Bài học

Công thức cộng xác suất

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính đúng $P(A\cup B)$ bằng công thức cộng xác suất tổng quát $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ , và áp dụng công thức rút gọn $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ khi $A$ , $B$ xung khắc.

Sau bài này, em tính đúng $P(A\cup B)$ bằng công thức cộng xác suất tổng quát $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, và áp dụng công thức rút gọn $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ khi $A$, $B$ xung khắc.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã học cách xác định $A\cup B$ , $A\cap B$ và kiểm tra xung khắc bằng liệt kê tập hợp (same-grade bridge). Bài này chuyển từ đếm phần tử sang tính xác suất, dùng lại công thức xác suất cổ điển $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ đã ôn ở bài trước (ôn lại kiến thức lớp 10). Nắm chắc hai bước liệt kê biến cố và tính xác suất cổ điển là đủ điều kiện để học công thức mới trong bài này.

Bài trước đã học cách xác định $A\cup B$, $A\cap B$ và kiểm tra xung khắc bằng liệt kê tập hợp (same-grade bridge). Bài này chuyển từ đếm phần tử sang tính xác suất, dùng lại công thức xác suất cổ điển $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ đã ôn ở bài trước (ôn lại kiến thức lớp 10). Nắm chắc hai bước liệt kê biến cố và tính xác suất cổ điển là đủ điều kiện để học công thức mới trong bài này.

Khởi động

Nếu chỉ cộng trực tiếp $P(A)$ và $P(B)$ để tính $P(A\cup B)$ , kết quả có phải lúc nào cũng đúng không? Thử lại với $A$ : "mặt chẵn", $B$ : "mặt nguyên tố" ở bài trước, nơi $A\cap B=\{2\}$ khác rỗng.

Nếu chỉ cộng trực tiếp $P(A)$ và $P(B)$ để tính $P(A\cup B)$, kết quả có phải lúc nào cũng đúng không? Thử lại với $A$: "mặt chẵn", $B$: "mặt nguyên tố" ở bài trước, nơi $A\cap B=\{2\}$ khác rỗng.

Câu trả lời: không phải lúc nào cũng đúng. Cộng thẳng $P(A)+P(B)$ chỉ đúng khi hai biến cố không có phần tử chung nào — ngay khi có chung dù chỉ một kết quả, phép cộng trực tiếp đã tính dư.

Kiến thức trọng tâm

Nếu cộng thẳng $P(A)+P(B)$ khi $A$ và $B$ có phần tử chung, phần tử thuộc $A\cap B$ bị đếm hai lần — một lần trong $n(A)$ , một lần trong $n(B)$ . Để sửa lỗi đếm trùng này, công thức cộng xác suất tổng quát trừ lại đúng phần bị đếm dư:

Nếu cộng thẳng $P(A)+P(B)$ khi $A$ và $B$ có phần tử chung, phần tử thuộc $A\cap B$ bị đếm hai lần — một lần trong $n(A)$, một lần trong $n(B)$. Để sửa lỗi đếm trùng này, công thức cộng xác suất tổng quát trừ lại đúng phần bị đếm dư:

$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$

$$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$$

Khi $A$ và $B$ xung khắc ( $A\cap B=\emptyset$ ), ta có $P(A\cap B)=0$ , công thức trên rút gọn thành $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ — không cần trừ gì cả, vì không có phần tử nào bị đếm hai lần. Đây chính là trường hợp đặc biệt học sinh hay áp dụng nhầm cho MỌI cặp biến cố, kể cả khi chúng không xung khắc.

Khi $A$ và $B$ xung khắc ($A\cap B=\emptyset$), ta có $P(A\cap B)=0$, công thức trên rút gọn thành $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ — không cần trừ gì cả, vì không có phần tử nào bị đếm hai lần. Đây chính là trường hợp đặc biệt học sinh hay áp dụng nhầm cho MỌI cặp biến cố, kể cả khi chúng không xung khắc.

Công thức cộng xác suất là bản dịch trực tiếp của công thức đếm $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ đã kiểm chứng ở bài trước, chỉ cần chia cả hai vế cho $n(\Omega)$ . Vì vậy, mọi kỹ năng xác định $A\cup B$ , $A\cap B$ và kiểm tra xung khắc đã luyện ở bài trước áp dụng nguyên vẹn ở đây — bài này chỉ thêm đúng một bước: chia số đếm cho $n(\Omega)$ để ra xác suất.

