Bài học

Quan hệ song song, vuông góc, góc, khoảng cách và thể tích — ôn tập tổng hợp

Mục tiêu ôn tập

Chương này gộp quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian: điều kiện đường thẳng song song mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, đường thẳng vuông góc mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, khoảng cách và thể tích khối chóp. Một bài toán hình chóp tổng hợp — đúng kiểu câu hình học trong đề kiểm tra cuối kỳ — sẽ đi qua lần lượt từng công cụ này trên cùng một hình vẽ.

Kiến thức nền em cần: đường trung bình của tam giác (song song với cạnh còn lại — đã học từ THCS, dùng lại ở đây làm bước bắc cầu); điều kiện đủ để một đường thẳng song song một mặt phẳng; điều kiện để một đường thẳng vuông góc một mặt phẳng; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc với hình chiếu vuông góc; điều kiện hai mặt phẳng vuông góc; công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng qua một mặt phẳng phụ vuông góc; và công thức thể tích khối chóp $V=\dfrac13 S_{\text{đáy}}\cdot h$ .

Bài toán xuyên suốt: hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $4$ , và $SA\perp(ABCD)$ với $SA=3$ . Bốn câu hỏi dưới đây — song song, góc, khoảng cách, thể tích — đều dùng chung một dữ kiện gốc là $SA\perp(ABCD)$ , nhưng mỗi câu cần một công cụ khác hẳn nhau để khai thác dữ kiện đó.

Bài toán xuyên suốt: hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $4$, và $SA\perp(ABCD)$ với $SA=3$. Bốn câu hỏi dưới đây — song song, góc, khoảng cách, thể tích — đều dùng chung một dữ kiện gốc là $SA\perp(ABCD)$, nhưng mỗi câu cần một công cụ khác hẳn nhau để khai thác dữ kiện đó.

Đáy hình chóp: hình vuông cạnh 4, với SA ⟂ (ABCD) và SA = 3 (không vẽ trên hình đáy này).

Câu 1 — song song: đường trung bình bắc cầu lên mặt đáy

Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm $SB$ , $SD$ . Chứng minh $MN\parallel(ABCD)$ .

Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SB$, $SD$. Chứng minh $MN\parallel(ABCD)$.

Chọn công cụ: đề bài không cho sẵn một đường thẳng nào trong đáy để so sánh trực tiếp với $MN$ , nên việc đầu tiên là tìm ra đường thẳng đó bằng một kiến thức cũ hơn cả chương này — đường trung bình của tam giác. $M$ , $N$ là trung điểm hai cạnh $SB$ , $SD$ của tam giác $SBD$ , nên $MN$ chính là đường trung bình ứng với cạnh $BD$ .

Chọn công cụ: đề bài không cho sẵn một đường thẳng nào trong đáy để so sánh trực tiếp với $MN$, nên việc đầu tiên là tìm ra đường thẳng đó bằng một kiến thức cũ hơn cả chương này — đường trung bình của tam giác. $M$, $N$ là trung điểm hai cạnh $SB$, $SD$ của tam giác $SBD$, nên $MN$ chính là đường trung bình ứng với cạnh $BD$.

Lời giải có hình

Trung điểm hai cạnh bên cho một đường thẳng song song với đáy

Bước 1

Xét mặt phẳng $(SBD)$ của hình chóp $S.ABCD$ , chứa đường chéo đáy $BD$ .Xét mặt phẳng $(SBD)$ của hình chóp $S.ABCD$, chứa đường chéo đáy $BD$.

Trình bày lại bằng lời: xét tam giác $SBD$ . Vì $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm $SB$ , $SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác này, suy ra $MN\parallel BD$ (1). Mặt khác, $BD$ là một đường chéo của hình vuông đáy nên $BD\subset(ABCD)$ (2), trong khi $M$ , $N$ nằm trên hai cạnh bên nên $MN\not\subset(ABCD)$ (3). Từ (1), (2) và (3), áp dụng điều kiện đủ để một đường thẳng song song một mặt phẳng, ta kết luận $MN\parallel(ABCD)$ .

Trình bày lại bằng lời: xét tam giác $SBD$. Vì $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SB$, $SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác này, suy ra $MN\parallel BD$ (1). Mặt khác, $BD$ là một đường chéo của hình vuông đáy nên $BD\subset(ABCD)$ (2), trong khi $M$, $N$ nằm trên hai cạnh bên nên $MN\not\subset(ABCD)$ (3). Từ (1), (2) và (3), áp dụng điều kiện đủ để một đường thẳng song song một mặt phẳng, ta kết luận $MN\parallel(ABCD)$.

Câu 2 — góc giữa SC và mặt đáy

Tính tang của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ .

Tính tang của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$.

Chọn công cụ: muốn nói về góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng, trước hết phải tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng đó trên mặt phẳng — đây là bước bắt buộc, không có hình chiếu thì không có góc để nói tới. May mắn là hình chiếu của $S$ đã cho sẵn: chính là $A$ , vì giả thiết cho $SA\perp(ABCD)$ .

