Bài học

Mũ và Logarit — ôn tập tổng hợp

Mục tiêu ôn tập

Chương này gộp hai mạch: mũ – lôgarit (lũy thừa với số mũ thực, định nghĩa và quy tắc lôgarit, hàm số mũ – lôgarit, phương trình và bất phương trình cơ bản) và đạo hàm (định nghĩa, ý nghĩa hình học – vật lí, các quy tắc tính, đạo hàm hàm hợp và đạo hàm cấp hai). Bài học đầu tiên xử lý mũ và lôgarit; bài thứ hai chuyển sang đạo hàm và quay lại dùng chính các hàm mũ – lôgarit vừa ôn làm ví dụ.

Kiến thức nền em cần: quy tắc lũy thừa với số mũ thực, định nghĩa $\log_ab$ và các quy tắc $\log_a(xy)$ , $\log_a(x/y)$ , $\log_a(x^k)$ , công thức đổi cơ số; tính đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit tùy theo cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn 1; và cách giải phương trình, bất phương trình mũ – lôgarit cơ bản bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc đặt ẩn phụ. Mạch dãy số ở chương trước cũng quay lại: lãi kép chính là một cấp số nhân, và tìm số kỳ để đạt một mốc cho trước cần đến lôgarit. Bốn ví dụ dưới đây đi theo đúng thứ tự này — từ một cấp số nhân quen thuộc, qua một bất phương trình đổi chiều, một phương trình cần ẩn phụ, đến một phép so sánh không cần giải gì cả.

Kiến thức nền em cần: quy tắc lũy thừa với số mũ thực, định nghĩa $\log_ab$ và các quy tắc $\log_a(xy)$, $\log_a(x/y)$, $\log_a(x^k)$, công thức đổi cơ số; tính đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit tùy theo cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn 1; và cách giải phương trình, bất phương trình mũ – lôgarit cơ bản bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc đặt ẩn phụ. Mạch dãy số ở chương trước cũng quay lại: lãi kép chính là một cấp số nhân, và tìm số kỳ để đạt một mốc cho trước cần đến lôgarit. Bốn ví dụ dưới đây đi theo đúng thứ tự này — từ một cấp số nhân quen thuộc, qua một bất phương trình đổi chiều, một phương trình cần ẩn phụ, đến một phép so sánh không cần giải gì cả.

Ví dụ 1 — vì sao lãi kép cần đến lôgarit

Ví dụ

Một khoản tiền gửi tăng trưởng theo cấp số nhân với công bội

q=1{,}05

mỗi kỳ (lãi suất 5%/kỳ). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu kỳ, số tiền tăng gấp đôi vốn ban đầu?Một khoản tiền gửi tăng trưởng theo cấp số nhân với công bội $q=1{,}05$ mỗi kỳ (lãi suất 5%/kỳ). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu kỳ, số tiền tăng gấp đôi vốn ban đầu?

