Bài học

Tứ phân vị của mẫu ghép nhóm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ và tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu ghép nhóm bằng công thức nội suy tương tự trung vị, áp dụng tại các vị trí $n/4$ và $3n/4$ .

Kiến thức nền cần nhớ

Bài về trung vị đã học cách nội suy tại vị trí $n/2$ (same-grade bridge — cùng kỹ thuật nội suy). Thật ra trung vị chính là tứ phân vị thứ hai $Q_2$ . Ở lớp 10, em cũng đã biết tứ phân vị của mẫu không ghép nhóm chia dãy số liệu đã sắp xếp thành bốn phần bằng nhau (ôn lại kiến thức lớp 10). Bài này áp dụng đúng kỹ thuật nội suy của trung vị, chỉ đổi vị trí mục tiêu.

Bài về trung vị đã học cách nội suy tại vị trí $n/2$ (same-grade bridge — cùng kỹ thuật nội suy). Thật ra trung vị chính là tứ phân vị thứ hai $Q_2$. Ở lớp 10, em cũng đã biết tứ phân vị của mẫu không ghép nhóm chia dãy số liệu đã sắp xếp thành bốn phần bằng nhau (ôn lại kiến thức lớp 10). Bài này áp dụng đúng kỹ thuật nội suy của trung vị, chỉ đổi vị trí mục tiêu.

Khởi động

Hai giáo viên chấm xong bài kiểm tra giữa kỳ của 50 học sinh, biết điểm trung bình cả lớp. Nhưng họ còn muốn biết: 25% học sinh điểm thấp nhất dừng lại ở đâu, để lên kế hoạch phụ đạo; và 25% học sinh điểm cao nhất bắt đầu từ đâu, để xếp lớp học nâng cao. Số trung bình một mình có trả lời được đầy đủ hai câu hỏi cùng lúc như vậy không?

Kiến thức trọng tâm

Tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành bốn phần có số lượng giá trị bằng nhau. $Q_1$ (tứ phân vị thứ nhất) là giá trị tại vị trí $n/4$ — có khoảng 25% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó. $Q_2$ chính là trung vị, tại vị trí $n/2$ . $Q_3$ (tứ phân vị thứ ba) là giá trị tại vị trí $3n/4$ — có khoảng 75% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó. Ba mốc $Q_1, Q_2, Q_3$ cùng nhau chia mẫu thành bốn nhóm, mỗi nhóm chứa xấp xỉ một phần tư tổng số giá trị.

Tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành bốn phần có số lượng giá trị bằng nhau. $Q_1$ (tứ phân vị thứ nhất) là giá trị tại vị trí $n/4$ — có khoảng 25% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó. $Q_2$ chính là trung vị, tại vị trí $n/2$. $Q_3$ (tứ phân vị thứ ba) là giá trị tại vị trí $3n/4$ — có khoảng 75% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó. Ba mốc $Q_1, Q_2, Q_3$ cùng nhau chia mẫu thành bốn nhóm, mỗi nhóm chứa xấp xỉ một phần tư tổng số giá trị.

Cách tìm $Q_1$ và $Q_3$ hệt như tìm trung vị, chỉ thay $n/2$ bằng $n/4$ hoặc $3n/4$ : xác định nhóm chứa $Q_1$ (nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge n/4$ ), rồi nội suy:

Cách tìm $Q_1$ và $Q_3$ hệt như tìm trung vị, chỉ thay $n/2$ bằng $n/4$ hoặc $3n/4$: xác định nhóm chứa $Q_1$ (nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge n/4$), rồi nội suy:

$Q_1 = L_{q_1} + \frac{\frac{n}{4}-cf_{trước}}{n_{q_1}}\times h, \qquad Q_3 = L_{q_3} + \frac{\frac{3n}{4}-cf_{trước}}{n_{q_3}}\times h$

$$Q_1 = L_{q_1} + \frac{\frac{n}{4}-cf_{trước}}{n_{q_1}}\times h, \qquad Q_3 = L_{q_3} + \frac{\frac{3n}{4}-cf_{trước}}{n_{q_3}}\times h$$

trong đó $cf_{trước}$ luôn là tần số tích lũy của nhóm ngay TRƯỚC nhóm chứa $Q_1$ (hay $Q_3$ ), giống hệt vai trò của $cf_{m-1}$ trong công thức trung vị. Vì $Q_1\le Q_2\le Q_3$ luôn đúng với mọi mẫu số liệu, đây là một cách tự kiểm tra kết quả: nếu tính ra $Q_1>Q_2$ chẳng hạn, chắc chắn có sai sót ở một bước nào đó.