Lời giải có hình

Góc giữa SC và mặt phẳng đáy — tam giác vuông SAC

Bước 1

$SA\perp(ABCD)$ nên hình chiếu của $S$ trên đáy chính là $A$ ; hình chiếu của $SC$ trên đáy do đó là $AC$ .$SA\perp(ABCD)$ nên hình chiếu của $S$ trên đáy chính là $A$; hình chiếu của $SC$ trên đáy do đó là $AC$.

Trình bày lại bằng lời: vì $SA\perp(ABCD)$ nên hình chiếu vuông góc của $S$ trên đáy là $A$ , do đó hình chiếu của đoạn $SC$ trên đáy là đoạn $AC$ . Theo định nghĩa, góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ chính là góc $\widehat{SCA}$ giữa $SC$ và hình chiếu $AC$ của nó, và tam giác $SAC$ vuông tại $A$ (vì $SA\perp(ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng của đáy, trong đó có $AC$ ). Đáy là hình vuông cạnh $4$ nên đường chéo $AC=4\sqrt2$ . Trong tam giác vuông $SAC$ , hệ thức lượng cho $\tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{3}{4\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}{8}$ . Vậy tang của góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ bằng $\dfrac{3\sqrt2}{8}$ .

Trình bày lại bằng lời: vì $SA\perp(ABCD)$ nên hình chiếu vuông góc của $S$ trên đáy là $A$, do đó hình chiếu của đoạn $SC$ trên đáy là đoạn $AC$. Theo định nghĩa, góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ chính là góc $\widehat{SCA}$ giữa $SC$ và hình chiếu $AC$ của nó, và tam giác $SAC$ vuông tại $A$ (vì $SA\perp(ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng của đáy, trong đó có $AC$). Đáy là hình vuông cạnh $4$ nên đường chéo $AC=4\sqrt2$. Trong tam giác vuông $SAC$, hệ thức lượng cho $\tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{3}{4\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}{8}$. Vậy tang của góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ bằng $\dfrac{3\sqrt2}{8}$.

Câu 3 — khoảng cách từ A đến (SCD)

Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ .

Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Chọn công cụ: $A$ không nằm trong $(SCD)$ và không có sẵn đoạn vuông góc nào nối thẳng từ $A$ đến mặt phẳng đó, nên không thể đo khoảng cách ngay. Công cụ đúng ở đây là kỹ thuật hai bước: trước hết chứng minh một mặt phẳng chứa $A$ vuông góc với $(SCD)$ , sau đó trong mặt phẳng đó, kẻ đường vuông góc với giao tuyến — đoạn vừa kẻ chính là khoảng cách cần tìm.

Chọn công cụ: $A$ không nằm trong $(SCD)$ và không có sẵn đoạn vuông góc nào nối thẳng từ $A$ đến mặt phẳng đó, nên không thể đo khoảng cách ngay. Công cụ đúng ở đây là kỹ thuật hai bước: trước hết chứng minh một mặt phẳng chứa $A$ vuông góc với $(SCD)$, sau đó trong mặt phẳng đó, kẻ đường vuông góc với giao tuyến — đoạn vừa kẻ chính là khoảng cách cần tìm.

Lời giải có hình

Khoảng cách từ A đến (SCD) — chân đường cao H trên SD

Bước 1

$CD\perp AD$ (đáy là hình vuông) và $CD\perp SA$ (vì $SA\perp(ABCD)$ ), nên $CD\perp(SAD)$ .$CD\perp AD$ (đáy là hình vuông) và $CD\perp SA$ (vì $SA\perp(ABCD)$), nên $CD\perp(SAD)$.

một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng đó

Trình bày lại bằng lời: ta có $CD\perp AD$ (vì đáy là hình vuông) và $CD\perp SA$ (vì $SA\perp(ABCD)$ ), suy ra $CD\perp(SAD)$ (1) — vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ , $SA$ trong $(SAD)$ . Vì $CD\subset(SCD)$ , từ (1) suy ra $(SCD)\perp(SAD)$ theo giao tuyến $SD$ (2). Trong mặt phẳng $(SAD)$ , kẻ $AH\perp SD$ tại $H$ ; kết hợp với (2), $AH\perp(SCD)$ , tức $d(A,(SCD))=AH$ . Xét tam giác vuông $SAD$ (vuông tại $A$ ): $SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền và đường cao tương ứng): $AH=\dfrac{SA\cdot AD}{SD}=\dfrac{3\times4}{5}=2{,}4$ . Vậy $d(A,(SCD))=2{,}4$ (đơn vị độ dài).

Trình bày lại bằng lời: ta có $CD\perp AD$ (vì đáy là hình vuông) và $CD\perp SA$ (vì $SA\perp(ABCD)$), suy ra $CD\perp(SAD)$ (1) — vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$, $SA$ trong $(SAD)$. Vì $CD\subset(SCD)$, từ (1) suy ra $(SCD)\perp(SAD)$ theo giao tuyến $SD$ (2). Trong mặt phẳng $(SAD)$, kẻ $AH\perp SD$ tại $H$; kết hợp với (2), $AH\perp(SCD)$, tức $d(A,(SCD))=AH$. Xét tam giác vuông $SAD$ (vuông tại $A$): $SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền và đường cao tương ứng): $AH=\dfrac{SA\cdot AD}{SD}=\dfrac{3\times4}{5}=2{,}4$. Vậy $d(A,(SCD))=2{,}4$ (đơn vị độ dài).

