồ thị $y=x^2-4x+3$ mà tiếp tuyến song song với trục hoành (biết $f'(x)=2x-4$)

1
Tiếp tuyến nằm ngang khi $f'(x_0)=0$ , tức $2x_0-4=0$ .
Tiếp tuyến nằm ngang khi $f'(x_0)=0$, tức $2x_0-4=0$.
2
$2x_0-4=0\iff x_0=2$ .
$2x_0-4=0\iff x_0=2$.
3
$f(2)=4-8+3=-1$ .
$f(2)=4-8+3=-1$.
4
Vậy tiếp tuyến tại điểm $(2;-1)$ song song với trục hoành, có phương trình $y=-1$ .
Vậy tiếp tuyến tại điểm $(2;-1)$ song song với trục hoành, có phương trình $y=-1$.

Dấu của vận tốc cho biết chiều chuyển động

Vận tốc tức thời không chỉ có độ lớn — dấu của nó mang nghĩa vật lí quan trọng: $v(t_0)>0$ nghĩa là vật đang di chuyển theo chiều dương (quãng đường $s$ đang tăng); $v(t_0)<0$ nghĩa là vật đang di chuyển theo chiều ngược lại (quãng đường $s$ đang giảm). Đây chính là lúc con số âm trong toán học mang một ý nghĩa vật lí cụ thể: không phải "tốc độ âm", mà là "chuyển động theo chiều ngược lại".

Ví dụ

Một vật ném lên có phương trình độ cao

s(t)=-t^2+6t

(t tính bằng giây, s tính bằng mét). Xác định chiều chuyển động của vật tại

t=1

giây và tại

t=4

giâyMột vật ném lên có phương trình độ cao $s(t)=-t^2+6t$ (t tính bằng giây, s tính bằng mét). Xác định chiều chuyển động của vật tại $t=1$ giây và tại $t=4$ giây

1
$s'(t)=-2t+6$ .
$s'(t)=-2t+6$.
2
$v(1)=-2\cdot 1+6=4>0$ .
$v(1)=-2\cdot 1+6=4>0$.
3
$v(4)=-2\cdot 4+6=-2<0$ .
$v(4)=-2\cdot 4+6=-2<0$.
4
Tại $t=1$ giây, $v(1)=4>0$ nên vật đang đi lên (chiều dương, độ cao tăng). Tại $t=4$ giây, $v(4)=-2<0$ nên vật đã đổi chiều, đang rơi xuống (chiều âm, độ cao giảm).
Tại $t=1$ giây, $v(1)=4>0$ nên vật đang đi lên (chiều dương, độ cao tăng). Tại $t=4$ giây, $v(4)=-2<0$ nên vật đã đổi chiều, đang rơi xuống (chiều âm, độ cao giảm).
5
Vì vận tốc đổi từ dương sang âm, phải có một thời điểm $v(t)=0$ ở giữa: giải $-2t+6=0$ được $t=3$ . Đây đúng là điểm mà tiếp tuyến trên đồ thị $s(t)$ nằm ngang (mục trước) — về vật lí, đó chính là lúc vật đạt độ cao lớn nhất trước khi rơi xuống, vì trước $t=3$ vật còn đi lên và sau $t=3$ vật đã rơi xuống.
Vì vận tốc đổi từ dương sang âm, phải có một thời điểm $v(t)=0$ ở giữa: giải $-2t+6=0$ được $t=3$. Đây đúng là điểm mà tiếp tuyến trên đồ thị $s(t)$ nằm ngang (mục trước) — về vật lí, đó chính là lúc vật đạt độ cao lớn nhất trước khi rơi xuống, vì trước $t=3$ vật còn đi lên và sau $t=3$ vật đã rơi xuống.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: lấy $f(x_0)$ (giá trị hàm số) làm hệ số góc thay vì $f'(x_0)$ (đạo hàm) khi viết tiếp tuyến; hoặc nhầm vận tốc trung bình trên cả quãng đường với vận tốc tức thời tại một thời điểm cụ thể.

Tóm lại: đạo hàm mang hai gương mặt song song — hình học, nó là hệ số góc của tiếp tuyến; vật lí, nó là vận tốc tức thời, với dấu của nó cho biết cả chiều chuyển động. Cả hai đều là cùng một giới hạn của tỉ số sai phân mà em đã định nghĩa ở bài trước — chỉ là hai cách đọc khác nhau của cùng một con số.

Việc tính đạo hàm bằng định nghĩa mỗi lần đều tốn công lập giới hạn. Bài tiếp theo giới thiệu các quy tắc tính nhanh, để không phải làm lại toàn bộ quá trình đó cho từng hàm số.