Công thức cộng xác suất là bản dịch trực tiếp của công thức đếm $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ đã kiểm chứng ở bài trước, chỉ cần chia cả hai vế cho $n(\Omega)$. Vì vậy, mọi kỹ năng xác định $A\cup B$, $A\cap B$ và kiểm tra xung khắc đã luyện ở bài trước áp dụng nguyên vẹn ở đây — bài này chỉ thêm đúng một bước: chia số đếm cho $n(\Omega)$ để ra xác suất.

Một phép kiểm tra sanity đơn giản nhưng hữu ích: mọi xác suất phải nằm trong đoạn $[0;1]$ . Nếu sau khi tính, $P(A\cup B)$ ra một số lớn hơn 1, chắc chắn có sai sót — thường là quên trừ $P(A\cap B)$ , hoặc nhầm hai biến cố không xung khắc thành xung khắc rồi cộng thẳng. Ngược lại, nếu đề cho sẵn $P(A)$ và $P(B)$ mà tổng của chúng đã vượt quá 1, hai biến cố đó chắc chắn không thể xung khắc — vì nếu xung khắc, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ sẽ vượt quá 1, một điều vô lý vì xác suất của bất kì biến cố nào cũng không vượt quá 1.

Một phép kiểm tra sanity đơn giản nhưng hữu ích: mọi xác suất phải nằm trong đoạn $[0;1]$. Nếu sau khi tính, $P(A\cup B)$ ra một số lớn hơn 1, chắc chắn có sai sót — thường là quên trừ $P(A\cap B)$, hoặc nhầm hai biến cố không xung khắc thành xung khắc rồi cộng thẳng. Ngược lại, nếu đề cho sẵn $P(A)$ và $P(B)$ mà tổng của chúng đã vượt quá 1, hai biến cố đó chắc chắn không thể xung khắc — vì nếu xung khắc, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ sẽ vượt quá 1, một điều vô lý vì xác suất của bất kì biến cố nào cũng không vượt quá 1.

P(A∪B) nhỏ hơn P(A)+P(B) đúng bằng P(A∩B) — phần bị đếm trùng đã được trừ lại.

Ví dụ

Xác suất mặt chẵn hoặc mặt nguyên tố khi gieo xúc xắc

1
Gieo một xúc xắc. $A$ : "mặt chẵn", $B$ : "mặt nguyên tố" (như bài trước). Tính $P(A\cup B)$ .
Gieo một xúc xắc. $A$: "mặt chẵn", $B$: "mặt nguyên tố" (như bài trước). Tính $P(A\cup B)$.
2
$A=\{2,4,6\}$ nên $P(A)=3/6=1/2$ . $B=\{2,3,5\}$ nên $P(B)=3/6=1/2$ . $A\cap B=\{2\}$ nên $P(A\cap B)=1/6$ .
$A=\{2,4,6\}$ nên $P(A)=3/6=1/2$. $B=\{2,3,5\}$ nên $P(B)=3/6=1/2$. $A\cap B=\{2\}$ nên $P(A\cap B)=1/6$.
3
$P(A\cup B)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$ .
$P(A\cup B)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$.
4
$A\cup B=\{2,3,4,5,6\}$ có 5 phần tử trên 6, nên $P(A\cup B)=5/6$ — khớp đúng với kết quả tính theo công thức.
$A\cup B=\{2,3,4,5,6\}$ có 5 phần tử trên 6, nên $P(A\cup B)=5/6$ — khớp đúng với kết quả tính theo công thức.