1
Số tiền sau $n$ kỳ là $u_n=u_1\cdot 1{,}05^n$ — đúng một cấp số nhân đã học ở chương Dãy số, với công bội $q=1{,}05$ . Nếu đề chỉ hỏi số tiền sau một số kỳ cho trước, công thức cấp số nhân là đủ. Nhưng câu hỏi ở đây ngược lại: biết kết quả (gấp đôi), tìm số kỳ — tức ẩn nằm ở số mũ ( $n$ ) — nên công thức cấp số nhân một mình không đủ: công cụ cần thêm là lôgarit, dùng để 'hạ' số mũ chứa ẩn xuống thành hệ số.
Số tiền sau $n$ kỳ là $u_n=u_1\cdot 1{,}05^n$ — đúng một cấp số nhân đã học ở chương Dãy số, với công bội $q=1{,}05$. Nếu đề chỉ hỏi số tiền sau một số kỳ cho trước, công thức cấp số nhân là đủ. Nhưng câu hỏi ở đây ngược lại: biết kết quả (gấp đôi), tìm số kỳ — tức ẩn nằm ở số mũ ($n$) — nên công thức cấp số nhân một mình không đủ: công cụ cần thêm là lôgarit, dùng để 'hạ' số mũ chứa ẩn xuống thành hệ số.
2
Gấp đôi vốn nghĩa là $u_1\cdot 1{,}05^n=2u_1$ , tức $1{,}05^n=2$ (vốn ban đầu $u_1$ tự triệt tiêu hai vế).
Gấp đôi vốn nghĩa là $u_1\cdot 1{,}05^n=2u_1$, tức $1{,}05^n=2$ (vốn ban đầu $u_1$ tự triệt tiêu hai vế).
3
Lấy lôgarit thập phân hai vế: $n\lg 1{,}05=\lg 2$ , suy ra $n=\dfrac{\lg 2}{\lg 1{,}05}$ .
Lấy lôgarit thập phân hai vế: $n\lg 1{,}05=\lg 2$, suy ra $n=\dfrac{\lg 2}{\lg 1{,}05}$.
4
$\lg 2\approx 0{,}3010$ , $\lg 1{,}05\approx 0{,}0212$ , nên $n\approx\dfrac{0{,}3010}{0{,}0212}\approx 14{,}2$ . Vì $n$ phải là số kỳ nguyên và $1{,}05^{14}\approx 1{,}98<2$ (chưa đủ gấp đôi) trong khi $1{,}05^{15}\approx 2{,}08>2$ (đã vượt), số kỳ nguyên nhỏ nhất thỏa yêu cầu phải làm tròn LÊN, không làm tròn theo quy tắc thông thường.
$\lg 2\approx 0{,}3010$, $\lg 1{,}05\approx 0{,}0212$, nên $n\approx\dfrac{0{,}3010}{0{,}0212}\approx 14{,}2$. Vì $n$ phải là số kỳ nguyên và $1{,}05^{14}\approx 1{,}98<2$ (chưa đủ gấp đôi) trong khi $1{,}05^{15}\approx 2{,}08>2$ (đã vượt), số kỳ nguyên nhỏ nhất thỏa yêu cầu phải làm tròn LÊN, không làm tròn theo quy tắc thông thường.
5
Vậy cần ít nhất $n=15$ kỳ để số tiền tăng gấp đôi vốn ban đầu.
Vậy cần ít nhất $n=15$ kỳ để số tiền tăng gấp đôi vốn ban đầu.

Đường cong cắt mức y=2 ở giữa n=14 và n=15 — đúng lý do phải làm tròn lên thành 15 kỳ.

Ví dụ 2 — chiều bất phương trình đảo khi cơ số nhỏ hơn 1

Ví dụ

Giải bất phương trình

\log_{1/2}(x-1) > -2

Giải bất phương trình $\log_{1/2}(x-1) > -2$

1
Cơ số của lôgarit là $\dfrac12<1$ , nên hàm số $\log_{1/2}$ NGHỊCH BIẾN — góc nhìn đồ thị giúp thấy ngay điều này: đồ thị $y=\log_{1/2}x$ đi xuống từ trái sang phải, ngược hẳn với đồ thị $y=\log_2x$ hay $y=\lg x$ (cơ số lớn hơn 1, đồng biến). Đây là lý do chiều bất đẳng thức phải đảo khi bỏ dấu lôgarit.
Cơ số của lôgarit là $\dfrac12<1$, nên hàm số $\log_{1/2}$ NGHỊCH BIẾN — góc nhìn đồ thị giúp thấy ngay điều này: đồ thị $y=\log_{1/2}x$ đi xuống từ trái sang phải, ngược hẳn với đồ thị $y=\log_2x$ hay $y=\lg x$ (cơ số lớn hơn 1, đồng biến). Đây là lý do chiều bất đẳng thức phải đảo khi bỏ dấu lôgarit.
2
ĐKXĐ: $x-1>0\iff x>1$ .
ĐKXĐ: $x-1>0\iff x>1$.
3
Vì cơ số $\dfrac12<1$ : $\log_{1/2}(x-1)>-2\iff x-1<\left(\dfrac12\right)^{-2}\iff x-1<4\iff x<5$ .
Vì cơ số $\dfrac12<1$: $\log_{1/2}(x-1)>-2\iff x-1<\left(\dfrac12\right)^{-2}\iff x-1<4\iff x<5$.
4
Kết hợp $x>1$ và $x<5$ (TMĐK ở cả hai đầu): $1<x<5$ .
Kết hợp $x>1$ và $x<5$ (TMĐK ở cả hai đầu): $1<x<5$.
5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x\in(1;5)$ .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x\in(1;5)$.