trong đó $cf_{trước}$ luôn là tần số tích lũy của nhóm ngay TRƯỚC nhóm chứa $Q_1$ (hay $Q_3$), giống hệt vai trò của $cf_{m-1}$ trong công thức trung vị. Vì $Q_1\le Q_2\le Q_3$ luôn đúng với mọi mẫu số liệu, đây là một cách tự kiểm tra kết quả: nếu tính ra $Q_1>Q_2$ chẳng hạn, chắc chắn có sai sót ở một bước nào đó.

Có thể xem trung vị và tứ phân vị như những điểm chia cùng một thước đo tần số tích lũy — chỉ khác nhau ở mốc cần đạt: $n/4$ cho $Q_1$ , $n/2$ cho $Q_2$ , $3n/4$ cho $Q_3$ . Vì cả ba đều dùng chung kỹ thuật nội suy tuyến tính, một khi em đã thành thạo trung vị ở bài trước, việc học thêm $Q_1$ và $Q_3$ chỉ là lặp lại đúng quy trình đó với hai mốc khác — không có khái niệm mới nào cần học thêm về bản chất.

Có thể xem trung vị và tứ phân vị như những điểm chia cùng một thước đo tần số tích lũy — chỉ khác nhau ở mốc cần đạt: $n/4$ cho $Q_1$, $n/2$ cho $Q_2$, $3n/4$ cho $Q_3$. Vì cả ba đều dùng chung kỹ thuật nội suy tuyến tính, một khi em đã thành thạo trung vị ở bài trước, việc học thêm $Q_1$ và $Q_3$ chỉ là lặp lại đúng quy trình đó với hai mốc khác — không có khái niệm mới nào cần học thêm về bản chất.

Điều thật sự mới ở đây là CÁCH DÙNG bộ ba $Q_1, Q_2, Q_3$ : trung vị một mình chỉ cho một điểm trung tâm, còn cả ba con số cùng lúc phác họa được "hình dạng" của nửa dưới và nửa trên mẫu số liệu. Khoảng cách từ $Q_1$ đến $Q_2$ so với khoảng cách từ $Q_2$ đến $Q_3$ cho biết mẫu có đối xứng quanh trung vị hay không — hai khoảng gần bằng nhau gợi ý phân bố khá đối xứng ở nửa giữa, còn chênh lệch lớn gợi ý một bên trải rộng hơn bên còn lại. Bài tiếp theo sẽ dùng chính ý này để dựng và đọc biểu đồ hộp.

Điều thật sự mới ở đây là CÁCH DÙNG bộ ba $Q_1, Q_2, Q_3$: trung vị một mình chỉ cho một điểm trung tâm, còn cả ba con số cùng lúc phác họa được "hình dạng" của nửa dưới và nửa trên mẫu số liệu. Khoảng cách từ $Q_1$ đến $Q_2$ so với khoảng cách từ $Q_2$ đến $Q_3$ cho biết mẫu có đối xứng quanh trung vị hay không — hai khoảng gần bằng nhau gợi ý phân bố khá đối xứng ở nửa giữa, còn chênh lệch lớn gợi ý một bên trải rộng hơn bên còn lại. Bài tiếp theo sẽ dùng chính ý này để dựng và đọc biểu đồ hộp.

Nhóm 6-8 điểm có tần số lớn nhất trong mẫu 50 học sinh.