Ví dụ

Xác suất lá bài đỏ hoặc lá bài mặt (hình) — dạng thi

1
Rút một lá bài từ bộ 52 lá. $A$ : "lá bài màu đỏ", $B$ : "lá bài mặt (hình) — J, Q, K của cả bốn chất". Tính $P(A\cup B)$ .
Rút một lá bài từ bộ 52 lá. $A$: "lá bài màu đỏ", $B$: "lá bài mặt (hình) — J, Q, K của cả bốn chất". Tính $P(A\cup B)$.
2
$n(A)=26$ (13 Cơ + 13 Rô) nên $P(A)=26/52=1/2$ . $n(B)=12$ (3 lá mặt mỗi chất, 4 chất) nên $P(B)=12/52=3/13$ .
$n(A)=26$ (13 Cơ + 13 Rô) nên $P(A)=26/52=1/2$. $n(B)=12$ (3 lá mặt mỗi chất, 4 chất) nên $P(B)=12/52=3/13$.
3
Lá vừa đỏ vừa mặt là các lá J, Q, K của Cơ và Rô: $n(A\cap B)=6$ , nên $P(A\cap B)=6/52=3/26$ .
Lá vừa đỏ vừa mặt là các lá J, Q, K của Cơ và Rô: $n(A\cap B)=6$, nên $P(A\cap B)=6/52=3/26$.
4
Quy đồng mẫu 26: $P(A\cup B)=\dfrac{13}{26}+\dfrac{6}{26}-\dfrac{3}{26}=\dfrac{16}{26}=\dfrac{8}{13}\approx0{,}615$ .
Quy đồng mẫu 26: $P(A\cup B)=\dfrac{13}{26}+\dfrac{6}{26}-\dfrac{3}{26}=\dfrac{16}{26}=\dfrac{8}{13}\approx0{,}615$.
5
Số lá thuộc $A\cup B$ = lá đỏ (26) cộng lá mặt màu đen (6, vì lá mặt đỏ đã tính trong 26 lá đỏ rồi) $=32$ lá. $P(A\cup B)=32/52=8/13$ — khớp đúng với kết quả tính theo công thức.
Số lá thuộc $A\cup B$ = lá đỏ (26) cộng lá mặt màu đen (6, vì lá mặt đỏ đã tính trong 26 lá đỏ rồi) $=32$ lá. $P(A\cup B)=32/52=8/13$ — khớp đúng với kết quả tính theo công thức.

Ví dụ

Áp dụng công thức rút gọn khi hai biến cố xung khắc

1
Gieo một xúc xắc. $A$ : "mặt chẵn", $D$ : "mặt số 5". Vì $A\cap D=\emptyset$ (đã kiểm tra ở bài trước), tính $P(A\cup D)$ .
Gieo một xúc xắc. $A$: "mặt chẵn", $D$: "mặt số 5". Vì $A\cap D=\emptyset$ (đã kiểm tra ở bài trước), tính $P(A\cup D)$.
2
$P(A)=3/6=1/2$ ; $P(D)=1/6$ vì $D=\{5\}$ chỉ có một phần tử.
$P(A)=3/6=1/2$; $P(D)=1/6$ vì $D=\{5\}$ chỉ có một phần tử.
3
Vì $A$ , $D$ xung khắc: $P(A\cup D)=P(A)+P(D)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}$ , không cần trừ phần giao vì phần giao bằng rỗng.
Vì $A$, $D$ xung khắc: $P(A\cup D)=P(A)+P(D)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}$, không cần trừ phần giao vì phần giao bằng rỗng.
4
$A\cup D=\{2,4,5,6\}$ có 4 phần tử trên 6, nên $P(A\cup D)=4/6=2/3$ — khớp đúng, xác nhận công thức rút gọn dùng đúng khi và chỉ khi hai biến cố thật sự xung khắc.
$A\cup D=\{2,4,5,6\}$ có 4 phần tử trên 6, nên $P(A\cup D)=4/6=2/3$ — khớp đúng, xác nhận công thức rút gọn dùng đúng khi và chỉ khi hai biến cố thật sự xung khắc.

Bước "kiểm tra bằng cách đếm trực tiếp" ở cả ba ví dụ trên không phải thủ tục thừa: đây là cách tự chấm điểm bài làm của chính mình trước khi nộp — nếu con số đếm trực tiếp không khớp với công thức, chắc chắn có một trong hai bước đã sai.

