Bài học

Giá trị lượng giác, công thức và phương trình lượng giác — ôn tập tổng hợp

Mục tiêu ôn tập

Chương này gộp lại toàn bộ mạch lượng giác của lớp 11: giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác, các hệ thức và công thức biến đổi, rồi đến phương trình lượng giác. Nhớ lại từng công thức thôi là chưa đủ cho bài này — em còn phải làm được việc khó hơn: nhìn một phương trình lạ và quyết định ngay công thức nào mở được nó, trước khi đặt bút tính toán.

Kiến thức nền em cần: giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hệ thức $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ , công thức góc liên kết, công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, và cách giải bốn phương trình lượng giác cơ bản $\sin x=a$ , $\cos x=a$ , $\tan x=a$ , $\cot x=a$ . Một mạch nữa tưởng không liên quan nhưng sẽ quay lại trong bài: cấp số cộng, với số hạng tổng quát $u_n=u_1+(n-1)d$ .

Kiến thức nền em cần: giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hệ thức $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, công thức góc liên kết, công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, và cách giải bốn phương trình lượng giác cơ bản $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\tan x=a$, $\cot x=a$. Một mạch nữa tưởng không liên quan nhưng sẽ quay lại trong bài: cấp số cộng, với số hạng tổng quát $u_n=u_1+(n-1)d$.

Vì sao phải chọn công cụ, không chỉ áp dụng công thức

Một phương trình lượng giác thi cuối kỳ hiếm khi ở dạng cơ bản ngay từ đầu. Vế trái có thể chứa cả $\cos 2x$ lẫn $\cos x$ , hoặc là tổng của hai hàm số cùng loại, hoặc lặp một biểu thức góc nhiều lần. Việc đầu tiên — trước khi giải — là đọc ra hình dạng của vế đó và gọi tên công thức tương ứng: thấy $\cos 2x$ đi cùng $\cos x$ thì nghĩ đến công thức nhân đôi để hạ về một ẩn; thấy tổng hai hàm số lượng giác cùng loại thì nghĩ đến biến đổi tổng thành tích; thấy một hàm số lặp lại dạng bậc hai thì đặt ẩn phụ. Sơ đồ dưới đây tóm tắt đúng quy trình đó.

Một phương trình lượng giác thi cuối kỳ hiếm khi ở dạng cơ bản ngay từ đầu. Vế trái có thể chứa cả $\cos 2x$ lẫn $\cos x$, hoặc là tổng của hai hàm số cùng loại, hoặc lặp một biểu thức góc nhiều lần. Việc đầu tiên — trước khi giải — là đọc ra hình dạng của vế đó và gọi tên công thức tương ứng: thấy $\cos 2x$ đi cùng $\cos x$ thì nghĩ đến công thức nhân đôi để hạ về một ẩn; thấy tổng hai hàm số lượng giác cùng loại thì nghĩ đến biến đổi tổng thành tích; thấy một hàm số lặp lại dạng bậc hai thì đặt ẩn phụ. Sơ đồ dưới đây tóm tắt đúng quy trình đó.

Quy trình áp dụng cho cả bốn ví dụ dưới đây.

Bốn ví dụ sau đây lần lượt đi qua bốn tình huống khác nhau mà một đề kiểm tra tổng hợp có thể đưa ra: một góc không có trong bảng đặc biệt, một phương trình lẫn cả góc gốc và góc gấp đôi, một phương trình cơ bản mà câu hỏi lại đòi một nghiệm ở vị trí xa, và một tổng hai hàm cùng loại dễ khiến người làm bài chia nhầm. Mỗi ví dụ đều mở đầu bằng đúng một câu hỏi: nhìn vào đề bài, dấu hiệu nào cho biết công thức nào cần dùng — rồi mới bắt tay vào tính.