Quên đảo chiều khi cơ số nhỏ hơn 1

Lỗi phổ biến nhất ở dạng này là bỏ dấu lôgarit và giữ nguyên chiều bất đẳng thức như khi cơ số lớn hơn 1, cho ra tập nghiệm sai. Quy tắc phải nhớ: cơ số lớn hơn 1 — hàm đồng biến — giữ chiều; cơ số nằm giữa 0 và 1 — hàm nghịch biến — đảo chiều. Luôn viết rõ cơ số trước khi quyết định chiều.

Ví dụ 3 — một ẩn xuất hiện ở cả số mũ lẫn ngoài lôgarit

Ví dụ

Giải phương trình

\log_2(2^x-3)=x-2

Giải phương trình $\log_2(2^x-3)=x-2$

1
Ẩn $x$ xuất hiện cả bên trong lôgarit dưới dạng $2^x$ lẫn ở vế phải dưới dạng $x-2$ — hai cách xuất hiện khác nhau của cùng một ẩn, không thể đưa hai vế về cùng một lôgarit ngay lập tức như phương trình lôgarit cơ bản. Công cụ đúng là đặt ẩn phụ $t=2^x$ ( $t>0$ ) để đưa cả phương trình về một ẩn duy nhất, rồi biến đổi vế phải cũng theo ẩn phụ đó.
Ẩn $x$ xuất hiện cả bên trong lôgarit dưới dạng $2^x$ lẫn ở vế phải dưới dạng $x-2$ — hai cách xuất hiện khác nhau của cùng một ẩn, không thể đưa hai vế về cùng một lôgarit ngay lập tức như phương trình lôgarit cơ bản. Công cụ đúng là đặt ẩn phụ $t=2^x$ ($t>0$) để đưa cả phương trình về một ẩn duy nhất, rồi biến đổi vế phải cũng theo ẩn phụ đó.
2
Đặt $t=2^x$ ( $t>0$ ). Vì $2^x=t$ nên $x=\log_2 t$ , và vế phải $x-2=\log_2 t-2=\log_2 t-\log_2 4=\log_2\dfrac{t}{4}$ .
Đặt $t=2^x$ ($t>0$). Vì $2^x=t$ nên $x=\log_2 t$, và vế phải $x-2=\log_2 t-2=\log_2 t-\log_2 4=\log_2\dfrac{t}{4}$.
3
Phương trình trở thành $\log_2(t-3)=\log_2\dfrac{t}{4}$ , với ĐKXĐ $t>3$ (để $t-3>0$ ).
Phương trình trở thành $\log_2(t-3)=\log_2\dfrac{t}{4}$, với ĐKXĐ $t>3$ (để $t-3>0$).
4
Hai lôgarit cùng cơ số bằng nhau khi và chỉ khi hai biểu thức bên trong bằng nhau: $t-3=\dfrac{t}{4}\iff 4t-12=t\iff 3t=12\iff t=4$ . Vì $4>3$ (TMĐK).
Hai lôgarit cùng cơ số bằng nhau khi và chỉ khi hai biểu thức bên trong bằng nhau: $t-3=\dfrac{t}{4}\iff 4t-12=t\iff 3t=12\iff t=4$. Vì $4>3$ (TMĐK).
5
$2^x=4\iff x=2$ . Thử lại: $\log_2(2^2-3)=\log_2 1=0$ và $x-2=2-2=0$ — hai vế bằng nhau. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$ .
$2^x=4\iff x=2$. Thử lại: $\log_2(2^2-3)=\log_2 1=0$ và $x-2=2-2=0$ — hai vế bằng nhau. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$.

Ba ví dụ vừa qua đều là giải phương trình hoặc bất phương trình — tìm ra một giá trị $x$ cụ thể. Ví dụ cuối cùng dưới đây đổi hẳn dạng câu hỏi: không giải gì cả, chỉ so sánh hai số với nhau. Đây là dạng bài rất hay xuất hiện trong đề kiểm tra dưới tên 'so sánh hai lũy thừa' hoặc 'sắp xếp theo thứ tự tăng dần', và nó đòi một cách nhìn khác hẳn ba ví dụ trước: lôgarit không còn dùng để giải phương trình, mà dùng như một 'thước đo' đơn điệu để so sánh gián tiếp.