Ví dụ

Tính Q1 và Q3 của mẫu điểm kiểm tra

1
Điểm kiểm tra giữa kỳ (thang 10) của 50 học sinh: $[2;4)$ : 4; $[4;6)$ : 16; $[6;8)$ : 22; $[8;10)$ : 8. Tính $Q_1$ và $Q_3$ .
Điểm kiểm tra giữa kỳ (thang 10) của 50 học sinh: $[2;4)$: 4; $[4;6)$: 16; $[6;8)$: 22; $[8;10)$: 8. Tính $Q_1$ và $Q_3$.
2
Ta có $cf_1=4,\ cf_2=20,\ cf_3=42,\ cf_4=50$ .
Ta có $cf_1=4,\ cf_2=20,\ cf_3=42,\ cf_4=50$.
3
Ta có $n/4=12{,}5$ . Vì $cf_1=4<12{,}5\le cf_2=20$ , nhóm chứa $Q_1$ là $[4;6)$ , với $L=4,\ cf_{trước}=4,\ n_{q_1}=16,\ h=2$ .
Ta có $n/4=12{,}5$. Vì $cf_1=4<12{,}5\le cf_2=20$, nhóm chứa $Q_1$ là $[4;6)$, với $L=4,\ cf_{trước}=4,\ n_{q_1}=16,\ h=2$.
4
$Q_1=4+\dfrac{12{,}5-4}{16}\times2=4+\dfrac{17}{16}\approx5{,}06$ .
$Q_1=4+\dfrac{12{,}5-4}{16}\times2=4+\dfrac{17}{16}\approx5{,}06$.
5
Ta có $3n/4=37{,}5$ . Vì $cf_2=20<37{,}5\le cf_3=42$ , nhóm chứa $Q_3$ là $[6;8)$ , với $L=6,\ cf_{trước}=20,\ n_{q_3}=22,\ h=2$ . Đây cùng là nhóm chứa trung vị đã tìm ở bài trước — điều này hợp lý vì $Q_2$ và $Q_3$ đủ gần nhau để rơi vào cùng một khoảng.
Ta có $3n/4=37{,}5$. Vì $cf_2=20<37{,}5\le cf_3=42$, nhóm chứa $Q_3$ là $[6;8)$, với $L=6,\ cf_{trước}=20,\ n_{q_3}=22,\ h=2$. Đây cùng là nhóm chứa trung vị đã tìm ở bài trước — điều này hợp lý vì $Q_2$ và $Q_3$ đủ gần nhau để rơi vào cùng một khoảng.
6
$Q_3=6+\dfrac{37{,}5-20}{22}\times2=6+\dfrac{35}{22}\approx7{,}59$ . Đối chiếu với trung vị đã biết cách tính ở bài trước, $Q_2\approx6{,}45$ : ta có $Q_1\approx5{,}06<Q_2\approx6{,}45<Q_3\approx7{,}59$ , đúng thứ tự bắt buộc.
$Q_3=6+\dfrac{37{,}5-20}{22}\times2=6+\dfrac{35}{22}\approx7{,}59$. Đối chiếu với trung vị đã biết cách tính ở bài trước, $Q_2\approx6{,}45$: ta có $Q_1\approx5{,}06<Q_2\approx6{,}45<Q_3\approx7{,}59$, đúng thứ tự bắt buộc.

Vậy khoảng 25% học sinh có điểm dưới 5,06 — nhóm cần phụ đạo — và khoảng 25% học sinh có điểm từ 7,59 trở lên — nhóm có thể học nâng cao. Đây chính là thông tin số trung bình một mình không cung cấp được, dù đã biết chính xác điểm trung bình cả lớp là bao nhiêu.

Xét thêm khoảng cách từ $Q_1$ đến $Q_2$ so với từ $Q_2$ đến $Q_3$ : $Q_2-Q_1\approx6{,}45-5{,}06=1{,}39$ , còn $Q_3-Q_2\approx7{,}59-6{,}45=1{,}14$ . Hai khoảng này khá gần nhau (chênh lệch chưa đến $0{,}3$ điểm), cho thấy nửa dưới và nửa trên của mẫu điểm quanh trung vị trải khá đều — không có bên nào trải rộng vượt trội hẳn so với bên kia.

Xét thêm khoảng cách từ $Q_1$ đến $Q_2$ so với từ $Q_2$ đến $Q_3$: $Q_2-Q_1\approx6{,}45-5{,}06=1{,}39$, còn $Q_3-Q_2\approx7{,}59-6{,}45=1{,}14$. Hai khoảng này khá gần nhau (chênh lệch chưa đến $0{,}3$ điểm), cho thấy nửa dưới và nửa trên của mẫu điểm quanh trung vị trải khá đều — không có bên nào trải rộng vượt trội hẳn so với bên kia.