Ví dụ 1 — công thức cộng cho một giá trị không có trong bảng đặc biệt

Ví dụ

Tính

\cos 75^\circ

không dùng máy tính, rồi giải

\cos x=\cos 75^\circ

trên

[0^\circ;360^\circ]

Tính $\cos 75^\circ$ không dùng máy tính, rồi giải $\cos x=\cos 75^\circ$ trên $[0^\circ;360^\circ]$

1
$75^\circ$ không phải một góc đặc biệt trong bảng giá trị lượng giác, nhưng $75^\circ=45^\circ+30^\circ$ — tổng của hai góc đặc biệt. Công cụ đúng ở đây là công thức cộng $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ , không phải công thức nhân đôi hay biến đổi tổng-tích.
$75^\circ$ không phải một góc đặc biệt trong bảng giá trị lượng giác, nhưng $75^\circ=45^\circ+30^\circ$ — tổng của hai góc đặc biệt. Công cụ đúng ở đây là công thức cộng $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, không phải công thức nhân đôi hay biến đổi tổng-tích.
2
$\cos 75^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$ .
$\cos 75^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$.
3
Phương trình $\cos x=\cos 75^\circ$ có công thức nghiệm quen thuộc $x=\pm 75^\circ+k360^\circ$ — không cần biết giá trị số cụ thể $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$ để giải, chỉ cần biết đó là $\cos 75^\circ$ .
Phương trình $\cos x=\cos 75^\circ$ có công thức nghiệm quen thuộc $x=\pm 75^\circ+k360^\circ$ — không cần biết giá trị số cụ thể $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$ để giải, chỉ cần biết đó là $\cos 75^\circ$.
4
Với $x=75^\circ+k360^\circ$ : $k=0$ cho $x=75^\circ$ . Với $x=-75^\circ+k360^\circ$ : $k=1$ cho $x=285^\circ$ . Vậy phương trình có hai nghiệm $x=75^\circ$ và $x=285^\circ$ trên đoạn đã cho.
Với $x=75^\circ+k360^\circ$: $k=0$ cho $x=75^\circ$. Với $x=-75^\circ+k360^\circ$: $k=1$ cho $x=285^\circ$. Vậy phương trình có hai nghiệm $x=75^\circ$ và $x=285^\circ$ trên đoạn đã cho.

Ví dụ 2 — nhận ra dấu hiệu cần hạ bậc

Ví dụ

Giải phương trình

\cos 2x + \cos x = 0

trên đoạn

[0;2\pi]

Giải phương trình $\cos 2x + \cos x = 0$ trên đoạn $[0;2\pi]$

1
Vế trái có cả $\cos 2x$ lẫn $\cos x$ — hai hàm cùng góc nhưng khác bậc — nên công cụ đúng là công thức nhân đôi $\cos 2x=2\cos^2x-1$ , đưa toàn phương trình về một ẩn duy nhất $t=\cos x$ rồi giải phương trình bậc hai.
Vế trái có cả $\cos 2x$ lẫn $\cos x$ — hai hàm cùng góc nhưng khác bậc — nên công cụ đúng là công thức nhân đôi $\cos 2x=2\cos^2x-1$, đưa toàn phương trình về một ẩn duy nhất $t=\cos x$ rồi giải phương trình bậc hai.
2
Ta có $2\cos^2x-1+\cos x=0$ , tức $2\cos^2x+\cos x-1=0$ . Đặt $t=\cos x$ ( $-1\le t\le 1$ ): $2t^2+t-1=0$ .
Ta có $2\cos^2x-1+\cos x=0$, tức $2\cos^2x+\cos x-1=0$. Đặt $t=\cos x$ ($-1\le t\le 1$): $2t^2+t-1=0$.
3
$\Delta=1^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9$ , $\sqrt{\Delta}=3$ . Suy ra $t=\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac12$ hoặc $t=\dfrac{-1-3}{4}=-1$ . Cả hai giá trị đều thỏa $-1\le t\le 1$ (TMĐK).
$\Delta=1^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9$, $\sqrt{\Delta}=3$. Suy ra $t=\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac12$ hoặc $t=\dfrac{-1-3}{4}=-1$. Cả hai giá trị đều thỏa $-1\le t\le 1$ (TMĐK).
4
Với $\cos x=\dfrac12$ : $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ . Với $\cos x=-1$ : $x=\pi+k2\pi$ .
Với $\cos x=\dfrac12$: $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$. Với $\cos x=-1$: $x=\pi+k2\pi$.
5
Từ họ $x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ : $k=0$ cho $x=\dfrac{\pi}{3}$ . Từ họ $x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ : $k=1$ cho $x=2\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}$ . Từ $x=\pi+k2\pi$ : $k=0$ cho $x=\pi$ . Vậy phương trình có ba nghiệm trên $[0;2\pi]$ , sắp tăng dần: $x=\dfrac{\pi}{3}$ , $x=\pi$ , $x=\dfrac{5\pi}{3}$ .
Từ họ $x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$: $k=0$ cho $x=\dfrac{\pi}{3}$. Từ họ $x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$: $k=1$ cho $x=2\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}$. Từ $x=\pi+k2\pi$: $k=0$ cho $x=\pi$. Vậy phương trình có ba nghiệm trên $[0;2\pi]$, sắp tăng dần: $x=\dfrac{\pi}{3}$, $x=\pi$, $x=\dfrac{5\pi}{3}$.