Ví dụ

Ứng dụng công thức cộng trong kiểm soát chất lượng sản phẩm

1
Một dây chuyền sản xuất có xác suất một sản phẩm bị lỗi kích thước là $0{,}05$ , xác suất bị lỗi màu sắc là $0{,}03$ , và xác suất bị cả hai lỗi cùng lúc là $0{,}01$ . Tính xác suất một sản phẩm bị ít nhất một trong hai lỗi.
Một dây chuyền sản xuất có xác suất một sản phẩm bị lỗi kích thước là $0{,}05$, xác suất bị lỗi màu sắc là $0{,}03$, và xác suất bị cả hai lỗi cùng lúc là $0{,}01$. Tính xác suất một sản phẩm bị ít nhất một trong hai lỗi.
2
Gọi $A$ : "sản phẩm lỗi kích thước", $B$ : "sản phẩm lỗi màu sắc". Theo đề, $P(A)=0{,}05,\ P(B)=0{,}03,\ P(A\cap B)=0{,}01$ .
Gọi $A$: "sản phẩm lỗi kích thước", $B$: "sản phẩm lỗi màu sắc". Theo đề, $P(A)=0{,}05,\ P(B)=0{,}03,\ P(A\cap B)=0{,}01$.
3
"Bị ít nhất một trong hai lỗi" chính là biến cố hợp $A\cup B$ — sản phẩm lỗi kích thước, hoặc lỗi màu sắc, hoặc cả hai.
"Bị ít nhất một trong hai lỗi" chính là biến cố hợp $A\cup B$ — sản phẩm lỗi kích thước, hoặc lỗi màu sắc, hoặc cả hai.
4
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}05+0{,}03-0{,}01=0{,}07$ .
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}05+0{,}03-0{,}01=0{,}07$.
5
Vậy xác suất một sản phẩm bị ít nhất một trong hai lỗi là $0{,}07$ , tức khoảng 7% sản phẩm — nhỏ hơn $0{,}05+0{,}03=0{,}08$ đúng bằng phần $0{,}01$ bị đếm trùng ở những sản phẩm mắc cả hai lỗi cùng một lúc.
Vậy xác suất một sản phẩm bị ít nhất một trong hai lỗi là $0{,}07$, tức khoảng 7% sản phẩm — nhỏ hơn $0{,}05+0{,}03=0{,}08$ đúng bằng phần $0{,}01$ bị đếm trùng ở những sản phẩm mắc cả hai lỗi cùng một lúc.

Ví dụ trên khác hai ví dụ trước ở một điểm quan trọng: xác suất được cho trực tiếp từ dữ liệu thống kê thực tế của dây chuyền (không đếm được từ một không gian mẫu hữu hạn cụ thể như xúc xắc hay bộ bài), nhưng công thức cộng vẫn áp dụng y hệt — công thức không đòi hỏi phải đếm được từng phần tử, chỉ cần biết đúng ba giá trị $P(A), P(B), P(A\cap B)$ . Đây chính là điểm mạnh của công thức: nó tổng quát hơn việc đếm trên một không gian mẫu hữu hạn, áp dụng được cho bất kì tình huống nào miễn là ba xác suất liên quan đã biết hoặc đo được.

Ví dụ trên khác hai ví dụ trước ở một điểm quan trọng: xác suất được cho trực tiếp từ dữ liệu thống kê thực tế của dây chuyền (không đếm được từ một không gian mẫu hữu hạn cụ thể như xúc xắc hay bộ bài), nhưng công thức cộng vẫn áp dụng y hệt — công thức không đòi hỏi phải đếm được từng phần tử, chỉ cần biết đúng ba giá trị $P(A), P(B), P(A\cap B)$. Đây chính là điểm mạnh của công thức: nó tổng quát hơn việc đếm trên một không gian mẫu hữu hạn, áp dụng được cho bất kì tình huống nào miễn là ba xác suất liên quan đã biết hoặc đo được.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là quên trừ $P(A\cap B)$ khi hai biến cố không xung khắc, dẫn đến kết quả lớn hơn thực tế, thậm chí có thể vượt quá 1. Sai lầm khác là áp dụng công thức rút gọn $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ mà không kiểm tra trước xem $A$ , $B$ có thật sự xung khắc hay không — luôn tự hỏi "hai biến cố này có thể cùng xảy ra không" trước khi chọn công thức.

Sai lầm phổ biến nhất là quên trừ $P(A\cap B)$ khi hai biến cố không xung khắc, dẫn đến kết quả lớn hơn thực tế, thậm chí có thể vượt quá 1. Sai lầm khác là áp dụng công thức rút gọn $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ mà không kiểm tra trước xem $A$, $B$ có thật sự xung khắc hay không — luôn tự hỏi "hai biến cố này có thể cùng xảy ra không" trước khi chọn công thức.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ luôn đúng. Khi $A$ , $B$ xung khắc, rút gọn thành $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ . Luôn kiểm tra bằng cách đếm trực tiếp khi có thể.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ luôn đúng. Khi $A$, $B$ xung khắc, rút gọn thành $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. Luôn kiểm tra bằng cách đếm trực tiếp khi có thể.

Chương tiếp theo học biến cố độc lập — một quan hệ khác hẳn xung khắc, dễ nhầm lẫn nếu không phân biệt rõ — và công thức nhân xác suất, công cụ cần thiết khi hai phép thử không ảnh hưởng lẫn nhau. Ngay từ bây giờ, hãy để ý: xung khắc và độc lập là hai khái niệm hoàn toàn khác nhau, dù cả hai đều mô tả "quan hệ" giữa hai biến cố.