Ví dụ

Trường hợp Q1 rơi đúng vào nhóm đầu bảng (dạng thi)

1
Số phút sử dụng điện thoại mỗi ngày của 80 học sinh: $[0;10)$ : 20; $[10;20)$ : 30; $[20;30)$ : 20; $[30;40)$ : 10. Tính $Q_1$ và $Q_3$ .
Số phút sử dụng điện thoại mỗi ngày của 80 học sinh: $[0;10)$: 20; $[10;20)$: 30; $[20;30)$: 20; $[30;40)$: 10. Tính $Q_1$ và $Q_3$.
2
Ta có $cf_1=20,\ cf_2=50,\ cf_3=70,\ cf_4=80$ .
Ta có $cf_1=20,\ cf_2=50,\ cf_3=70,\ cf_4=80$.
3
$n/4=20$ . Vì $cf_1=20\ge20$ ngay ở nhóm đầu, nhóm chứa $Q_1$ là $[0;10)$ với $L=0,\ cf_{trước}=0,\ n_{q_1}=20,\ h=10$ : $Q_1=0+\dfrac{20-0}{20}\times10=10$ .
$n/4=20$. Vì $cf_1=20\ge20$ ngay ở nhóm đầu, nhóm chứa $Q_1$ là $[0;10)$ với $L=0,\ cf_{trước}=0,\ n_{q_1}=20,\ h=10$: $Q_1=0+\dfrac{20-0}{20}\times10=10$.
4
$3n/4=60$ . Vì $cf_2=50<60\le cf_3=70$ , nhóm chứa $Q_3$ là $[20;30)$ với $L=20,\ cf_{trước}=50,\ n_{q_3}=20,\ h=10$ : $Q_3=20+\dfrac{60-50}{20}\times10=25$ .
$3n/4=60$. Vì $cf_2=50<60\le cf_3=70$, nhóm chứa $Q_3$ là $[20;30)$ với $L=20,\ cf_{trước}=50,\ n_{q_3}=20,\ h=10$: $Q_3=20+\dfrac{60-50}{20}\times10=25$.
5
Vậy $Q_1=10$ phút, $Q_3=25$ phút — cả hai đều rơi đúng vào đầu mút của nhóm, một trường hợp đặc biệt xảy ra khi tần số tích lũy chạm chính xác vào mốc $n/4$ hay $3n/4$ , tương tự trường hợp đã gặp ở bài trung vị.
Vậy $Q_1=10$ phút, $Q_3=25$ phút — cả hai đều rơi đúng vào đầu mút của nhóm, một trường hợp đặc biệt xảy ra khi tần số tích lũy chạm chính xác vào mốc $n/4$ hay $3n/4$, tương tự trường hợp đã gặp ở bài trung vị.