Ví dụ 3 — phương trình lượng giác quay lại gặp cấp số cộng

Ví dụ

Giải phương trình

\tan x = 1

và tìm nghiệm dương thứ 6 theo thứ tự tăng dầnGiải phương trình $\tan x = 1$ và tìm nghiệm dương thứ 6 theo thứ tự tăng dần

1
$\tan x=1$ là phương trình cơ bản với họ nghiệm duy nhất $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ — các nghiệm cách đều nhau một khoảng $\pi$ . Nghiệm dương xếp tăng dần chính là một cấp số cộng với $u_1$ là nghiệm dương nhỏ nhất và công sai $d=\pi$ , nên công cụ phù hợp để tìm nghiệm thứ $n$ mà không cần liệt kê là công thức $u_n=u_1+(n-1)d$ đã học ở chương Dãy số.
$\tan x=1$ là phương trình cơ bản với họ nghiệm duy nhất $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ — các nghiệm cách đều nhau một khoảng $\pi$. Nghiệm dương xếp tăng dần chính là một cấp số cộng với $u_1$ là nghiệm dương nhỏ nhất và công sai $d=\pi$, nên công cụ phù hợp để tìm nghiệm thứ $n$ mà không cần liệt kê là công thức $u_n=u_1+(n-1)d$ đã học ở chương Dãy số.
2
$\tan x=\tan\dfrac{\pi}{4}\iff x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\; k\in\mathbb{Z}$ .
$\tan x=\tan\dfrac{\pi}{4}\iff x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\; k\in\mathbb{Z}$.
3
Với $k=0,1,2,\dots$ ta được các nghiệm dương $\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}, \dfrac{9\pi}{4},\dots$ — đây là cấp số cộng với $u_1=\dfrac{\pi}{4}$ , công sai $d=\pi$ .
Với $k=0,1,2,\dots$ ta được các nghiệm dương $\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}, \dfrac{9\pi}{4},\dots$ — đây là cấp số cộng với $u_1=\dfrac{\pi}{4}$, công sai $d=\pi$.
4
$u_6=u_1+5d=\dfrac{\pi}{4}+5\pi=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{20\pi}{4}=\dfrac{21\pi}{4}$ .
$u_6=u_1+5d=\dfrac{\pi}{4}+5\pi=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{20\pi}{4}=\dfrac{21\pi}{4}$.
5
Vậy nghiệm dương thứ 6 của phương trình là $x=\dfrac{21\pi}{4}$ .
Vậy nghiệm dương thứ 6 của phương trình là $x=\dfrac{21\pi}{4}$.

Ví dụ 4 — tổng hai hàm cùng loại, và một cái bẫy khi chia

Ví dụ

Tìm số nghiệm của phương trình

\sin 3x + \sin x = \sin 2x

trên đoạn

[0;\pi]