Thiếu bước chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Lỗi hay gặp nhất ở dạng khoảng cách này là kẻ $AH\perp SD$ mà quên chứng minh trước $(SCD)\perp(SAD)$ — nếu bỏ qua bước đó, không có căn cứ để khẳng định $AH$ (nằm trong $(SAD)$ ) cũng vuông góc với cả mặt phẳng $(SCD)$ , chứ không chỉ vuông góc với riêng $SD$ .

Lỗi hay gặp nhất ở dạng khoảng cách này là kẻ $AH\perp SD$ mà quên chứng minh trước $(SCD)\perp(SAD)$ — nếu bỏ qua bước đó, không có căn cứ để khẳng định $AH$ (nằm trong $(SAD)$) cũng vuông góc với cả mặt phẳng $(SCD)$, chứ không chỉ vuông góc với riêng $SD$.

Câu 4 — thể tích khối chóp

Ví dụ

Tính thể tích khối chóp

S.ABCD

Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$

1
Đề đã cho trực tiếp diện tích đáy (hình vuông cạnh 4) và chiều cao ( $SA=3$ , vuông góc đáy) — công cụ đúng là áp dụng thẳng công thức thể tích khối chóp, không cần dựng thêm đường phụ nào.
Đề đã cho trực tiếp diện tích đáy (hình vuông cạnh 4) và chiều cao ($SA=3$, vuông góc đáy) — công cụ đúng là áp dụng thẳng công thức thể tích khối chóp, không cần dựng thêm đường phụ nào.
2
$S_{ABCD}=4^2=16$ (đơn vị diện tích).
$S_{ABCD}=4^2=16$ (đơn vị diện tích).
3
$V=\dfrac13\,S_{\text{đáy}}\cdot h=\dfrac13\times16\times3=16$ (đơn vị thể tích).
$V=\dfrac13\,S_{\text{đáy}}\cdot h=\dfrac13\times16\times3=16$ (đơn vị thể tích).

Tổng kết

Bốn câu trên cùng xuất phát từ một dữ kiện gốc — $SA\perp(ABCD)$ — nhưng mỗi câu khai thác nó theo một hướng khác: đường trung bình để bắc cầu tới quan hệ song song, hình chiếu để định nghĩa góc, mặt phẳng phụ vuông góc để dựng đường cao tính khoảng cách, và công thức trực tiếp để tính thể tích. Một hình vẽ tốt, đúng tỉ lệ và ghi rõ giả thiết vuông góc ngay từ đầu, giúp nhìn ra ngay câu nào cần công cụ nào.

Có một trình tự đáng nhớ ẩn trong bốn câu này: quan hệ song song (Câu 1) không cần đến giả thiết $SA\perp(ABCD)$ chút nào — nó chỉ cần đường trung bình. Nhưng Câu 2, 3, 4 đều bắt đầu từ đúng một chỗ: $SA\perp(ABCD)$ khẳng định $SA$ vuông góc với MỌI đường thẳng của đáy, không chỉ một đường cụ thể. Chính tính chất 'vuông góc với mọi đường' đó cho phép Câu 2 dùng $SA\perp AC$ , Câu 3 dùng $SA\perp AD$ , và Câu 4 dùng thẳng $SA$ làm chiều cao. Nhận ra một giả thiết được dùng lại theo nhiều cách khác nhau chính là điều phân biệt một bài hình không gian được giải trọn vẹn với một bài chỉ giải được từng câu rời rạc.

Có một trình tự đáng nhớ ẩn trong bốn câu này: quan hệ song song (Câu 1) không cần đến giả thiết $SA\perp(ABCD)$ chút nào — nó chỉ cần đường trung bình. Nhưng Câu 2, 3, 4 đều bắt đầu từ đúng một chỗ: $SA\perp(ABCD)$ khẳng định $SA$ vuông góc với MỌI đường thẳng của đáy, không chỉ một đường cụ thể. Chính tính chất 'vuông góc với mọi đường' đó cho phép Câu 2 dùng $SA\perp AC$, Câu 3 dùng $SA\perp AD$, và Câu 4 dùng thẳng $SA$ làm chiều cao. Nhận ra một giả thiết được dùng lại theo nhiều cách khác nhau chính là điều phân biệt một bài hình không gian được giải trọn vẹn với một bài chỉ giải được từng câu rời rạc.

Chương cuối cùng của khóa học chuyển sang một mạch hoàn toàn khác: thống kê của mẫu số liệu ghép nhóm và xác suất của biến cố — nơi công cụ không còn là hình vẽ mà là bảng tần số và các quy tắc cộng, nhân xác suất.