Ví dụ 4 — lôgarit hóa để so sánh hai số khổng lồ

Ví dụ

So sánh

2^{50}

và

3^{32}

mà không tính trực tiếp hai lũy thừa nàySo sánh $2^{50}$ và $3^{32}$ mà không tính trực tiếp hai lũy thừa này

1
$2^{50}$ và $3^{32}$ đều là những số quá lớn để tính trực tiếp bằng tay. Vì hàm số lôgarit (cơ số lớn hơn 1) đồng biến — số lớn hơn có lôgarit lớn hơn — công cụ đúng là lấy lôgarit thập phân của cả hai số rồi so sánh hai lôgarit đó, thay vì so sánh chính hai lũy thừa.
$2^{50}$ và $3^{32}$ đều là những số quá lớn để tính trực tiếp bằng tay. Vì hàm số lôgarit (cơ số lớn hơn 1) đồng biến — số lớn hơn có lôgarit lớn hơn — công cụ đúng là lấy lôgarit thập phân của cả hai số rồi so sánh hai lôgarit đó, thay vì so sánh chính hai lũy thừa.
2
$\lg\left(2^{50}\right)=50\lg 2$ và $\lg\left(3^{32}\right)=32\lg 3$ .
$\lg\left(2^{50}\right)=50\lg 2$ và $\lg\left(3^{32}\right)=32\lg 3$.
3
Với $\lg 2\approx 0{,}3010$ và $\lg 3\approx 0{,}4771$ : $50\lg 2\approx 50\times 0{,}3010=15{,}050$ , và $32\lg 3\approx 32\times 0{,}4771=15{,}267$ .
Với $\lg 2\approx 0{,}3010$ và $\lg 3\approx 0{,}4771$: $50\lg 2\approx 50\times 0{,}3010=15{,}050$, và $32\lg 3\approx 32\times 0{,}4771=15{,}267$.
4
Vì $15{,}267>15{,}050$ nên $\lg\left(3^{32}\right)>\lg\left(2^{50}\right)$ , mà lôgarit thập phân đồng biến trên $(0;+\infty)$ , nên $3^{32}>2^{50}$ .
Vì $15{,}267>15{,}050$ nên $\lg\left(3^{32}\right)>\lg\left(2^{50}\right)$, mà lôgarit thập phân đồng biến trên $(0;+\infty)$, nên $3^{32}>2^{50}$.

Tổng kết

Bốn ví dụ trên cho bốn lý do khác nhau để cần đến mũ – lôgarit: ẩn nằm ở số mũ của một cấp số nhân (lôgarit để hạ ẩn), cơ số nhỏ hơn 1 làm đảo chiều bất phương trình, ẩn xuất hiện đồng thời ở hai vị trí khác nhau nên phải đặt ẩn phụ để quy về một ẩn, và hai số quá lớn để tính trực tiếp nên phải lôgarit hóa để so sánh gián tiếp. Trong cả bốn trường hợp, việc gọi tên đúng công cụ luôn đến trước việc bấm số — bấm số trước khi biết công cụ chỉ tổ mất thời gian với con số sai đường.

Ba trong bốn ví dụ trên đều dùng chung một ý: một phép toán khó thực hiện trực tiếp (tìm số mũ, so sánh hai số khổng lồ) trở nên dễ hơn hẳn khi chuyển sang 'thế giới lôgarit' — nơi phép nhân trở thành phép cộng và phép lũy thừa trở thành phép nhân. Đây chính là lý do lôgarit tồn tại như một công cụ độc lập, không chỉ là phép toán ngược của lũy thừa.

Bài tiếp theo trong cùng chương chuyển sang đạo hàm — và sẽ quay lại dùng chính các hàm mũ, hàm lôgarit vừa ôn ở đây làm đối tượng để tính đạo hàm, viết tiếp tuyến, và so sánh tốc độ tăng một cách chặt chẽ hơn hẳn việc chỉ nhìn đồ thị hay lôgarit hóa.