Tìm số nghiệm của phương trình $\sin 3x + \sin x = \sin 2x$ trên đoạn $[0;\pi]$

1
Vế trái là tổng của hai hàm sin cùng loại, cùng dạng $\sin 3x+\sin x$ — dấu hiệu để dùng công thức biến đổi tổng thành tích, gộp về một nhân tử chung với vế phải thay vì khai triển từng số hạng.
Vế trái là tổng của hai hàm sin cùng loại, cùng dạng $\sin 3x+\sin x$ — dấu hiệu để dùng công thức biến đổi tổng thành tích, gộp về một nhân tử chung với vế phải thay vì khai triển từng số hạng.
2
$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x$ . Phương trình trở thành $2\sin 2x\cos x=\sin 2x$ .
$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x$. Phương trình trở thành $2\sin 2x\cos x=\sin 2x$.
3
Chuyển vế và đặt nhân tử chung: $\sin 2x(2\cos x-1)=0$ . (Nếu chia hai vế cho $\sin 2x$ ngay từ bước trước, ta sẽ mất toàn bộ các nghiệm ứng với $\sin 2x=0$ — một lỗi rất phổ biến.)
Chuyển vế và đặt nhân tử chung: $\sin 2x(2\cos x-1)=0$. (Nếu chia hai vế cho $\sin 2x$ ngay từ bước trước, ta sẽ mất toàn bộ các nghiệm ứng với $\sin 2x=0$ — một lỗi rất phổ biến.)
4
$\sin 2x=0\iff x=\dfrac{k\pi}{2}$ . Trên $[0;\pi]$ : $x=0,\dfrac{\pi}{2},\pi$ . $2\cos x-1=0\iff\cos x=\dfrac12\iff x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ . Trên $[0;\pi]$ chỉ có $x=\dfrac{\pi}{3}$ .
$\sin 2x=0\iff x=\dfrac{k\pi}{2}$. Trên $[0;\pi]$: $x=0,\dfrac{\pi}{2},\pi$. $2\cos x-1=0\iff\cos x=\dfrac12\iff x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$. Trên $[0;\pi]$ chỉ có $x=\dfrac{\pi}{3}$.
5
Gộp lại: $x\in\left\{0,\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2},\pi\right\}$ — bốn giá trị phân biệt. Vậy phương trình có 4 nghiệm trên $[0;\pi]$ .
Gộp lại: $x\in\left\{0,\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2},\pi\right\}$ — bốn giá trị phân biệt. Vậy phương trình có 4 nghiệm trên $[0;\pi]$.

Bẫy chia mất nghiệm

Lỗi hay gặp nhất ở dạng này là chia cả hai vế cho $\sin 2x$ để 'rút gọn' thành $2\cos x=1$ — làm vậy mặc định $\sin 2x\ne 0$ và xóa mất ba nghiệm $x=0,\dfrac{\pi}{2},\pi$ ngay từ đầu. Quy tắc an toàn: khi một biểu thức lượng giác xuất hiện ở cả hai vế, luôn chuyển vế và đặt nhân tử chung, không bao giờ chia trực tiếp trừ khi đã chứng minh nhân tử đó khác không trên cả miền xác định.

Tổng kết

Bốn ví dụ trên dùng bốn công cụ khác nhau cho bốn dấu hiệu khác nhau: công thức cộng khi góc đề bài là tổng hoặc hiệu của hai góc đặc biệt, nhân đôi khi vế trái lẫn góc gấp đôi và góc gốc, cấp số cộng khi họ nghiệm cách đều để tìm nhanh một số hạng xa mà không cần liệt kê, và biến đổi tổng thành tích khi hai hàm cùng loại cộng lại. Điểm chung của cả bốn là luôn đối chiếu nghiệm với miền đề bài cho, và luôn đặt nhân tử chung thay vì chia khi một biểu thức xuất hiện ở cả hai vế.

Nhìn lại toàn chương, thứ tự nhận diện nên là: trước hết hỏi góc trong đề có phải tổng/hiệu của hai góc quen thuộc không (công thức cộng); rồi hỏi phương trình có chứa cùng lúc một góc và góc gấp đôi của nó không (nhân đôi, hạ bậc); rồi hỏi vế trái có phải tổng hoặc hiệu của hai hàm cùng loại không (biến đổi tổng-tích); và cuối cùng, khi bài toán hỏi về một nghiệm ở vị trí xa trong một họ nghiệm cách đều, nhớ rằng đó chính là bài toán cấp số cộng đội lốt lượng giác. Cách hỏi tuần tự này chính là điều một đề kiểm tra định hướng năng lực đòi hỏi — không cho sẵn phải dùng công thức nào, mà bắt học sinh tự nhận ra.

Chương tiếp theo rời lượng giác, quay lại dãy số — nhưng lần này đi xa hơn số hạng tổng quát: đến giới hạn của một dãy số khi $n$ tiến ra vô cực, và ý nghĩa thật của công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn mà em đã dùng ở Ví dụ 3.