Ví dụ

Kiểm chứng Q1, Q3 trên mẫu nhỏ đã biết trước kết quả

1
Vẫn 5 chiều cao thật 151, 158, 163, 166, 178 (cm), ghép vào ba nhóm $[150;160)$ : 2; $[160;170)$ : 2; $[170;180)$ : 1. So sánh $Q_1$ , $Q_3$ tính theo công thức nội suy với tứ phân vị thật của 5 số liệu gốc.
Vẫn 5 chiều cao thật 151, 158, 163, 166, 178 (cm), ghép vào ba nhóm $[150;160)$: 2; $[160;170)$: 2; $[170;180)$: 1. So sánh $Q_1$, $Q_3$ tính theo công thức nội suy với tứ phân vị thật của 5 số liệu gốc.
2
Dãy sắp xếp: $151,158,163,166,178$ , trung vị là $163$ . Nửa dưới $\{151,158\}$ có trung vị $154{,}5$ — đó là $Q_1$ thật. Nửa trên $\{166,178\}$ có trung vị $172$ — đó là $Q_3$ thật.
Dãy sắp xếp: $151,158,163,166,178$, trung vị là $163$. Nửa dưới $\{151,158\}$ có trung vị $154{,}5$ — đó là $Q_1$ thật. Nửa trên $\{166,178\}$ có trung vị $172$ — đó là $Q_3$ thật.
3
$n/4=1{,}25$ : $cf_1=2\ge1{,}25$ , nhóm $[150;160)$ : $Q_1=150+\dfrac{1{,}25-0}{2}\times10=156{,}25$ . $3n/4=3{,}75$ : $cf_1=2<3{,}75\le cf_2=4$ , nhóm $[160;170)$ : $Q_3=160+\dfrac{3{,}75-2}{2}\times10=168{,}75$ .
$n/4=1{,}25$: $cf_1=2\ge1{,}25$, nhóm $[150;160)$: $Q_1=150+\dfrac{1{,}25-0}{2}\times10=156{,}25$. $3n/4=3{,}75$: $cf_1=2<3{,}75\le cf_2=4$, nhóm $[160;170)$: $Q_3=160+\dfrac{3{,}75-2}{2}\times10=168{,}75$.
4
$Q_1$ ước lượng $156{,}25$ cm so với $Q_1$ thật $154{,}5$ cm (lệch $1{,}75$ cm); $Q_3$ ước lượng $168{,}75$ cm so với $Q_3$ thật $172$ cm (lệch $3{,}25$ cm). Sai số lớn hơn so với số trung bình và trung vị ở hai bài trước, vì cỡ mẫu $n=5$ quá nhỏ để phép nội suy phát huy hiệu quả — với cỡ mẫu lớn hơn nhiều như 40 hay 50 học sinh, sai số tương đối của phép xấp xỉ này nhỏ đi đáng kể.
$Q_1$ ước lượng $156{,}25$ cm so với $Q_1$ thật $154{,}5$ cm (lệch $1{,}75$ cm); $Q_3$ ước lượng $168{,}75$ cm so với $Q_3$ thật $172$ cm (lệch $3{,}25$ cm). Sai số lớn hơn so với số trung bình và trung vị ở hai bài trước, vì cỡ mẫu $n=5$ quá nhỏ để phép nội suy phát huy hiệu quả — với cỡ mẫu lớn hơn nhiều như 40 hay 50 học sinh, sai số tương đối của phép xấp xỉ này nhỏ đi đáng kể.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là lẫn lộn $n/4$ với $3n/4$ — tức tính nhầm $Q_1$ theo vị trí của $Q_3$ hoặc ngược lại. Sai lầm khác là dùng $cf$ của chính nhóm chứa $Q_1$ (hay $Q_3$ ) thay vì $cf$ của nhóm liền trước, giống hệt sai lầm thường gặp ở bài trung vị. Luôn kiểm tra $Q_1\le Q_2\le Q_3$ sau khi tính xong — đây là cách phát hiện lỗi nhanh nhất.

Sai lầm phổ biến nhất là lẫn lộn $n/4$ với $3n/4$ — tức tính nhầm $Q_1$ theo vị trí của $Q_3$ hoặc ngược lại. Sai lầm khác là dùng $cf$ của chính nhóm chứa $Q_1$ (hay $Q_3$) thay vì $cf$ của nhóm liền trước, giống hệt sai lầm thường gặp ở bài trung vị. Luôn kiểm tra $Q_1\le Q_2\le Q_3$ sau khi tính xong — đây là cách phát hiện lỗi nhanh nhất.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$Q_1=L_{q_1}+\dfrac{n/4-cf_{trước}}{n_{q_1}}\times h$ và $Q_3=L_{q_3}+\dfrac{3n/4-cf_{trước}}{n_{q_3}}\times h$ — cùng kỹ thuật nội suy như trung vị, chỉ khác vị trí mục tiêu. Luôn có $Q_1\le Q_2\le Q_3$ .

Bài tiếp theo dùng $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ vừa học để dựng biểu đồ hộp — một cách nhìn trực quan độ phân tán của mẫu số liệu, và để so sánh hai mẫu số liệu với nhau mà chỉ nhìn ba con số riêng lẻ khó thấy ngay được.

Bài tiếp theo dùng $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ vừa học để dựng biểu đồ hộp — một cách nhìn trực quan độ phân tán của mẫu số liệu, và để so sánh hai mẫu số liệu với nhau mà chỉ nhìn ba con số riêng lẻ khó thấy ngay được.